§13怎样计算磁感应强度

1、3怎样计算磁感应强度在稳恒磁场中的磁感应强度，可用毕奥-沙伐尔定律和安培环路定律来求解。毕奥-沙伐尔定律在成块中的地位，好像静电场中的库仑定律一样，是很重要的。它是计算磁感应强度最普遍、最基本的方法。安培环路定律，是毕奥-沙伐尔定律的基础上加上载流导线无限长等条件而推导出来的。困此，用安培环路定律遇到较大的限制。但是，有一些场合，应用安培环路定律往往给我们带来不少方便。一、用毕奥-沙伐尔定律计算真空中有一电流元”,，在与它相距r处的地方所产生的磁感应强度dB，由毕奥-沙伐尔定律决定。呻dB% ld：一4二 r3dB垂直于dl式中，r是由电流元ld指向求B点的距离矢量。式 是矢量的矢积，故 与r

2、组成的平面，而且服从右手螺旋法则。真空的磁导率B是一个可叠加的物理量，因此，对于一段（弯曲的或直的）载流导线L所产生的B磁感 应强度为:呻4% Idl r34 L r1、基本题例在磁场的计算中，许多习题是载流直导线和圆弧导线不同组合而成的。因此，必须熟练掌握一段载流的长直导线和一段载流的圆弧导线的磁场的计算公式。图2-13-1所示为一段长直载流导线，它的磁感应强度的计算公式为：B cos -cos二2 4二 a或：B cos - cos 4二 a 巴I当载流直导线“无限长”时，B 也2兀a半无限长时，B = %4运用时，应注意a是求B点到载流导线的垂直距离；辨认B与B的正负，请辨认图2-13-

3、2中的3的正负。段载流圆弧，半径为 R,在圆心0点的磁感应强度为:B -皿B0 一方向由右手螺旋法则决定。BQ2RBo窪4Rr亠 Ji当时,22、组合题例例1已知如图2-13-3所示，求P点的磁感应强度。解法一由图可见，此载流导线由两根半无限长载流导线和一个半圆弧组成。两根半无限长的载流导线在 P点产生的磁感应强度为:Bp1%2 2二 R载流半圆弧在P点产生的磁感应强度为发:Bp2=2 2R2R故总的磁感应强度:Bp 二 Bp1Bp2解法二图示载流导线也可以看成两根无限长载流导线和一个载流圆环组成（如图2-13-3）。将所 得结果除以2，即为题设答案。两根无限长载流导线和一个载流圆环在P点所产

4、生的磁感应强度分别为 2%和,它们的和被2除,2jtR 2R即得与解法一相同的结果。例2赫姆霍兹线圈由两个细的平面线圈组成（图2-13-4）。a设半径为a,其中心间的距离为。试求0点的磁感应2强度与OOi中点的磁感应强度，并将两者的结果加以比较。分析0点的磁感应强度 Bo是由两个线圈共同产生的，因此，可用叠加原理方便地求得。解设两个线圈中的电流都是 i，则在O点产生的磁感应强度为:BiB2B2%ia2a22 、+a4丿Bo 二 BiB2%ia2总的磁感应强度为:32 L2 + a 2 a +4丿毎i卫同理可得OQ中点的磁感应强度:2%ia2i= 0.9132 a216丿两者的相对差值为:Bm

5、- BoBmP913-。.858 %0.913可见，环心OQ中点磁感应强度的大小是差不多的。2-13-5 所在磁感应强度的计算中，长直载流导线与载流圆弧组合而成的习题不少，如图示。将各图示情况中的O点之磁感应强度求出后，对于长直载流导 线与载流圆弧在 0点 产生的磁感应强度公 式就能熟练地掌握，对 叠加原理就能领会更深，对于合磁场方向的判断能力也会大大地提高。例3载流I的方线圈，边长为 2a。求其轴线上的磁感应强度的分布（图2-13-6）分析当求B点P与载流导线平面或线圈不是共面时，为了容易建立空间概念，能较 顺利地求解，必须按照题设条件仔细地作好图。进而容易看出这个空间是由四个平面简单组成的

