不定积分第一类换元法精编版

1、最新资料推荐不定积分第一类换元法(凑微分法)一、 方法简介设 f(x) 具有原函数 F(u)，即F(u) f (u)， f (u)du F(u) C，如果 U 是 中间变量， u (x)，且设 (x) 可微，那么根据复合函数微分法，有 dF (x) f (x) (x)dx 从而根据不定积分的定义得f (x) (x)dx F (x) C f (u)duu (x). 则有定理：设 f(u) 具有原函数， u (x) 可导，则有换元公式f (x) (x)dx f(u)duu (x)由此定理可见，虽然 f (x) (x)dx是一个整体的记号，但如用导数记号 dy dx 中的 dx及dy 可看作微分，被

2、积表达式中的 dx也可当做变量 x 的微分来对待，从 而微分等式 (x)dx du 可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式：ax b)dx 1 f (ax b)d(ax b) af(sin x) cosxdxf (sin x)d sin x ，(a 0) ；f (cosx)sin xdx f (cosx)dcosx ，dxf (tan x) 2 f (tanx)d tanx ，cos2 x3 f (ln x)1 dx f(ln x)dln x， f (ex ) ex dxxn n 1 1 n nf(xn )xn 1dxf (xn )dxn (n 0) ，ndxf(cot x) 2

3、f (cot x)d cot x ；sin 2 xf(ex )dex ；f (1x) xdx2f(1x)d(1x)x x x xf ( x) dx 2 f ( x)d( x)； xf (arcsin x)dx1 x2f (arcsin x)d arcsin x ；最新资料推荐f (arctanx)dx1 x2f (arctan x)d arctanx ；6 复杂因式二、典型例题11 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) (a 0) ；a例 1. (2x 1)2010 dx例 2. 13x 1x2例 3.xdx11 x2 (1 x2)3例 4.1x3 xdx14x1解：令 u 2

4、x 1, du 2dx,(2x 1)2010 dxu2011C2011(2x 1)2011 C20112解：令 t2x，x3tdt 1 (t 1 1)dt1 x21tt 1d(t 1) 12 t 11 d(t 1)2223(t 1)21 2 1 t C 1(x2 1)21 x2 C23xdx3解：1 x2 (123x2)312d(1 x2)(1 x2) (1 x2) 3令1 x2 t原式 12t t 2dt 1dtd( t 1)1t2 1 1 x2x3 x4解：dx1 x4x31 x4dxxdx1 x4最新资料推荐1 d(1 x )4 1 x44121dx2x41 arcsinx2 C21 2

5、 1 x441 (arcsin x 2 1 x4 ) C2dxf (tan x) 2cos2 x2 f (sin x) cos xdxf (sin x)d sin x， f (cosx)sin xdx f (cosx)dcosx，dxf (tan x)d tan x ， f (cot x) 2 f (cot x)d cot x ； sin2 x例 1. tan xdx 2例 3. 1 sinx cosx1 sin2 x 例 5. dx 3 1 sin x cos xdx1例 7. 设 a,b 为常数，且 a 0 ，计算例 2.x2 dxsin x例 4. dx 4 1 sin xcos4 x

6、sin x cosx1例 6. 4 4 dxsin x cos xtanx 1I 2 2 2 2 dxa sin x b cos xdusin xdx ，du1. 解：设 u cosx ，sinx tan xdx dxcosx udu sin xdxln(u) C ln(cos x) C2解：3解：x2 dx xd(cot x) xcotx cot xdx sin2 xxcotx ln sin x Cdxdx 2 2 2 cos x 2 cos x1 sinx cosxd (cos x)4. 解：1 sin 2dxsin xcos4 xd(sin x)1 2sin 2 x1 2 cosx2 2

