第三章随机过程功率谱密度

1、第三章随机过程功率谱密度 第三章 随机过程的功率谱密度 主要内容： 随机过程的功率谱密度函数 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 功率谱密度函数与自相关函数的关系 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽 联合平稳随机过程的互功率谱密度 白噪声与色噪声 第三章随机过程功率谱密度 3.1 功率谱密度函数 3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 第三章随机过程功率谱密度 3.1 功率谱密度函数 3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 确定信号 是在 的非周期实函数， 的傅立叶变换存在的充要条件是： (1). 满足狄利赫利条件 (2). 总能量有限，即 txt tx dttx dttx 2 第三章随

2、机过程功率谱密度 则信号 的傅立叶变换为 傅立叶反变换为 根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。 tx dtetxjwF jwt x dwjwFdttx x 22 2 1 2 jwFx dtejwFtx jwt x 2 1 第三章随机过程功率谱密度 3.1.2 随机过程的功率谱密度 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。 tx tx t 0 图 3-1 样本函数 第三章随机过程功率谱密度 采取截断函数 规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。 截断函数定义为： others Tttx txT , 0 , txT

3、0 tx t T T 图 3-2 及截断函数 tx 保留有限区 间的数据 置其它区 间为0 第三章随机过程功率谱密度 当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为 傅立叶反变换为 由巴塞伐定理得 对上式两边除2T T T jwt jwt Tx dtetx dtetxTjwF, dteTjwFtx jwt xT , 2 1 dwTjwF dttxdttx x T T TT 2 22 , 2 1 第三章随机过程功率谱密度 样本函数在时间区间 的平均功率。 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即 两边取极

4、限 dw T TjwF dttxdttx T x T T TT 2 , 2 1 2 1 2 22 TT, dw T TjwF EdttX T E x T T 2 , 2 1 2 1 2 2 dw T TjwFE dttXE T x TT 2 , lim 2 1 2 1 lim 2 2 第三章随机过程功率谱密度 若设 上式表示为 称为随机过程 的功率谱密度。 如随机过程是宽平稳过程时，则 T TjwFE wS X T X 2 , lim 2 X S tX dwwSPdttXE T XX T 2 1 2 1 lim 2 dwwStXEdttXE T X T 2 1 2 1 lim 22 第三章随机

5、过程功率谱密度 3.2 功率谱密度与自相关函数之 间的关系及其性质 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 自相关函数 功率谱密度？ 自相关函数功率谱密度 随机过程 ? timefrequency 图3-3 功率谱密度与自相关函数 第三章随机过程功率谱密度 3.2.1 维纳辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系： 证明：由功率谱密度函数定义 tX X B X S deSB j XX 2 1 deBS j XX T dtetXtXEdt T dtetXtXdtE T dtetXdtetXE

6、 T TjFTjFE T TjFE S T T ttj T T T T T ttj T T T T T tj T T tj T XX T X T X 2 lim 2 lim 2 lim 2 , lim 2 , lim 1122 1122 2211 2 12 12 21 功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对 第三章随机过程功率谱密度 在区间 定义 则有 令 则 得证。 otherstXtXE TttttBtXtXE X 0 , 21 212121 TT, T dtdtettB T dtdtettB S T T ttj T T X T T T ttj T T X T X 2 , lim 2 ,

7、lim 2121 2121 12 12 12 tt ddt 2 各态历经性 平稳随机过程 令 1 1 1 1 1 1 1 111 , , 2 1 lim 2 , lim deB deB dettB ttdtdettB T T ddtettB S j X j X j X j T T X T tT tT j T T X T X 功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对 deSB j XX 2 1 第三章随机过程功率谱密度 3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义 2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 0 X S T TjFE S X T X