6、。例如，长直载流导线AB与P共面，因而很容易用长直载流导线外一点B的计算，求得在P点的磁感应强度 Bab，又因为AB与CD关于Z轴对称，因而不需要计算出BCD。 、亠 扌 彳H由于BC、DA载流在P点所产生的Bbc、Bda，在数值上与Bab相等，而方向只要用右手 法就很快可以确定。于是其实主要是如何求BaB的问题了。解首先计算载流导线 AB在轴线上产生的磁感应强度分布。对P点而言，有：BAb 二一丄 COS 1 - COS 24 ro式中ro - . a2 Z2, r = PAE, =PBF。在 pab中，由于PA=PB，故为等腰三角形，由此可得：-cos 2 =2cosaaa2 r0一 2a

7、2 zQ9COScosAEAP将r0、cos、代入Bab表达式，得:B 切一 /AB4二孑孑站7BaB的方向和PE、AB组成的平面相垂直（如图2-13-6），它在z轴上的分量为:(Bab) z = Bab COS式中丫是BAB与轴线的夹角，由图可知，它是和/PEO相等的，故有:COSOEro二 _az2BAB z、矽这个结果正确吗？让我们以特例来检查一下：当. I 2a a2I时，BABzNaa.2a 4：a00。显然这是正确的，可见上述如此冗长的表达式是正确的。方形线圈四条载流I的直线在P点产生的，两两互相对称，故只剩下z轴方向分量是互相加强的，而且是相等的。% 81a2因此载流方线圈在轴上

8、的磁感应强度沿OZ 方向，其大小为：2 - z2厂4二 a2 z2 2aB =4 Bab 0 = % 力8|a2讨论当zLI a时，B 匚彈,令几=4la2,则B4 二 z34:z3,这表明在远场的情况下，载流线圈的几何形状形状已无关紧要。不管线圈是什么形状,只要Pm相同，B的表达式都是相同的。3、关于积分变量的统一问题应用毕奥-沙伐尔定律解题时， 象长直带电细线的电场强度计算一样,常常会遇到积分号中包含几个相关变量问题。这时必须将相关变量由统一变量表示，方能进行积分。积分变量 的统一原则，也是可以任意选择的， 不管是否在积分号里面， 只要能统一就行。当然具体决择时，看方便而定。现以长载流导线

9、在 P点产生的磁感应强度计算为例，来说明怎样统一积分变量，见图2-13-7。长直载流导线上各点流元在 P点产生的磁感应强度：o IdzsinnCD 石 5积分号中Z、B、r三个都是变量。如选B做自变量，则:Z 二 rcos 二- -r cosr 二-acotra 介dz 2 drsin日将这些关系式代入式（1），并注意积分限为00 2,则：0 KIKIB一 sino cos-cosr2（2）r 4： a4 二 a如把z选作积分变量，其情况又如何呢？由图可知:将这两个关系式代入式（1），从Z1积分到Z2,得:B右a2z2丄启dz其实，容易从图2-10-5中得知:% la4:z2dz召3a22 z

10、TB0 sin ：2 sin4兀a当然也可以把r作为自变量，情况与上述相似。必须指出，不但可以把积分号包含的变量选作自变量，而且也可以选择与r、B、z这三个量都有关的其它量，如 B作为自变量，有时这样作还受到人们的欢迎。把B作为自变量时，由图可知:sin j - cos -a2 sec2 :I0- sin j -sin总之，只要能将积分号里包含的几个变量统一，可以任意选择一个为自变量，而不管这 个变量是否包含在积分号中。当然，究竟选择哪一个？要根据具体情况而定。、利用安培环路定律真空中的安培环路定律为：B 皐%、Ti它表明：B的环流是由闭合环路（俗称安培环路儿中包围的电流的代数和决定的。因此,