7、 ln arctan(sinx) cos2 x( 2sec2 x 1) 2 2 2 cosxdx1 ln 2 cosx arctan(sinx)2 2 2 cosxdtanx21 2tan2 x1 2 cosx 1ln arctan(sinx) arctan( 2 tan x) C 2 2 2 cosx 2sin 2x cos2 x4 dx sin xcos xsin xcos4 xdx22sin x cos x2 dxsin xcos x最新资料推荐dcosx4 cos x 13cos3 x cosxdcosx2cos x1dxsinxln cscxcotx C5. 解：dx 3sin xc

8、os3tan xdcxos4 x tan x cos x22sin x cos xdtanxxtan x cos21 tan2 x1d tanx tan tanx 2x ln tanx C6.解：令 u 2x，再令 v cosu ， sin x cosx1dx2有sin2xsin4 x cos4 x2 1 2cos 2x sin 2x2dcosudx 14sinu4 2 1 1 2 cos u cos u2211arctanv C arctan(cos2x) Cdu2 1 2cos u sin u21 dv2 1 v27解： Itanxcos2 x(a2 tan2 x b2)dxtanxd t

9、anx2 2 2 a2 tan2 x b212a2d(a2tan2 x b2)2 2 2a2 tan2 x b212a2ln( a 2 tan 2 x b2) C3 f (lnx)1 dxxf (ln x)d ln x， f (ex )exdxf (ex )dex ；例 1. dx 3 x(1 2ln x)例 2. e5xdx 2x例 3. e x dx 2 3 4exx 例 5. 1 ex dx (1 e2 )2x 例 7.xxe dx 1ex 2例 4.例 6.例 8.1. 解：dxx(1 2ln x)dln x1 2ln xdxx 1 ln 2 xxx2x 3x dx xx 9x4x21

10、ln tanx 2 dx cos x sin x最新资料推荐1 d(1 2lnx) 1ln1 2lnx C2 1 2ln x 22. 解 ：令 u 5x， du 5dx1eu C5e5xdx 51 eudu15e5x C3. 解：令 u 3 4ex ， du 4exdx3 4ex dx1 11du ln4 u4uC1ln(3 4ex) C44. 解：令 u ln1du dxxdxx 1 lndu arcsin u C1 u 2arcsin(ln x) C5. 解：1 exdx(1 e2 )2 2e2dx x 2xe2(1 e2 )2(1 e2 )2dx(1 e2 )2x 4 d(e2 1)(1

11、 e2 )24 x Cx1 e22(32)x3 22xdx(32)2x 1(32)x1(32)x1ln2(ln 3 ln2)2(ln 3 ln 2) ln3x 2x3x 2x7. 解：dx xd(ex 2)ex 2 ex 2x xe2 xd( ex 2)2x ex 2 2 ex 2dxt 2 2 2t 2 2t22dt2x ex 224 (1 2 t2 )dt2x ex 21t4t 8 arctan C22ex 22x ex 2 4 ex 2 4 2 arctan e 2 C8. 解：ln tan x dxcosxsinx tanxln tan x d tan xln tan xd(ln ta

12、nx)2(ln tanx) Cf (xn)xn 1dx 1 f(xn)dxnn1 dx11(n 0) ，f(1) d2xf (1)d(1)x xxxf( x) dx 2 f ( x)d( x) ； x例 1.3 例 2. 1 x2dx例 3. x 1 x dx 41x例 4.dx 1 x( ln x a ln x b)2例 5 12 3 (x 21) dx 1x2 x2例 6. dx (a 0) 1x(a x)例7arcsin x1xdx1最新资料推荐令ex 2 t2,ex 2 t2, x ln(2 t2),dx 22tt2dt原式 2x ex 22t 2t 2 dt 2x ex 2 42 t