8、 2 , lim 2 XX SS 第三章随机过程功率谱密度 证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理 dttBdttB djttB dettBS XX X j XX sin,cos, sincos, , sinsin coscos , ttBttB XX dttBS XX cos, dttBS XX cos, XX SS 第三章随机过程功率谱密度 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即 证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即 dS X dStXE X 2 1 2 dS X 第三章随机过程功率谱密度 4. 功率谱与相关函数 随机过程 平稳随机过程

9、 平稳各经历态过程 ,ttBS XX XX BS XX BS 第三章随机过程功率谱密度 t tX 0 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数 0 wSX 非负 实数 可积 偶函 数 第三章随机过程功率谱密度 3.2.3 功率谱 与 平均功率 平均功率是功率谱在频率空间的积分 证明： X S X P dSP XX 2 1 dS deS tXE txAP X tj X X 2 1 2 1 0 2 2平稳各态历经 第三章随机过程功率谱密度 2.特定频率 上平均功率 3.单边谱密度 与双边谱密度 21, 21 2 , X dS XX 2 12 1 , 11 2 X S X S 00 02 X X S S

10、 物理谱密度 函数 dSP XX 0 2 1 dSXX 2 12 1 , 21 2 第三章随机过程功率谱密度 函数 功率谱密度指单位带宽上平均功率； 直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散 谱线； t tX 0 图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度 0 wSX 零带宽上有限 功率 无限 的功率谱密度 第三章随机过程功率谱密度 随机过程的功率谱密度不一定可积，即 函数 dSX others x x 0 0 1 dxx 0fdxxfx 1 0 jj ede 2 1 2 1 2 1 0 jj ede jx exfxif, xj exfxif , 21 21 x 0 图3-6 函数 第三章随机过程功

11、率谱密度 利用 函数，含有直流分量或周期分量的 平稳随机过程的功率谱密度可表示为 2 _ 0 tXBB XX 2 _ 0 2tXSS XX _ 0 tXtXtX ttXtX 00 cos 00 cos 2 1 XX BB 000 2 1 XX SS X S 0 图 3-7 直流分量 X S 0 图 3-8 周期分量 第三章随机过程功率谱密度 若功率谱密度函数为常数，则自相关函数 为 函数。 0 nSX 0 nBX 0 X S 图3-9 常功率谱函数 0 X B 图3-10 自相关函数 第三章随机过程功率谱密度 例3-1 平稳随机过程 的自相关函数为 求该随机过程的功率谱密度函数。 解：由维纳辛

12、钦定理，有 tX 0, eBX 22 0 0 2 11 0 0 jj j e j e deedee dee deBS jwjw jwjw jw jw XX 第三章随机过程功率谱密度 0 X B X S 0 图 3-11 例3-1 第三章随机过程功率谱密度 3.2.4 几种常见的 与 X B X S X B X S 0 X B 0 X B X B X B X S X S X S X S 0 0 0 0 0 0 0, e 22 2 TT 0cos 1 2 2 2 sin4 T T 0 0 第三章随机过程功率谱密度 例3-2 已知平稳随机过程 ，具有功率谱密度为 求该过程的自相关函数。 解：由上例可

13、知，若自相关函数具有 的形式，则功率谱密度为 ，本题中 则自相关函数具有如下形式 tX 3613 16 24 X S 0, AeBX 22 2 A SX 9 516 4 516 94 16 3613 16 22 22 24 X S 21 21 eAeABX 第三章随机过程功率谱密度 显然 因此 所以自相关函数为 9 15 8 32 9 516 4 5 4 22 4 516 2222 3, 15 8 ; 2, 5 4 2211 AA 32 15 8 5 4 eeBX 第三章随机过程功率谱密度 3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。

14、功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。 自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时 间上关联范围。 等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频 率上分布范围。 第三章随机过程功率谱密度 3.3.1 自相关时间 tXEtXE 21 相同的数学期望 相同的方差 (a) 0 t tX1 (b) 0 t tX 2 tXDtXD 21 图3-12 和 的样本函数曲线 tX1 tX2 (b) 图 3-13 和 的自相关函数 tX2 tX1 (a) 0 1 X B 0 2 X B 第三章随机过程功率谱密度 因为 ，有 由于 扩展比 要大一些， 因此 dBB XXk 11 02 1 dBB X

