奥数：7-2乘法原理

1、知识框架图7计数综合7- 2乘法原理7-2-1简单乘法原理的应用7- 2- 2较复杂的乘法原理应用教学目标1使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系.3培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.t雌 知识要点、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课， 首先得从家出发到长宁上 8点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1点半的课.如果说申老师的家到长宁有 5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择

2、的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了.、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，

3、一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，第 n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有 AXBXN种不同的 方法.结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共 5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共 2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5X2个可选择的路线了，即 10条.三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题一一比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题一一比如说要 3个字，然后有5种

4、颜色可以给每个字然后，问 3个字有多少种染色的方法；3、地图的染色问题一一同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题一一比如说 6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、 数码问题一一就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字， 然后排个几为数的偶数， 有多少种排法.目W怔 例题精讲模块一、简单乘法原理的应用【例1】邮递员投递邮件由 A村去B村的道路有 B村去C村，共有多少种不同的走法？（3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从2级）A村经【解析】把可能出现的情况全部考虑进去.第二步南1号路A村B村二2号路二C村北1

5、号路A村B村C村2号路中1号路A村B村2号路M C村由分析知邮递员由 A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有 3种方法，而每种方法的第二步又有 2种方法.根据乘法原理，从 A村经B村去C村，共有3 2=6种方法.【巩固】 如下图所示，从 A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从 A地经B地去C【解析】 从A地经B地去C地分为两步，由 A地去B地是第一步，再由 B地去C地为第二步，完成第一步 有5种方法，而每种方法的第二步又有 3种方法.根据乘法原理，从A地经B地去C地，共有5X3=15 种方法.【例2】 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重

6、复经过问：他最多有几种不同走法？ （ 2级）豕【解析】 从家到中间结点一共有 2种走法，从中间结点到学校一共有 3种走法，根据乘法原理，一共有32=6 种走法.【巩固】 在下图中，一只甲虫要从 A点沿着线段爬到 B点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有 几种不同走法？（ 2级）B【解析】甲虫要从A点沿着线段爬到 B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有3种走法；第二步是从C点到B点，一共也有3种走法，根据乘法原理一共有 3X3=9种走法.【例3】 在右图中，一只甲虫要从 A点沿着线段爬到 B点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多 有几种不同走法？ （4级）【解析】从A点沿着

7、线段爬到 B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步,从C点到D点，有1种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法.根据乘法原理，一共有3X1X3=9种走法.【巩固】在右图中，一只蚂蚁要从几种不同走法？（ 4级）A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过.问：这只蚂蚁最多有C D【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A点到C点的走法是3种；第二步，从C点到D点,有1种走法；但第三步，从 D点到B点的走法并不是3种，由D出去有2条路选择，到下一岔路口又有2条路选择，所总共有 2X2=4 （种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有3 1 4=12 （种）

8、不同走法.【巩固】 在右图中，一只甲虫要从 A点沿着线段爬到 B点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多 有几种不同走法？ （4级）【巩固】【解析】从A点沿着线段爬到 B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步,从C点到D点，一共也有3种走法；第三步，从 D点到B点，一共也有3种走法.根据乘法原理,一共有3 3 3 =27种走法.在右图中，一只甲虫要从 A点沿着线段爬到 B点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同走法？（ 6级）B【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响,A点到C点的走法不是3种，而是4种，C点到B点的走法也是4种，根据乘法原理，这

9、只甲虫最多有4 4=16种走法.【例4】 按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多 少个不同的句子？ （4级）爸爸卫乘飞机*去J北京广妈妈*火车汽车2【解析】1、造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地.2、那么这个句子可以分成三个部分；第一个步选择人物，有三种选择；第二步选择交通工具，有三种选择；第三个步一一选择目的地，有三种选择.3、根据乘法原理：3 X3X3=27.【例5】 题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？ （4级）【解析】

