三角函数和差化积与积化和差公式_第1页
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文档简介

1、q+f q-fq+f q-f和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积sina+sinb=2sina+b a-bcos2 2sina-sina+b a-b b=2 cos sin2 2cosa+cosb=2 cosa+b a-bcos2 2cosa-cosb=-2sina+b a-bsin2 2【注意右式前的负号】证明过程sin +sin =2sin(+)/2cos( - )/2的证明过程q sin( + )=sin cos +cos sin ，sin( -)=sin cos -cos sin ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin( + )+sin( - )=2sin cos ，设 +

2、= ， -=那么 a = ， b=2 2把 ， 的值代入，即得sin +sin =2 sin cos2 22 、正切和差化积tantan=cotcot=tan+cot=sin(ab) cos a cos bsin(ab) sin a sin bcos(a-b) cos a sin btan -cot= -cos(a+b) cos a sin b证明：左边=tantan=sin a sincos a cosbb=sina cos bcos a sincos a cos bb=sin(ab) cos a cos b= 右边(1在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用 若是

3、高次函数，必须用 降幂公式 降为一次3 、积化和差公式诱导公式 化为同名；或写作：cos(a-b)-cos(a+b)sin a sin b= （注意：此时 差的余弦 在和的余弦 前面）2cos(a+b)-cos(a-b)sin a sin b=- （注意：此时公式前有 负号 ）2cos(a-b)+cos(a+b)cos a cos b=2sin(a+b)+sin(a-b)sin a cos b=2sin(a+b)-sin(a-b)cos a sin b=2证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：sina sinb=-=-1 -2sin2(cosacosa sinb-sinb)asinb)-(cos 2acosb+sinasinb)=- cos(a+b)-cos(a-b)2其他的 3 个式子也是相同的证明方法。结果除以 2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。 sin 和 cos 的值域都是 -1,1 ，其和差 的值域应该是 -2,2 ，而积的值域确是 -1,1 ，因此除以 2 是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数 2 ，如： cos( - )-co

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