11、 它并不表明a h与环路上各点B的直接关系。但是，这并不妨碍安培环路定律在某些情况4下可以用来求环路上某点的磁感应强度B。已知电流的分布 7 |j，要用安培环路定律来求 B，必须要求7 I j所产生的磁场具有 定的性质-作为待求的未知量B应能从B的积分号中提出来。L4因此，利用安培环路定律来求 B，关键在于“怎样合理选取安培环路？”例如，载流环形螺线管的磁感应线形成一个个的同心圆，在每一圆形磁感应线上，B的r的点之磁感应强度 B,则大小处处相等，其方向处处与圆形相切。如要求管内离开圆心为 可选择以r为半径的同心圆为安培环路。此时，根据安培环路定律得:B d；二 B2 rL根据安培环路定律有:2

12、二 rB 二 NI%NI2 二 rB = %nl式中I-螺线管中的电流N-螺线管的匝数。从这个例子，很容易提出一个问题：安培环路上B的大小各点B的大小都要相等，才能利用安培环路定律来求呢？不是的。例如长直密绕螺线管里中部的B（图2-13-8）。我们选取abcda为安培环路。在 ab段。各4点的B沿着ab,且大小相同，bc da两段，在管内部分，B不等于零，但都与 bc或da相4 4一垂直，因此Bdl也都等于零，即对 B的环流没有贡献，至于管外部分，与cd段上的各点B一样都为零。为什么等于零？我们可以通过 cd段上任意一点来观察，从该点分别产生方向相反而大小相同的磁场，因而它的合磁场为零。根据安

13、培环路定律有:可见，要能用安培环路定律来求B，要选择安培环路，必须使所求的B能从积分号中提(Bdl = (Bdl = J Bdl =B Jdl =BabLabababB ab 二 abn IB = % nl式中I-螺线管中的电流n-单位长度上线圈的匝数。出来。让我们再看一例。“无限多”根“无限长”平行排列的导线组成电流片。当导线中各载电流I时，求该电流片旁某点P的B （图2-13-9）。由于电流片在图中具有横向对称性，与电流垂直的方向上的分量为零，所以在与电流片平行的方向上，B的方向如图所示。现取 abcda为安培环路。在be、 da上，各点B = 0,但与d垂直，故:bcBdladBdl =

14、0而在ab、 cd上，B都处处相等，其方向均与 dl平行，故:abBdl =.cdBdl 七ab利用安培环路定律有:例4试证明任何长度的沿轴向磁化的磁棒之中垂直面上侧表面内外两点1、2的磁场强度 H! =H2(图 2-13-10)。解利用安培环路定律求解。过磁棒中垂面上侧表面内外两点1、2作一小的矩形回路abcd，使ab、cd和界面平行，使 bc=da“ 0。且把ab = cd取得足够的小，以致 H在这个范围中可以看成常数。由于对称，在中垂面上,H只有与表面相切的分量。所以有:QHdl 二bc .一a Hdl b Hdl c Hdl d Hdld 1Hdl 0 Hdl 0 二 H丄HqL 二0

15、Lc式中L为ab、cd的长度，H1、H2是1、2两点上H沿M方向的分量。由于垂直方向的分量等于零，所以，H“、H2即为1、2两点的磁场强度。在界面上，传导电流等于零。故据安培环路定律有:在介质内:L呻彳jHdl =送 h =0 已1_-战1_=0H H2B1 - % H1 MB2 = %H24 4(Hdlc4 4(Hdl4 4L24IL1在界质外:其实，这是测量磁棒内部磁场强度的一种方法。测得了H2，即可知道H。例5:电视显像管的磁偏转线圈套在管颈上，中间产生一个均匀磁场。磁偏转线圈是绕在用磁性材料作成的内径为r的磁环上，AA处绕稀，BB,处绕得较密而且ABA与AB1A1两半边是反向绕制的。于是磁感应线就会形成如图 2-13-11所示的分布。设磁芯的磁导率很大，即其中的磁阻可以忽略。 试证明：为了在管颈中能得到均匀的磁场， 磁环单位长度上线圈的匝数n应服从下述规律：nr 工 cost式中，B为从B点起算的方位角。解用安培环路定律证明：取一条磁感应线如图 2-13-11所示的abca,它在空气中的长度为 L2，在磁性材料中那一 部分的长度为L1，对此闭合回路应用安培环路定律，并考虑到单位长度的匝数n是变量,是0的函数