三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结综述

1、要点一：手拉手模型、手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点.ABD 与 BCE，连结 AE 与 CD，证例1.如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形 明(1) .ABEiDBC(2) AE = DCAE与DC之间的夹角为60(4) 匚 AGB 三:DFB(5) EGB 二 CFB(6) BH 平分 /AHC(7) GF / AC.4I!5变式精练1：如图两个等边三角形 ABD与:BCE，连结AE与CD，证明（1）CABE 三:DBC(2)AE 二 DC（3）AE与DC之间的夹角为60(2) AE 二 DC（3）AE与DC之间的夹角为60例2:如图，两个正方

2、形 ABCD与DEFG 旌结AG,CE ,二者相交于点H（4）AE与DC的交点设为H , BH平分.AHC变式精练2:如图两个等边三角形 ABD 与 BCE，连结AE 与CD，证明（1）CABE 二 DBC AE与DC的交点设为H , BH平分一 AHC问：（1）：AD CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度?（4）HD是否平分.AHE ？例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG ,连结AG,CE ,二者相交于点H问：（1） ADG二QDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例 4：两个

3、等腰三角形 CABD 与：BCE，其中 AB =BD ,CB 二 EB, . ABD =/CBE 二:-,连结AE与CD ,问：（1） .ABE二厶DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分.AHC ？EJB二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线， 倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。1【例1】 已知：ABC中，AM是中线.求证： AM .（AB AC）.【练1】在厶ABC中,AB =5 , AC =9，贝U BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?【

4、练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点F，使 AE =BF，连接 CE、CF，求证：AC BC EC FC .【例2】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC 于 F , AF =EF，求证：AC =BE .【练1】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE =AC , 延长BE交AC于F，求证：AF =EF【练2】如图，在：ABC中，线于点F，交AB于点G，若AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II BG =CF，求证： AD为 :ABC的角平分线.AD交CA的延长【练3】如图所示，已知厶ABCEF =AC .求证：EF

5、 II AB中，AD 平分.BAC , E、F 分别在 BD、AD 上. DE =CD9【例3】 已知AM为厶ABC的中线，.AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于 F 求证：BE +CF EF .【练1】在RL ABC中，F是斜边 AB的中点， D、E分别在边 CA、CB上，满足ZDFE =90.若AD =3 , BE =4，则线段DE的长度为 .【练2】在 ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD _ ND .(1 )若ZA=90，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三 角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果 BM 2

6、 CN2 =DM 2 - DN2，求证 AD2 = ； AB2 AC2 .【例4】如图所示,连接CE、D在 ABC 中，AB =AC ,延长 AB 到 D ,使 ED =AB CD，求证 CD =2EC .,E为AB的中点,CE 为.：ABC 的 ABC【练1】已知 ABC 边上的中线.求证：CD =2CE中，AB =AC , BD为AB的延长线，且 BD二AB ,全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性 质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方 1.如图所示， BC中， C = 90厂B =45 , AD平分

7、BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。如图所示，在CABC中，乙B =60, ABC的角平分线AE+CD=AC 。2.如图所示，已知 1, P为BN上一点，且PD _AD、CE相交于点 0。求证:BC 于 D，AB+BC=2BD，求证:.BAP BCP =180。ABD =/CBD，CE 垂直于B3.如图所示，在 Rt ABC 中，AB=AC，. BAC =90，BD的延长线于 E。求证：BD=2CE。5如图所示，在ABC中， ABC =90，AD为 BAC的平分线，/C =300， BE _ AD 于 E 点，求证：AC-AB=2BE 。三、截长补短问题1:垂直平分线（性质）定理是 问题

8、2 :角平分线（性质）定理是问题3 :等腰三角形的两个底角 ，简称;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也 ，简称.问题4 :当见到线段的 虑截长补短，构造全等或等腰转移 、转移，然后和重新组合解决问题.三角形全等之截长补短（一）一、单选题（共4道，每道25分）1.已知，如图，BM平分/ ABC P为BM上一点，PDLBC于点D, BD=AB+CD遣长怯）证明如图，在昶上截取莊=迅连接悲一在ZEP和HEEP中AB = EB“ Z1 = Z2SF= BP(SAS)代 CD=ED：PD 丄 BC.PEPC 请你仔细观察下列序号所代表的内容：平分 ZABC.一 Z1 = Z2:丁上 1=22

