平均值不等式

1、第 4 讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术几何平均值不等式：若 a1, a2 ,an 为正数，那么a1a2ann a1a2an .n式中的等号，当且仅当a1a2an 时成立。2关于二、三元均值不等式的变形：x2y22xy( x, yR) ；2xyx 2y2 (x, yR) ；xy 2xy(x, yR) ；xyx2y(x, y R )；xy 2x yR；x3y3z33xyz xyzR)；xy()( ,2( ,x3y3z3；3；xyz3( ,R)xyz(x, y, zR)xyz x y z3xyz( xyz)3 (,R).3x y z解题示范例 1：设 a0,b 0 ，求证： a 2b22ab2

2、.2abab点评；我们知道a2b21, 2ab1 ，这是常见的不等式，由此却发展出了如上新题。2abab对于 3 个字母的情形是：设 x 0, y 0, z 0 ，求证： x3y3z333xyz2.3xyzxy z1例 2：已知 a 、 b 、 c 是满足 abc1的正数，求证：2a2a3 2b2b3 2c2c1.b2c2a 23 2点评：在中等数学2008 年第 3 期奥林匹克问题栏目里，有这样类似的问题：已知 a 、 b 、 c 是满足 abc1的正数，求证：a 21b21c211.b232c23a 23222例 3：设 a,b, c0,ab c1 ，则 abbbcccaa2.caabbc

3、点评：如果将不等式分子里的ab, bc,ca 改换为 ab 2 , bc2 , ca2 ，就得另一个新的不等式。设 a,b,c0,a b c 1，则 ab2bbc2cca2a5 .caabbc3更进一步的思考与演变，留给有兴趣的读者去探讨。例 4：已知 x, y, z 为正实数，求证：xyz3 .2x y z x 2y z x y 2z 4点评：十分有趣的是，2004 年北京高一数学竞赛里（见文4 ）出现了一道类似的问题：已知实数 a, b, c 满足abc0 ，求证：4a 4a4c4a4b4c4a4c44c41 .b44b4b422例 5：设 a, b, cR ，且 a 2b2c 2abc4

4、 ，求证： abc3.点 评 ： 在 原 题 里 ， 作 代 换 a2x, b2y,c2z ， 则 有 等 价 的 题 目 ： 设 x, y, zR ， 且x2y2z22xyz，求证：x y31z.2例 6：若,1，则11126111Rx yz(x)(y)(z)2().x y zxyxyz27z点评：这是一个新的不等式，它的一个类似不等式是：已知,1，求证111z26 3x y z( x2x)( y2y)( z23 ) .xy z R) (著名的外森比克不等式是指：设ABC 的三边分别为 a, b, c ，其面积为，则 a 2b2c 2 4 3 .我们可以将此不等式加强为：例 7：设ABC 的

5、三边分别为 a 、 b 、 c ，其面积为，则( a2b 2c 2 ) 2(4 3 ) 2( 2a 2b 2c 2 ) 2 .3在证明过程中，运用到如下有用的恒等式：xy( x y )2( xy ) 2 .22R ，求证： aab33b ? ab c .例 8：若 a, b, cabca ? a323测试题目能力测试选择题1已知 x, yR，且 211，则 xy 的最小值是（）xyA 6B 4 2C 3 2 2D 4 2 22已知 a,bR ，且 ab, ab 2，则（）A 1 aba 2b2B ab1a2b222C aba22b21D a2b2ab 123设 M( 11)( 1 1)( 1

6、1)且 abc 1(a,b,cR) ，则 M 的取值范围是（）abcA 0, 1)B 1 ,1)C 1,8)D 8,)884某生物生长过程中， 在三个连续时间内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1 ,v2 , v3 ，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（）111A v1v2v3B v1v2v3C 3 v v2v3D3331111v1v2v35“ a1a”的（）”是“对任意的正数x, 2x18xA 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件123yz）6已知 x, y, z R ，且yz1 ，则 x的最小值是（x234A 5B 6C8D 9填空题7 x,

7、yR 时，函数 f (x, y)(xy)2( 1y)2 的最小值是。x8设 x, y 均为正实数，且1x11 ，则 xy 的最小值为。22 y39在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：119.()()10对于任意的R ，函数 y(1sin4)2(1 cos4 ) 2 的最大值与最小值的和是。11曲线 C :xy1上的点到原点的距离的最小值为。12设 abc, n11n恒成立，则n 的最大值为。N ，且bb caac解答题13若 a, bR , ab1 ，求证：（ 1）ab4 ；（ 2）ab8 .a2b a b23a b3a3b 514已知 a,b,

8、c R , abbccaabc ，求证：a5b5b5c5c5a51.ab(a4b4 )bc(b4c4 )ca(c4a4 )15设,为锐角，且 sin2sin 2sin21，则2122122121(111).coscoscoscoscoscos4 sin sinsin sinsin sin冲击金牌16设正实数 x, y 满足 x3y3xy ，求证 x 24 y21.17在ABC 中，三边长为a,b,c ，求证：caba bcbca3.abc18已知 x, y, zR， xyz1，求证：x5x2y5y2z5z20.x5y2z2y5z2x2z5x2y 25第 4 讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术