15、Xk 22 02 2 02 1 1 1 X X k B dB 02 2 2 2 X X k B dB tXEtXE 21 tXDtXD 21 tXEtXDBX 1 2 1 0 1 tXEtXDBX 2 2 2 0 2 00 21 XX BB 1 X B 2 X B dBdB XX 21 21kk 能描述相关 程度 1k (b) 2k 2k 0 2 X B (a) 1k 1k 0 1 X B 图 3-14 自相关时间 第三章随机过程功率谱密度 自相关时间定义： 通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。 02 0 02 X X X X k B S B dB k tX tX

16、 第三章随机过程功率谱密度 3.3.2 等效功率谱带宽 (a) (b) t 0 tX1 0 t tX 2 tXEtXE 21 图3-15 和 的样本函数曲线 相同的数学期望 tXDtXD 21 相同的方差 tX1 tX2 2 X S 0 1 X S 0 (a) (b) 图3-15 功率谱 第三章随机过程功率谱密度 1 1 0 1 X S 2 2 0 2 X S 因为 ，且 所以 dSS XX 11 02 1 dSS XX 22 02 2 022 0 02202 1 1 1 1 1 1 0 1 X X X j X X X S B S deS S dS 022 0 02 2 2 2 2 2 X X

17、 X X S B S dS 00 21 XX BB 00 21 XX SS 21 能描述出随机 过程起伏程度 图3-15 等效功率带宽 第三章随机过程功率谱密度 等效功率带宽定义： 通常， 说明了 中起伏的最高频率。 02 X X S dS 022 X X S dS f f tX 第三章随机过程功率谱密度 3.3.3 时间带宽乘积 变化缓慢， 变化快， ； 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度 高， 。 时间带宽乘积： tX 1 (a) (b) 0 t tX1 0 t tX 2 tXEtXE 21 图3-16 和 的样本函数曲线 相同的数学期望 tXDtXD 21 相同的方差 tX1 tX 2

18、tX 221kk 21 ff 4 1 02 0 02 0 X X X X k S B B S f 常数 tX1 tX 2 第三章随机过程功率谱密度 例3-3 设随机过程 的自相关函数为 试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。 解：由自相关函数定义 tX 0,0 TeBB T XX T de B deB B S B dB T X T X X X X X k 2 2 02 0 02 0 02 0 第三章随机过程功率谱密度 等效功率谱带宽 TTB B S B S S f X X X X X X 4 1 04 0 02 0 02 TBS XX 020 第三章随机过程功率谱密度 例3-4 已知平

19、稳过程 的谱密度为 求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有 tX others SX , 0 10, 10 1208 tX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 sincos2sincos208 2 1 10 1208 2 1 10 1208 2 1 2 1 djdj dede de deSB jj j j XX 第三章随机过程功率谱密度 100 0 0 X B others SX 0 10 10 120 0 200 0 X S 10 200 20 02 0 0 0 X X k B S 2 5 40 100 02 0 0 0 X X S

20、B f 0 0X S 1010 0 0X B 5 5 5 2 5 2 图 3-17 例3-4 第三章随机过程功率谱密度 3.4 联合平稳过程的互功率谱密度 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻 的关联程度。 功率谱密度函数 互功率谱密度函数 第三章随机过程功率谱密度 3.4.1 互功率谱 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。 采取截断函数规范化随机信号，使之满足 傅立叶变换条件。 第三章随机过程功率谱密度 0 tx t T T a 保留有限区 间的数据 置其它 区间为0 0 ty t T T 图 3-18 样本函数及截断

