初中数学竞赛培优讲义 含答案 19：因式分解

1、4 23 3 3424 2 4 2 2 2 2 2 223 332 233322332233222 2 23553322装订线初中数学竞赛培优讲义数学竞赛练习（19）因式分解一、内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介 紹两种方法添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例 1 因式分解：x +x +1 a +b +c 3abc分析：x +1 若添上 2x 可配成完全平方公式解：x +x +1x +2x +1x =(x +1) x =(x +1+x)(x +1x) 分析：a +b 要配成（a+b） 应添上两项 3a

2、 b+3ab解：a +b3+c 3abca+3ab+3abb+c3abc3ab3ab（a+b）+c3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) (a+b)c+c 3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a +b +c abacbc)例 2 因式分解：x 11x+20 a +a+1分析：把中项11x 拆成16x+5x 分别与 x ,20 组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16 是完全平方数）解：x11x+20x 16x+5x+20x（x16）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x14x+5)2 2555 2 22 32222323 23 2323 223 23

3、 22232222222222+22+2224244224333 233 2 2 33 23 2 233 23 3 2 233 232222分析：添上a 和 a 两项，分别与 a 和 a+1 组成两组，正好可以用立方差公式 解：a +a+1a a +a +a+1=a (a 1)+ a +a+1=a2(a1)( a +a+1)+ a +a+1= (a +a+1)(a a+1)运用因式定理和待定系数法定理：若 x=a 时，f(x)=0, 即 f(a)=0，则多项式 f(x)有一次因式 xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例 3 因式分解：x 5x +9x6 2x 13x +3分析：以 x

4、=1,2,3,6（常数 6 的约数）分别代入原式，若值为 0，则可找到一次 因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2 时，x5x+9x60，原式有一次因式 x 2，x 5x +9x6（x 2）（x 3x+3,）分析：用最高次项的系数 2 的约数1，2 分别去除常数项 3 的约数1 31，3 得商1，2， ， ，再分别以这些商代入原式求值，2 2可知只有当 x=12时，原式值为 0。故可知有因式 2x-1解：x=12时，2x 13x +30，原式有一次因式 2x1，设 2x 13x +3（2x1）（x +ax3）， （a 是待定系数） 比较右边和左边 x 的系数得 2a113， a

5、=6 2x 13x+3（2x1）（x 6x3）。例 4 因式分解 2x +3xy9y +14x3y+20解：2x2+3xy9y（2x3y）(x+3y), 用待定系数法，可设2x +3xy9y+14x3y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b 是待定的系数，比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数，得a +2b =14 a =4 解得3a -3b =-3 b =52x +3xy9y +14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x+(3y+14)x(9y3y20) 这是关于 x 的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x +(3y+14)x(

6、9y 3y20)mx（3y4）nx+（3y+5） 比较左、右两边的 x 和 x 项的系数，得 m=2, n=1 2x +3xy9y +14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5) 三、练习 191分解因式：x +x2y +yx4+4x23xy +y2. 分解因式： x +4x29 x41x+30x +5x 18 x 39x703. 分解因式：x +3x y+3xy +2y x 3x +3x+7x 9ax +27a x26a x +6x +11x+6 a +b +3(a +b )+3(a+b)+24. 分解因式：3x 7x+10 x 11x +31x21x44x+32x5x+15. 分解因式

7、：2xxy3y6x+14y8 （x23x3）（x+3x+4）8222 2 2 22 242444333224 24 23 33 33322222（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48 （2x7）(2x+5)(x 9)91 6分解因式： x y +1x y +4xy x y +2x4y3x+x2ax a+1 （x+y）+x+y（a+b+c）（a +b+c3）7. 己知：n 是大于 1 的自然数 求证：4n +1 是合数8己知：f(x)=x +bx+c, g(x)=x +6x +25, p(x)=3x +4x +28x+5 且知 f(x)是 g(x)的因式，也是 p(x)的因式求：当 x=1 时，f(x)的值练习 19 参考答案：1. 添项，配成完全平方式(仿例 3) 2.拆中项，仿例 1 3. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y) +y原式=(x-3a) +a 原式=(a+1) +(b+1)4. 用因式定理，待定系数法，仿例 5，6x=12时，原式=0，有因式 2x15. 看着是某代数式的二次三项式，仿例 7原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x -x-8)(2x -x-28)= 6. 分组配方原式=(x+1)2-(x+a) 把原式用