9、几何平均值不等式：若 a1, a2 ,an 为正数，那么a1a2ann a1a2an .n式中的等号，当且仅当a1a2an 时成立。2关于二、三元均值不等式的变形：x2y22xy( x, yR) ；2xyx 2y2 (x, yR) ；xy 2xy(x, yR) ；xyx2y(x, y R )；xy 2x yR；x3y3z33xyz xyzR)；xy()( ,2( ,x3y3z3；3；xyz3( ,R)xyz(x, y, zR)xyz x y z3xyz( xyz)3 (,R).3x y z解题示范例 1：设 a0,b 0 ，求证： a 2b22ab2.2abab思路分析：灵活应用2 元和 4

10、元均值不等式证之。证明：由2 元均值不等式，得a 2b22 aba 2b22 ab2a2b2，2abab22b?ba3bab3a所以，只要证明a 2b21，这又等价于 a 2b2a 3bab3 .a3bab3由 4 元均值不等式，得a2b2a 2a 2a 2b2a2b2b2b2444 a2 ? a2 ?a 2 ?b24 a2 ? b2 ?b2 ?b2a3 bab3 , 得证.点评；我们知道a2b21, 2ab1 ，这是常见的不等式，由此却发展出了如上新题。2abab对于 3 个字母的情形是：633333xyz设 x0, y0, z0，求证： xyzxy2.3xyzz例 2：已知 a 、 b 、

11、 c 是满足 abc1的正数，求证：2a2a3 2b2b3 2c2c1.b2c2a 23 2思路分析：利用 2xyx2y2 ，进行转化，将原来的不等式转化为一个比较强的不等式。证明：因为 2a1a2 ,2b1b2 ,2c1c2 ，所以，要证原不等式，只要证明如下的不等式1a 21b21c21. （ * ）2(1a2 )(1b2 )2(1b2 )(1c2 )2(1c2 )(1a2 )令 x1b2, y1c2, z1a 2，则正数 xyz 1，于是不等式（ * ）等价于1a 21b21c21111，2x2y2z也就是 (2y)(2z)( 2z)(2 x)(2x)(2y)(2x)(2 y)(2 z)

12、 ，即 xy yzzxxyz4，注意到 xyz1 ，并应用3 元均值不等式，得xyyzzxxyz33()2xyz4.xyz故a3 2b2b3 2c 2c1 . 得证 .2a2b2c2a23 2点评：在中等数学2008 年第 3 期奥林匹克问题栏目里，有这样类似的问题：已知 a 、 b 、 c 是满足 abc1的正数，求证：a 213 b213 c211.2b22c22a 23 2例 3：设 a,b, c0,abc1，则 abbbcccaa2.caabbc思路分析：把条件abc1变形为 a1bc 等 3 个关系，灵活应用代入消元。证明：利用三元均值不等式，得abbbc ccaacaabbca(1

13、 ca)bb(1ab)cc(1bc)acaabbcabbcca(abc)caabbc3abbc?ca(abc)3c?abbca312所以 abbbcccaa2.caabbc7点评：如果将不等式分子里的ab, bc,ca 改换为 ab 2 , bc2 , ca2 ，就得另一个新的不等式。设 a,b,c0,a b c 1，则 ab2bbc2cca2a5 .caabbc3更进一步的思考与演变，留给有兴趣的读者去探讨。例 4：已知 x, y, z 为正实数，求证：xyz3 .2x y z x 2 y zx y 2z4思路分析：许多书刊上给出了该不等式的多种证明，如分母换元法。这里给出一种妙用二元均值不

14、等式变形的简明证法。证明：对于 a, bR，显然有11 ( 11).ab4 ab于是xyzyzx2 yzxy2z2xx ( 11 )y (11 )z ( 11 )4 z x x y4 x y y z 4 y z z x1 ( xyyzzx )4xyyzzx3 .4点评：十分有趣的是，2004年北京高一数学竞赛里（见文4 ）出现了一道类似的问题：已知实数 a, b, c 满足abc 0 ，求证：a4b4c414a 4 b4c4a44b4c4a4b44c4.2例 5：设 a, b, cR ，且 a 2b2c 2abc 4，求证： a b c 3.思路分析：一般见到的证明方法是，通过构造三角形，挖掘

15、它的几何意义，利用熟悉的三角形不等式实现其证明。其实，既然是纯代数的不等式，那么，有没有直接的代数证法呢？这可以用均值不等式来实现的。证明：首先变形条件等式，得( abc)22(abbc ca)abc4 ，即(a bc2( 2a)(2bca b c（）)(2) 4() 4 0.*由题设条件易知， 0 a 2,0 b 2,0 c 2.于是，由3 元均值不等式，得(2a)(2b)(2 c) 6( a bc) 3 .（* ）3x ) 3令 xabc ，结合（ * ）与（ * ），便得 x2(24x40 ，3变形得 (x6) 2 (x 3)0 ，注意到 x0 ，便得 x3.故有 a bc3.8点 评