10、 从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法根据乘法原理，一共有30X05=54000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷.【巩固】 文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选 1人做领唱，有多少种选法？ （ 4级）【解析】完成这件事需要两步：一步是从女生中选1人，有4种选法；另一步是从男生中选1人，有3种选法因此，由乘法原理，选出1男1女的方法有3 4=12种.还可以用乘法的意义来理解这道题：男生有3种选法，每选定1个男生，再选1个女生，对应着 4种选法，即3个男生，每个男生对应 4种选女生的方法，因此选出1男1女共有3 4=12种方法.【

11、巩固】 小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配.问：共可组成多少种不同的搭配 （帽子可以选择戴与不戴）？（ 4级）【解析】小丸子搭配服装分四步. 第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有5 6种选法；第二步选上衣，有 10种选法；第三步选裤子，有 8种选法；第四步选皮鞋，有 6种选法.根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配. 一共有（5 7 10 8 6 =2880种选法，所以一共可以组成 2880种不同搭配.4级）【例6】 要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？（【解析】

12、第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体一共有6种方法，第三步选出卫生先进集体一共有 6种评选方法，根据乘法原理，一共有 6 6 6 =216种评选方法.【巩固】 从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？（4级）【解析】第一步选出学习先进集体共有6种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5种方法，第三步选出卫生先进集体只剩有4种评选方法，根据乘法原理，共有6X5X4=120种评选方法.【例7】 从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？（4级）【解析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三

13、人，分别有20, 19, 18种挑选法，一共有20 19 18 = 6840 种排法.【例8】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？ （6级）【解析】 五位同学的排列方式共有 5X4X3X2X=120 （种）.如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4X3X2 X1=24 （种）;因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24X2=48（种）;贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72 （种）.【巩固】10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？ （6

14、级）【解析】两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10X6=60 （种）共有60种不同的选法.【例9】“数学”这个词的英文单词是“ MATH ”.用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样.这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？ （4级）【解析】为了完成对单词“ MATH ”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第1步一一对字母“M”染色，此时有5种颜色可以选择；第2步一一对字母“A”染色，由于字母M”已经用过一种颜色，所以对字母“ A”染色只有4种颜色可以选择;第3步一一对字母“T”染色，由于字母

15、M ”禾叭”已经用去了 2种颜色，所以对字母“ T”染色只剩3种颜色可以选择；第4步对字母“ H:染色，由于字母“ M ” A”和“已经用去了 3种颜色，所以对字母“ H ”染色只有2 种颜色可以选择.由乘法原理，共可以得到 5 4 3 2 =120种不同的染色方式.【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程:M有5种选择，这是其中的一种染法*黄每种选择有4种搭配A思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式?每个字母都有5种颜色可选，那么染色方式一共有5拓拓X5=625种染色方式.【巩固】“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3

16、种不同颜色来写，现有 5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4级）【解析】第一步写“I”有5种方法，第二步写“ M ”有4种方法，第三步写“ O”有3种方法，共有54X3=60种方法.【例10】“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有 6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？ （ 4级）【解析】第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五 步写 命”有2种方法，第六步写 运”有1种方法，根据乘法原理，一共有6 5 4 3 2 1 =720种方法.【巩固】 有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相

17、邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？ （ 4级）【解析】写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有5种选择，所以，有6 5 5 5 5 5 =18750种写法.【巩固】 用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？ （4级）【解析】第一个字有5种写法，第二个字有 4种写法，第三个字也是 4种写法，同理后面的字也是 4种写法， 共有 5X4X4=320 种.模块二、较复杂的乘法原理应用【例11】北京到上海之间一共有 6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）（6级）【解析】京沪线上中间六个站连北京上海两站一

18、共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，相同的起点站又可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8X7=56种不同的车票.【巩固】 （难度等级 一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？（6级）【解析】 将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是56吃=28条线段.【巩固】 某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？（ 6级）【解析】不同的车票上起点站可以有6种，相同的起点站又可以配5种不同的终点站，所以一共要准备6 5 =30种不同的车票.【巩固】 北京到广州之间有 10个站，其中只有