9、;/ A=Z BEP AP=PE/BD = AB + CD 二心=ZPCDTBD 二 AB+CD二 BD 二 BE + ED+23= 180二二 一二 丄；二二一_：；二丄一二二 一二；AZ3 = Z?CCVZBSF+Z3 = 18O/.以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.2.已知，如图，BM平分2 ABC点P为BM上一点，PDLBC于点D, BD=AB+DC 求证：2 BAP2BCP=180 .第#页共18页第15页共18页.Z1=Z2在丘b和FDF中BE = BDBP= BP：、“EE陀山DF (SAS)Afeli 和 Afdc 中rPE=PDi RA DC_AE = CD；”

10、EPE啦ZX ($A)/. ZC=ZR4E.PZ4?-Z/!jr=Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长BA过点P作PE1BA于点E;延长BA到E,使AE=DC连接PE: BD = BA + CD: RD 二 BA+CD延长BA到E,使DC=AE二 二1 上二；.r_ 二/. PE = PD, ZPEA 二乙PDB：PD 丄 ECZFDE = 90。/. DC = 90.-.以上空缺处依次所填最恰当的是（）:PE二 PD, ZPEA = ZPDBTPD丄恥:.ZPDB = J/PDC = 90Q/.ZFi4 = 90； . _!A.B.C.D.AB=AE

11、AD平分/ CDEZ BAE=ZCAD 求证:BC+DE=CD.4D 平 1=Z2在AJFQ和&応Q屮AD = AD* Z1 = Z2DP-LR.,ZkiFZ)SfiA.JD (SAS)在b松匸和ZFC巾AS= AF请你仔细观察下列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB连接AF在DC上截取DF=DE连接AF;在 DC上截取 DF=DE AE=AF AF=AE / 4=Z3;Z 4=Z 3;：.AB = AFT Z8血=2CADVZCAD-Z3+Z6ABAE:.AB = AFVZCJW = Z3+Z6,Z4-Z3 即 Z4+Z5=Z3+Z6AB = AE-AB = AFABAE=2ZCADAZ

12、CJD=Z3+Z6 apZ4+Z5 = Z3+Z6 ：._. 以上空缺处依次所填最恰当的是（）;一A.B.C.D.AB=AE / BAE=ZCAD / ABC#AED=180，求证:BC+DE=CD 朋匚血-_-Z2-Z3. JC-JF在既C.心#1DF.血中-ZOD- ZiPjIDaD - ADAC.JDS2Af.JD (SAS)请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长DE到F,使EF=BC连接AF;延长DE到F,使BC=EFZ1+ZAS5 = 18O延长DE到F,连接AF;. 一；*： ZEAE 二 20AD:.ACAD = Z2 +Z4 .ZCAD = Z2 +Z4二Z3+Z4二 Z3+/

13、4:m ；丰一y 二-：. .一二匕一二二/. CD = DF：DF DE+EFEF = BC:-EF= DE+BC：.CD = DFDF = DE + SF二DE+BC厂-；工_ L-以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转?问题二：旋转都有哪些模型？(构造旋转的条件)【例1】如图，P是正 ABC内的一点，若将PBC绕点B旋转到 P/ BA ,则/ PBP /的度数是( )A. 45B. 60C. 90 D. 120 【例2】如图，正方形BAFE与正方形 ACGD共点于A,连接BD、CF , 求证：BD =

14、CF并求出/ DOH的度数。【例3】如图，正方形 ABCD中，/ FAD = Z FAE。求证：BE+ DF =AE。Cfi1题干中出现对图形的旋转 一一现成的全等2 图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一一找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在一一通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形 ABCD中，/ MAN = 45,/ MAN的两边分别交 CB、DC于点M、N。 求证：BM + DN = MN。【例5】如图，正方形ABCD中，/ EAF = 45,连接对角线 BD交AE于M，交AF于N,证明：DN2+ BM2= MN2【例6】如图，已知 OAB和厶OCD是等边三角形

15、，连结 AC和BD，相交于点 E, AC和BO交于 点F，连结BC。求/ AEB的大小。【例7】如图所示： ABC 中，/ ACB = 90 AC = BC, P 是厶 ABC 内的一点，且 AP = 3, CP= 2, BP = 1,求/ BPC的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？（构造旋转的条件）1. 图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）2. 这些相等的边中存在共端点。3如果旋转（将一条边和另一条边重合），会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、 被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1. 大角夹半角2. 手拉手（寻找旋转