16、： 在 原 题 里 ， 作 代 换a2x, b2y,c 2z ， 则 有 等 价 的 题 目 ： 设 x, y, zR ， 且x2y2z22xyz1，求证： xyz3.2例 6：若, ,R,xyz1，则x y z( 1x)( 1y)( 1z)262( 111 ).xyz27xyz思路分析：灵活变形，巧妙利用均值不等式。证明：采用均值不等式证之。 1xyz3 3xyz ， xyz1 ,127.并注意到 a2b2c2abbc ca, 得( 127xyzz)x)( 1y)(1xyyzz2 )(1x2 )(12 )(1xyz1 x2y 2z2x2 y 2y2 z2z2 x2x2 y 2 z2xyz(

17、x y z)2x 2y2z2x2 y2y 2 z2z2 x2x2 y2 z2xyz2xy 2yz 2zx x2 y2y2 z2z2 x 2x2 y2 z2xyz2( 111 )xyzx2 y 2y2 z2z2 x2xyzxyz2( 111)1( xyz)xyz27262( 111).27xyz点评：这是一个新的不等式，它的一个类似不等式是：已知,111126 3xRxyz，求证( x2x)( y2y)( z2z)(3) .y z著名的外森比克不等式是指：设ABC 的三边分别为 a, b, c ，其面积为，则a 2b2c 243 .我们可以将此不等式加强为：例 7：设ABC 的三边分别为 a 、

18、 b 、 c ，其面积为，则( a2b 2c 2 ) 2(4 3 ) 2( 2a 2b 2c 2 ) 2 .思路分析：利用高线和中线之间的大小关系，进行化归证明之。证明：记ABC 边 a 上的高和中线依次为ha , ma .1 aha , ma1 2b22c2a 2 ,hama ，222 3 ama 4 32 3 ah a3a 2b 22c 2a 293a2 ?(2b22c2a2 )(3a2( 2b22c2a2 ) )2( 3a2(2b22c 2a2 ) ) 222(a 2b2c2 ) 2(2a 2b2c2 )2 , ( a2b 2c2 ) 2( 4 3 ) 2(2a 2b 2c 2 ) 2

19、.点评：外森比克不等式曾是第三届（1961 年）国际数学奥林匹克第2 题，这里仅用三角形对应边上的中线不小于高线，给了它的一种有趣的加强。在证明过程中，运用到如下有用的恒等式：xy ( x y )2( x y) 2 .22例 8：若 a, b, cR，求证： aab3abc3a ? ab ? a bc .323思路分析：利用换元、乘方技术，将无理不等式转化为有理不等式。证明：令 ax6 ,by 6 ,cz6 ，则不等式( x6x3 y3x2 y 2 z2 ) 3x6 ? x62y6? x6y6z6332x122x3 y92y6 z66x9 y36x8 y2 z26x6 y66x2 y8z26x

20、4 y4 z46xy7 z412x5 y 5 z29x1218x6 y69x6 z69y129y6 z67x129y1212 x6 y67 y6 z69x6 z62x3 y96x9 y36x8 y2 z26x2 y8 z26x4 y 4 z46xy7 z412x5 y5 z2 .应用六元均值不等式，得4x122y6 z6x11x12x12x12y6 z6y6 z666 x48 y12 z12 ，即 4x122y6 z66x8 y 2 z2 ，同理 2x6 y62 y6 z62x6 z66x4 y4 z4 ，4y122x6 z66x2 y8 z2 ，2y123y6 z6x6 z66xy7 z4

21、，3x123x6 y66x9 y3 ，2(3x6 y 62x6 z6y12 )12x5 y5 z2 ，又66122618239.xyyxyyx于是，由 + + + +，立即得证式。其中，等号仅当xy z 时成立。故 aab3abc3a ? ab ? abc 得证 .323当且仅当 abc时取等号。点评：作者的思考是，不等式对于多个字母的情景，是否也成立相应的不等式呢？这是需要探究的一个有趣问题。测试题目能力测试选择题101已知 x, yR，且 211，则 xy 的最小值是（）xyA 6B 4 2C 3 2 2D 4 2 22已知 a,bR ，且 ab, ab 2，则（）A 1 aba 2b2B ab1a2b222C aba2b21Da2b2ab1223设 M( 11)( 1 1)( 1 1) 且 abc 1(a,b,cR) ，则 M 的取值范围是（）abcA 0, 1)B 1 ,1)C 1,8)D 8,)884某生物生长过程中， 在三个连续时间内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1 ,v2 , v3 ，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（）111A v1v2v3B v1v2v333C