19、两个站是大站 （不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以 配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？ （6级）【解析】京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4X1仁44种不同的车票.【例12】由数字1、2可以组成多少个两位数？由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？ （6级）【解析】组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2种方法；第二步确定个位上的数字,2种方法；第二步有2种方法.根据乘法原理，由数字 1、2可以组成2 X2=4个两位数，即11, 12, 21, 22.组成没有重复数字

20、的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有1种方法，由乘法原理，能组成2 X1=2个两位数，即12, 21.【巩固】 用数字0, 1 , 2, 3, 4可以组成多少个：三位数？ 没有重复数字的三位数？ （6级）【解析】 组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选. 也分三步完成.第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择根据

21、乘法原理，可以组成4 4 3=48个没有重复数字的三位数.【巩固】 由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？ （6级）【解析】分三步完成：第一步排百位上的数，有3种方法；第二步排十位上的数，有2种方法；第三步，排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成3 2 1=6个没有重复数字 的三位数.分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法，由乘法原理，由 3、6、9这3个数字一共可以组成 3 3 3=27个三位数.【例13】有五张卡，分别写有数字 1、2、4、5、8.现从中取出3张卡片，并排放在

22、一起，组成一个三位数， 问：可以组成多少个不同的偶数？ （6级）【解析】分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、8三种不同的选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有4种不同的选法；最后从剩下的 3张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有3种不同的选择.根据乘法原理，可以组成3MX3=36个不同的三位偶数.【例14】有5张卡，分别写有数字 2, 3, 4, 5, 6如果允许6可以作9用，那么从中任意取出 3张卡片， 并排放在一起问 可以组成多少个不同的三位数？ 可以组成多少

23、个不同的三位偶数？ （6级）【解析】 先考虑6只能当6的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以2就可以了，分三步取出卡片：第一步确定百位，有 5种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他4个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择.根据乘法原理，考虑 6可以当作9，可以组成5 4 3 2=120 （个）不同的三位数.先考虑6只能当6的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、6三种不同的选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有4种不

24、同的选法；最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有3种不同的选择.根据乘法原理，6只是6时，可以组成3 4 3 = 36（个）不同的三位偶数.这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以2就可以的，因为如果个位是6的话变成9就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是6 一共有4 3=12 （个）不同的三位偶数，所以，可以组成36 2 -12=60 （个）不同的三位偶数.【例15】用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？（6级）【解析】排百位、十位、个位依次有3种、2种、1种方法，故一共有3X2X1=6（种）方法，即可以组成6个不同三位数它

25、们依次为123,132,213,231,312,321 .故213是第3个数.【巩固】 有一些四位数，它们由 4个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4个数字和等于12.将所有这样 的四位数从小到大依次排列，第35个为. （6级）【解析】4个互不相同且不为 0的数字之和等于12,只有两种可能：1 + 2+3+6或者1+2+4+5.根据乘法原理， 每种情况可组成 4X3X2 X1=24个不同的四位数，一共可组成48个不同的四位数.要求从小到大排列的第35个数，即求从大到小排列的第14个数.我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取6,而千位是6的数共有3X2=6个；接下来是5,千位为5的数也有

26、6个.所以第13个数应为4521 , 第14个是4512，答案为4512.【例16】将1332, 332, 32, 2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码, 共有多少种不同的划法？ （8级）【解析】 从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑.从位数最多的1332开始：划掉1332中的1,剩下332, 332, 32, 2四个数；划掉位数最多的 332中的2，有2种不同的顺序，划掉后剩下33, 33, 32, 2四个数；划掉32中的2，剩下33, 33, 3, 2；两个33中，各划掉一个 3,有4X2=8种划掉的顺序，之后剩下3, 3, 3, 2四个数；

27、划掉2后，剩下3, 3, 3,有3X2=6种划掉的顺序.根据乘法原理，共有不同的划法：2 X8X6=96种.【巩固】 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另个三位数，例如：532吃掉311, 123吃掉123,但726与267相互都不被吃掉.问：能吃掉678的三位数共有多少个？ （6级）【解析】即求百位数不小于6,十位数不小于7,个位不小于8的自然数百位数不小于 6，有4种；十位数不小于7,有3种；个位不小于8,有2种.由乘法原理，能吃掉678的三位数共有4 3 2=24种.【例17】如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由