21、函数 保留有限区 间的数据 置其它 区间为0 b others Ttty tyT 0 others Tttx txT 0 第三章随机过程功率谱密度 截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即 傅立叶变换分别为 txT tyT dttx dttx T T 2 dtty dtty T T 2 T T tj tj Tx dtetx dtetxTjF , T T tj tj Ty dtety dtetyTjF , 第三章随机过程功率谱密度 在时间范围 内， 和 的互功率为 据巴塞伐定理 用 代换 ，则有 互功率也可表示为 TT, tx ty dttytx T dttytx T TP T

22、 T TT T T xy 2 1 2 1 dTjFTjFdttxtx xxTT , 2 1 tyT txT dTjFTjFdttytx yxTT , 2 1 d T TjFTjF dttytx T TP yx T T xy 2 , 2 1 2 1 第三章随机过程功率谱密度 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性； 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。 将时间范围扩展至 ，即 设 则 tx tyTjFx, TjFy, TP xy tX tY d T TjFTjF EdttYtX T ETP YX T T XY 2 , 2 1 2 1 , T d T

23、TjFTjFE dttYtXE T P YX T T TT XY 2 , lim 2 1 2 1 lim T TjFTjFE S YX T XY 2 , lim dSP XYXY 2 1 互功 率谱密度 XY S 第三章随机过程功率谱密度 3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为 T TjFTjFE S YX T YX 2 , lim XYYXYX PdSP 2 1 tW tX tY tYtXtW ttBttBttBttB tYtYEtXtYEtYtXEtXtXE tYtXtYtXE tWtWEttR YYXXYX W , , 第三章随机过程功率

24、谱密度 对自相关函数取时间平均 则 的功率谱密度为 是 和 绞联、耦合部分在频率空 间上的表现。 ,ttBttBttBttBttR YYXXYXW tW YYXXYXW SSSSS YXXY SS和 tY tX 第三章随机过程功率谱密度 3.4.3 互功率谱与互相关函数的关系 1.两个随机过程 和 的互相关函数 和 互功率谱 之间满足 其中 tX tY ttBXY, XY S dettBS j XYXY , deSttB j XYXY 2 1 , T T XY T XY dtttR T ttB _ , 2 1 lim, 第三章随机过程功率谱密度 证明：根据互功率谱定义有 由傅立叶变换 deB

25、ttttdedt T ttB dtdte T ttB T dtdtetYtXE T dtetYdtetXE T TjFTjFE S j T T XY T j T T T T XY T ttj T T T T XY T T T ttj T T T tj T T tj T T T YX T XY 21 21 21 2121 2211 lim , 2 , lim 2 , lim 2 lim 2 lim 2 , lim 12 12 21 deSttB j XYXY 2 1 , 第三章随机过程功率谱密度 2. 若随机过程 和 联合平稳，互相关函数 和互功率谱 之间满足 证明：据联合平稳过程的性质，有 将

26、其带入一般关系式，就可得此关系。 tX tY XY S deBS j XYXY deSB j XYXY 2 1 XY T T XY T T T XY T XY BdtB T dtttB T ttB 2 1 lim , 2 1 lim, XYXY BttB, 第三章随机过程功率谱密度 3.4.4 互功率谱性质 1. 2. 3.若随机过程 和 正交，则 4.若随机过程 和 不相关，且的均值为常 数 ，则 YXXY SS YXYX XYXY SS SS ReRe ReRe YXYX XYXY SS SS ImIm ImIm 0, 0 YXXY SS tX tX tY tY YX mm , YXYXXY mmSS2 0, 21 ttBXY YXXY mmtXEtXEttB 2121, 第三章随机过程功率谱密度 3.5 白噪声和色噪声 按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声 和有色噪声； 白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。 功率谱 函数形状 理想白噪声 带限白噪声 第三章随机过程功率谱密度 0 X S (a) 0 X S (b) 图 3-19 色噪声(a)和白噪声(b) 第三章随机过程功率谱密度 0 X S (a) 0 X S (b) 图 3-20 理想白噪声(a)和