三种复化求积分算法的精度分析

1、【摘 要】分别利用复化梯形公式、复化 simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式对定 积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值 举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限&=5e-8内，并且在相同的精度下，复化 gauss-legendre i 型公式的步长和计算量最小。【关键词】复化梯形公式；复化 simpson 公式； gauss-legendre 公式1 引言 数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积 分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常

2、利用机械 积分来实现，其基本思想为：(1)2 理论模型2.1 复化梯形求积公式将区间a , b划分成n等分，分点xk=a+kh (, k=1, 2, 3n),在每个子区间xk , xk+1(k=1, 2, 3n-1 )上采用梯形式，则得到( 2)记( 3)上式( 3)为复化梯形公式，其余项可由式,(a三耳三b)(4)得,n k xk , xk+1(5)由于f (x ) c2a , b且,(0w kw n-1 )(6)所以？( a, b),使( 7 )于是复化梯形公式余项为( 8)2.2 复化 simpson 求积公式将区间 a , b 划分为 n 等分,在每个子区间 xk , xk+1 上采用

3、 simpson 式,若记,则得 ( 9 )记(10)上式( 10)为复化 simpson 求积公式,其余项可由式,(awnw b)( 11)得,n k xk , xk+1(12)于是当f (x) c4a , b时，与复化梯形公式相似有,n a , b (13)2.3 复化 gauss-legendre i 型求积公式gauss 型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式(1)的节点& =5e-8和求积系数ak 0和xk a , b (k=1 , 2 , 3n),可使其代数精度达到最高 的 2n+1 次。利用特殊区间 -1 ，1 上 n+1 次 legendre 正交多项

4、式的根作为节点， 我们可以建 立gauss-legendre 型求积公式。将区间a , b划分成n等分，分点xk=a+kh (, k=1, 2, 3 n),在每个子区间xk , xk+1 (k=1, 2, 3n-1 )上采用2点gauss-legendre i型求积公式(14) 在a , b区间上的复化积分公式为(15)上式( 15)称为复化 gauss-legendre i 型求积公式。于是当f (x) c4a , b，时，复化gauss-legendre i型求积公式的余项表达式为,(a三耳三b)(16)3 数值举例 先考察下面等式( 17)右边定积分的近似值(17) 分别用复化梯形公式、

5、 复化 simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式做运算， 求出 其在绝对误差限为&=5e-8内的近似数值解。假定(18)因此， ( 19 )所以， ( 20) 对于复化梯形公式有( 21 )所以n1791.6(22)因此取步长n=1792( 23)对于复化 simpson 求积公式有( 24)所以n 20.1( 25)因此取步长n=21( 26)对于复化 gauss-legendre i 型求积公式有(27)所以n 18.2( 28)因此取步长n=19(29)同理也可以考察等式和 ( 30) 右端定积分的近似数值值，具体结果见表 1。表 1 三种复化算法步长的事前估

6、函数 复化梯形 求积公式 复化 simpson求积公式 复化 gauss-legendre i 型求积公式1792 21 192457 14 127019 24 22表 2 三种复化算法的计算结果函数 复化梯形求积公式 复化 simpson 求积公式 复化 gauss-legendre i 型求积公式-0.405465126309431 -0.405465118046333 -0.4054650982251251.820478483584408 1.820478477218769 1.8204784236572627.389056127230221 7.389056126214707 7.38

7、9056073169591表 3 三种复化算法的精度分析函数 复化梯形求积公式 复化 simpson求积公式 复化 gauss-legendre i 型求积公式1.820126660501e-8 9.938168621381e-9 -9.883039109315e-9-3.033073325831e-8 -2.396509368729e-8 2.959641309807e-8-2.829957068684e-8 -2.728405679164e-8 2.576105906371e-8在绝对误差限为 =5e-8内，用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre1 型公式

8、对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的 事前估计，如表 1 所示。步长能够反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，很显然复化 梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更高。表2 记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表 3 记录了三种复化算法的近似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在绝对误差限&=5e-8以内，精度达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。由各算法的步长可知，复化梯形公式、 复化 simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式在相同精度的情况下下， 其步

9、长依 次减小，其次，其计算量也依次递减。对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的 1792，所得到的精度满足要求。但 是如果将步长减小 1步，即为 1791 时，结果依然满足要求，甚至将步长减少 2 步、 10 步、 100步、500步直到步长减小到1081时所得结果才不满足要求，此时的误差为5.001798630832e-08，不在绝对误差限& =5e-8内。尝试了另外几种复化求积公式，也会出 现这样的现象。此现象可以概括为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。 这种现象的出现可以作如下解释：在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶 导数的最大值来运算的，这种处理方式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计4 结论一般情况下可以采用复