28、7个不同的数字组成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？ （8级）【解析】四位数的千位数字是1 由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于19，所以这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和均等于9 这两个数的其他数字均不能为8 .四位数的百位数字 a可在0、2、3、4、5、6、7中选择（不能是9），有7种选择，这时三位数的 百位数字是9 - a;四位数的十位数字 b可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9-b .四位数的个位数字 c可在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9_c 因此，根据乘法原理，这样的四位数有7 6 4=168个.【例18】用19可以组成 个不含重复数字的三

29、位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成 个满足要求的三位数？（ 8级）【解析】1） 9X8X7=504个.2） 504-（6+5+5+5+5+5+5+6）X6-70=210 个；（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12, 23, 34, 45, 56, 67, 78,89的情况，X 6是对3个数字全排列，7 0是三个数连续的123、234、345、456、567、789这7种情况）.【例19】电子表用11:35表示11点35分，用06: 05表示6点5分，那么2点到10点之间电子表中出现无重复 数字的时刻有次.（8级）【解析】根据题意，在2点到1

30、0点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为0,后一位可以为29;表示分钟数的二位数字前一位可以为05,后一位可以为09,再考虑到无重复数字，当时间为2点多、3点多、4点多或5点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有6-2 = 4种选择，后一位数字有10-3=7种选择，此时有4 7=28种可能，比如02:ab时，a可以为1, 3, 4, 5, b就 剩下10-3=7种可以选择所以这几种情况下共有28 4 =112种.类似分析可知，当时间为6点多、7点多、8点多、9点多时，每种情况下都有 5 7 = 35种，共有35 4 =140 种.所以共112140 =252种.【例20】（200

31、8年西城实验考题）在1, 2, 3,7, 8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共 有种.（8级）【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3.8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况.奇数的排列一共有 4! =24种，对任意一种排列 4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的 3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有4 3 2 =24种，所以一共有24 3 24 =1728 种.【例21】在右图的每个区域内涂上 A、B、C

32、、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有种不同的染色方法.（8级）【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有4 3 2 =24种染色方法.如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后， 由于6号区域的颜色不能与 2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理 5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当 1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区 域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法.【例22】如图，地图上有 A, B, C, D四个国家，现用五种颜色给地图染色，

33、要使相邻国家的颜色不相同, 有多少种不同染色方法 ？（ 6级）【解析】第一步：给 A染色，有5种颜色可选.第二步：给B染色，由于B不能与A同色，所以B有4种颜色可选.第三步：给C染色，由于C不能与A、B同色，所以C有3种颜色可选.第四步：给D染色，由于D不能与B、C同色，但可以与 A同色，所以D有3种颜色可选.根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有 5 4 3 3=180种不同的染色方法.【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D， E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同一种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ （ 6级

34、）【解析】第步，给第二步，给B国上色,A国上色，可以任选颜色,B国不能使用A国的颜色，有三种选择;第三步，给C国上色，C国与B ,A两国相邻,第四步，给D国上色，D国与B ,C两国相邻,第五步，给E国上色，E国与C ,D两国相邻,所以不能使用 A , B国的颜色，只有两种选择;因此也只有两种选择；有两种选择.共有4 3 2 2 2 =96种着色方法.【例23】如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求

35、相邻区块颜色不同,【解析】对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有 9个区块,我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2，所以一共有：43222222 2 =1536 种.【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ （6级）【解析】涂三块毫无疑问是分成三步第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂 B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂 C部分，C和A、B都相邻

36、，A和B确定了两种不相同的 颜色，那么C只有一种颜色可选择了 然后再根据乘法原理.【例24】（难度等级 探）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色,使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法?【解析】 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有 4 3 2 2 2 =96种方法.【讨论】如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4 3 2 2 2 =96种方法.如果染色步骤为 C-A-D-B-E那

