初竞赛专题选讲之——十进制的记数法

1、初中数学竞赛专题选讲十进制的记数法一、内容提要1. 十进制的记数法就是用 0，1， 29 十个数码记数的方法，位率是逢十 进一。底数为 10 的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数： 01100=1（个位数 第 1位）， 101=10（十位上的数 -第 2 位），102=100（百位上的数 -第 3 位）， 10n（第 n+1 位上的数 ）4 3 2 1 0例如 54307 记作 5104+4103+3102+0101+7 1002. 十进制的 n 位数 （n 为正整数 ）， a1a2a3 an n 记作：n-1 n-2 n-3 210 a1+10 a2+10 + +10 an-2+10an-

2、1+an其中最高位 a1 0，即 0a19，其它是 0a1,a2,a3 an 93. 各位上的数字相同的正整数记法：例如 999=100011031， 99991041， 999 910n-1 n个9111 1n个110n 19333 3 10 1 n个3555 5 n个5510n 194 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时 需要根据各位上的数字都是表示0 到 9 的整数，这一性质进行讨论。二、例题例 1. 一个六位数的最高位是 1，若把 1 移作个位数，其余各数的大小和 顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3 倍，求原六位数。解：设原六位数 1 右边的五位数为

3、 x,那么原六位数可记作 1 105x ，新 六位数为 10x 1，根据题意，得 10x13（1 105x）7x=299999 x=42857原六位数是 142857例2. 设 n 为正整数，计算 999 9999 91999 9 n个 9n个 9n个9解：原数（ 10 n 1）（ 10 n 1）+110n+10n1 102n210n+1+10n+10n1 102n例3.试证明 12，1122，111222， 11 1 22 2这些数都是两个相n 个1n个 2邻的正整数的积证明： 1234， 11223334， 111222333334注意到 333334333（ 333 1）103 -110

4、3 -11）由经验归纳法，得11 122 2n 个1n个 210n 110n+ 210n 199nn10n 1 10n2（ ）3 331）n10n13n10n13上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例 4.试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是 9 的倍数，那么这个四位数必能被 9 整除。并把它推广到 n 位正整数，也有同样的 结论。证明：设一个四位数为 103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k （k 为正整数 ）， d=9k a b c,代入原四位数，得103a+102b+10c9ka bc（ 1031）a+（102-1）b+9c+9k =9（111a+1

5、1b+c+k） 111a+11b+c+k 是整数，四位数 103a+102b+10c+d, 能 9 被整除推广到 n 位正整数： n 位正整数记作 10n1a1+10n-2a2+10an-1+an（ 1） a1+a2+ +an-1+an=9k（k 是正整数 ） an=9k a1 a2 an-1 代入（ 1）得原数 10 a1+10 a2+ +10an-1+9k a1 a2 an-1（ 10n-11）a1+（10n-21） a2+9an-1+9k10n-11，10n-21，101 分别表示 99 9， 99 9，9原数 9（ 11 1a1 11 1a2 an+k） n 1 n 2这个 n 位正整

6、数必能被 9 整除例 5. 已知：有一个三位数除以 11，其商是这个三位数的三个数字和。 求：这个三位数。解：设这个三位数为 102a+10b+c 其中 0a9, 0b,c 9100a 10b c11 9a babc且 8 a-b+c 1811它能被 11 整除， a-b+c只能是 11或 0。 当 a-b+c 11 时，商是 9a+b+1,根据题意得 9a+b+1a+b+c，c=8a+1 a 只能是 1， c=9,b=a+c-11=-1 不合题意 当 a-b+c 0 时，商是 9a+b, 9a+b= a+b+c 且 a-b+c 11a1解得b 9 答这个数是 198c8例 6. 一个正整数十

7、位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：顺序颠倒过来后 ,两个数的和是 8877, 可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c 则个位数是 c-2,根据两个数的和是 8877 试用列竖式讨论答案a b c (c-2)从个位看 (c-2)+a=7 或 17+) (c-2) c b a从千位看 a+(c-2)=8 (没进入万位 )8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即 c+a=9 (1) 从十位上看 b+c=7 或 17 从百位上看 c+b=8 (进入千位 )可知 c+b=17 (2) (2)+(1

8、) 得 b-a=8 0a9 0 b 9 b=9 a=1, b=9, c=8 ， c-2=6 答这个正整数是 1986三、练习1. 设 a 是个两位数， b 是三位数。当 a 接在 b 的左边时，这个五位数应记 作，当 a 接在 b 的右边时，这个五位数应记作 。2. 有大小两个两位数。大数的 2 倍与小 数的 3 倍的和是 72。在大数的右 边写上一个 0 再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上 大数再接着写个 0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个 五位数得商 2，余数 590。求这两个两位数。3. 计算： 1987 198619861986 198719874. 一

9、个 22 位数，个位数字是 7，当用 7 去乘这个 22 位数时，其积也是 22 位数，并且恰好是将这个数的个位数字 7 移到最高位，其余各数的大小 和顺序都不变。求原 22 位数。5. 试证明： 112， 111122， 11 1 22 2 ，各数都能写成某个 2n个1n个 2正整数的平方。 （即证明各数都是完全平方数）6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是47。求符合条件的所有两位数。7. 已知一个六位数乘以 6，仍是六位数，且有 abcdef 6 defabc求原六位数 abcdef8. 已知四位数 abcd除以 9 得四位数 dcba，求原四位数。9. 一个五位

10、正奇数 x，将 x 中的所有 2 都 换成 5，并把所有 5 都换成 2， 其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作 y ，若 x,y I 满足等式： y=2（x+1）, 那么 x=（ 1987 年全国初中数学联赛题 ）10. 已知存在正整数 n 能使数 111 11被 1987 整除， n个1求证： p=111 11999 99888 88777 77能被 1987 整除n个 1n个9n个8n个7（1987 年全国初中数学联赛题）11. 一个三位数被 11 整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符 合条件的所有三位数。 （1988 年全国初中数学联赛题 ）12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大 7。求这个三位数。13. 求证： 111 11是一个合数。1990个1练习题参考答案1. 1000a+b, 100b+a2. 21,103. 04. 仿例 1，这数是 1014492753623188405797