13、 2dx3x1. 解：1 dx2x2. 解：x31x2 21 2121xx2dx121xx2dx212( 1 x211x2)d(1x2)dx 2 e3 x d x2 e3 xd(3 x) 2e3 x C336最新资料推荐13(1 x2) 21 x2 C3. 解：x(1 x)dx1 x21对于右端第一个积分，凑微分得1dx (1 x2) 2d(1 x2)x 1 x dx 1xxdxx2 1x2dx2xx21 x2 第二个积分中，2x1 x21 x2 Cdx用代换 x sintsin2tcostdtcost2dt21 cos tt111 2sin2t C arcsin x x 1 x2 C2422

14、112原式 arcsin x (x 2) 1 x2 C224. 解：ln x a lnx b x( ln x a ln x b) x(a b)dxx(a b)dxlnx ad(lnx a) 1 lnx bd(lnx b) b a b33(ln x a)2 (ln x b)2 C3(a b)5. 解：x123 (xx21)2dx3 (1 1)2 d(1)3 (1 1)2 d(1 1x)xx6. 解：C53)1dx x(a x)2arcsin ax C7. 解： arcsin x dx 2 arcsin xd( 1 x) 1x2 1 x arcsinx 2 11 xx d x最新资料推荐dx5 f

15、 (arcsin x)1xf (arcsin x)d arcsin xdxf (arctanx) 21 x2f (arctan x)d arctanx；例 1. 1021arccosx3dx2x例 2. x(1 x) dx1 arctan x 1dx例 3.x(1 x)例 4. 4 xdx 2 3 11 x4 (arcsin x 2 ) 3例 5.arcsin x 1 x21x2 1 x2 dx1. 解：2 arccosx101 x2 dx102arccosxd2arccosx10arccos x C2ln102. 解：arctan xdxx(1 x)2 arctan xd x 2arctan

16、 xd(arctan x)1x(arctan x) 1 arctan x d (arctan x 1)43(1 arctan x)2 C C3. 解：1 arctan x1 xa(r1ctanx) x dx4解：xdx1 x4 (arcsinx2)312dx2(arcsin x 2 ) 3 1 x4d arcsinx2312 (arcsinx 2 )1 2 214(arcsinx2) 2 C5解：arcsin x 1 21 x2dx arcsin xd(arcsin x) (arcsin x)2 C令 x sint ，dxx2 1 x2dsintsin 2 t 1 sin 2 tsindt2t

17、cott C arctan x dx x1 ( x)2 dx x2 C最新资料推荐arcsin xdxx2 1 x21 x2arcsin xd( ) arcsin x(1 x21 x arcsin x ln x Carcsin x21 x2x21 x2dxarcsinx( 1 x2arcsinx )dxx2 1 x21 2 1 x2arc sin x arcsin 2x ln x C6 复杂因式例 1. x4 1dx 4x1arctan1例 2. 1 x2xdx1例 3. 1 2 ln1 x dx11 x21 x例 4.ln(x 1 x2 ) dx 11 x2例 5.1 cosx dx1 si

18、n x例 6. ex(11 csoinsxx)dx11. 解：xx24 11dxx1x2x12xdxd(x 1)x12(x 1)2 2x2. 解：1 1 1 1(arctan ) ( ) 2x 1 (1)2 x 1 x2xarctan1x1 11 12xdx(arctan 1 ) d(arctan 1)1 (arctan 1 ) 2C1 x2x x2 x3. 解：1 x 2(ln ) 21 x 1 x11 x11 x1 x11 x22 ln dx ln d(ln ) (ln)2 C1 x21 x21 x1 x41 xarctan2x2xC 1 arctan x 1 C2 2x1x最新资料推荐4. 解：dx 2ln(xx2 1) Cx2 1ln(x 1 x2 )21 x2dxln(x 1 x2 )d (ln( xx2 1)23ln(x31 x2 )2 C5. 解：1 cosx dx sinx2cosx22dxx x 22sin cos sin 2 2 2dx2ln tanx C4xd(tan x) 24 tan x 46. 解：x 1 sin xex(1 sin x)(1 cosx)ex ()dx 2 dx1 cosx 1 cos xxe2 dx sin