37、么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4X3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果 D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A 染不同的颜色，那么 D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有4 3 （1 2 2 2 1 2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授），染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.【巩固】?（8 级）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法【解析

38、】为了便于分析，把地图上的 7个县分别编号为 A、B、C、D、E、F、G （如左下图）.ABCDEFG为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢？由于有7个区域，我们不妨按 A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜 色依次分7步来完成染色任务.第1步：先染区域 A，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B，由于B不能与A同色，所以区域 B的染色方式有4种；第3步:染区域C，由于C不能与B、A同色，所以区域C的染色方式有3种；第4步:染区域D，由于D不能与C、A同色，所以区域D的染色方式有3种;第5步:染区域E，由于E

39、不能与D、A同色，所以区域E的染色方式有3种;第6步:染区域F，由于F不能与E、A同色，所以区域F的染色方式有3种;第7步:染区域G，由于G不能与C、D同色，所以区域G的染色方式有3种.根据分步计数的乘法原理，共有5 4 3 3 3 3 3=4860种不同的染色方法.【例25】右图中共有16个方格，要把 A, B, C, D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子.问：共有多少种不同的放法?A , A可以【解析】由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事.第一步放棋子放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B ,由于A已放定，那么放A的

40、那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放 B , B有9种放法；第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C , C有4种放法；最后一步放 D ,再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D , D有1种放法由乘法原理，共有16 9 4 1 =576种不同的放法.【巩固】 在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？ （6级）【解析】要放五枚棋子，肯定需要分五步完成. 观察到图中的表格正好是五列的，刚好在每列放一个棋子. 于是，我们不妨按第1列、第2列、第3列、第4列、第5列的顺序依次摆放棋子.第一步：在第1列填入一个

41、棋子.因为第 1列只有两个格，所以有 2种放法.第二步：在第2列填入一个棋子.因为第 2列共有三个格，可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行，所以有 3-1=2种放法.第三步：在第3列填入一个棋子.因为第3列共有四个格，可是被放在第一列、 第二列的那两个棋子各占了一行，所以有 4-2=2种放法.第四步：在第4列填入一个棋子.同理推得有5-3=2种放法.第五步：在第5列填入一个棋子.同理推得有5-4=1种放法.根据乘法原理，往方格内放入 5枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有2 2 2 2 1 =16种放法.【例26】用3种颜色把一个3 3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不

42、相同，一共有种不同的染色法.（6级）【解析】根据题意可知，染完后这个 3 3的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色.用3种颜色染第一行，有 P33 -6种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯种染法.所以，根据乘法原理，共有 3 2=6种不同的染法.【例27】下图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？ （6级）楚河/汉界/、【解析】第一个棋子有90种放法，第二个棋子有 72种放法，根据乘法原理，共有 90

43、 72 =6480 （种）不同的放置方法.【巩固】 国际象棋棋盘是8X 8的方格网，下棋的双方各有 16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车” 同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一 时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？ （8级）【解析】对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7X7=49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64X49=3136种方法.【例28】奥运吉祥物中的5个“福娃”

44、取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮如果在盒子中从左向右放 5个不同的“福娃”，那么，有 种不同的放法.【第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（6级）【解析】可得5 4 3 2 1 =120 （种）.【例29】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.问： 如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不 同的安排顺序？ 如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安 排顺序？【仁华试题】（6级）【解析】将4个舞蹈节目视为1个节目，七个节目一起排列一共有 7 6 5 4 3 2 1 =5040个，但舞蹈节目还有4 3 2 1 =24种排列.所以一共有 5040 24 =120960种.优先安排将6个演唱节目顺序，一共有6 5 4 3 2 1 =720种方法，然后将4个舞蹈节目按顺序安插到6个演唱节目前后不同位置，包括首尾一共有6 1=7个位置可供 4个舞蹈节目安插，共有7 6 5 4 =840个安插方式，所以一共有 720 840=604800种排列方式.【例30【解析】四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排