16、）3. 被分割的特殊角测试题1.如图，P是正ABC内的一点，且BP是/ ABC的角平分线，若将PBC绕点P旋转到P BA，则.PBP的度数是（）A. 45B . 60 C. 90D. 1202 .如图： ABC中，AB = AC , BC为最大边，点 上一点，BF = CD，则下列正确的是D、E分别在BC、AC上，BD = CE, F为BA延长线 （）A . DF = DEB . DC = DFC. EC= EAD .不确定3. 如图，四边形 ABCD中，/ ABC = 30, / ADC = 60, AD = DC ,则下列正确的是（）A . BD2= AB2 + BC2 B . BD2V

17、AB2+ BC2 C. BD2 AB2 + BC2 D.不确定4.已知 ABC中， ACB =90 , CD _ AB于D , AE为角平分线交 CD于F，则图中的直 角三角形有（）A . 7个B . 6个C. 5个D . 4个 5.如图，DA丄AB, EA丄AC, AD = AB, AE= AC,则下列正确的是（）A . ABD 幻 ACEC. BMF 幻 CMSB . ADF 幻 AESD . ADC 幻 ABE6 .如图，已知P为正方形 ABCD 的对角线AC上的一点（不与A、C重合），PE丄BC与点E,PF丄CD 与点F，若四边形 PECF绕点C 逆时针旋转，连结 BE、DF，则下列一

18、定正确的是（A. BP= DP）B . BE2+ EC2= BC2C. BP= DFD. BE= DF7.如图，等腰直角ADB与等腰直角 AEC共点于A，连结BE、CD，则下列一定正确的是（）A . BE= DCB . AD / CEC . BE 丄 CED . BE= CEAFC共点于A，连接BF、CE，则.EOB的度数为（）&如图，等边三角形ABE与等边三角形A. 45 B . 60 C . 90D . 1209.如图，在四边形 ABCD中，AB二AD , / B二/ D =90 , E、F分别是边BC、CD上 1的点，且/ EAF / BAD。则下列一定正确的是 （）2A . EF 二B

19、E FDC . EF : BE FDB . EF BE FDD . EF 2 二 BE2 FD210 .在正方形 ABCD 中，BE= 3, EF = 5, DF = 4,则/ BAE + Z DCF 为（）A. 45B. 60C. 90D. 120五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论下面介绍寻找 全等三角形的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1 , AB = AC, AE = AF.求证：/ B =Z C.分析：要

20、证明/ B =Z C,只需证明厶BOE COF或厶ABFACE.而由图形可知/ A是公共角，又由 已知条件 AB = AC, AE = AF,所以 ABF ACE，于是问题获证.二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例2如图2, B、E、F、D在同一直线上，AB = CD, BE = DF , AE = CF，连接 AC交BD于点O. 求证：AO = CO.分析：要证明 AO = CO,只需证明厶AOE COF或厶AOB COD即可.根据现有条件都无法直接证 明.而由已知条件 AB = CD , BE = DF, AE = CF可直接证明 ABECDF，贝U有/ AEB =Z CFD , 进而有/

21、 AEO =Z CFO,再利用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图 3, AB = CD, AC = BD .求证：/ B =Z C.分析：设 AC与BD交于点 O,此时/ B与/ C分别在 AOB和厶DOC中，而用现有的已知条件是不可 能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接AD，那么 AD是厶ABD和厶DCA的公共边，这样可以证明厶 ABD DCA .四、利用相等线段中的公共部分例4如图4, E、F是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的两点，AF = CE.求证：BE / DF.分析：要证明 BE / DF,只需证明/

22、 BEC =Z DFA，此时可以转换为证明/ AEB =Z CFD,进而证明厶AEBCFD.AC五、利用等角中的公共部分例 5 如图 5，已知/ E = 30, AB = AD, AC = AE，/ BAE =Z DAC .求/ C 的度数.分析：已知/ E = 30,要求/ C,可考虑证明 ABCA ADE,由/ BAE =Z DAC,结合图形可知/ BAC = / DAE ,于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6，已知/ DCE = 90 , / DAC = 90, BE丄AC于B,且 DC = EC,能否找出与 AB+AD相 等的线段，并说明理由.分析：由于AC = AB+BC，可以猜想 AC = AB+AD,或BE = AB+AD，此时只需证明 AD = BC即可.而 事实上，用同角的余角相等可得到/DCA =