8磁场能量与磁场力

1、0单个线形载流回路系统4.8 磁场能量与力4.8.1 恒定磁场中的能量假设在各向同性、线性媒质中，电流和磁场的建立过程是缓慢进行的，没有电 磁能量的辐射和其它损耗。于是，外源做功全部都将转换成磁场中储存的能量。下 面按 3 个步骤来建立系统的磁场。1) 单个载流回路系统在空气中有电感为 L 的载流回路 l ，其电流由零逐渐增加到 I。设电流已增加到i ，经过 dt 时间又有 di ，致使周围空间磁场变化， 在 l 回路中产生磁链增量 d ，在 l 回路引起感应 电动势ddt以反抗电流 i 的变化。为保持电流 I 随时间逐步 的增长，必须在 l回路中加以电压增量 du = ， 抵消 的影响。于是

2、，在 dt 时间内，外电源输 入回路 l 的能量dW ( )idt id id Li Lidi将全部转换成磁场能量。最后，单个载流回路系统中建立的磁场能量为WmdWmILidi 1LI 2 1L0224.8.1)2) 有两个线形载流回路系统空气中有两个载流回路 l1和 l2，自感分别为 L1和 L2，互感为 M，它们的电流 i1和 i 2将由零逐渐增加到 I1和 I2。按以下方式来建立磁场：维持 i2为零，使 i1由 0 I1设回路 l1中的电流已增加到 i1，经过 dt时间又有增加 di1，在 l1回路中有磁链增量 d 11，将在回路 l1 中 产生感应电动势d 11dt ，它会阻止 i1

3、的增长。外源将增加电压 du= 1，提供能量以便维持 i1 的增长dW11i1dt i1d 11 i1L1di1两个线形载流线圈系统于是， i1由 0 I1 外源提供的能量为12I1 11I 1 1 2 W1 dW1 0I1i1L1di1 12 L1I12d 21i1 在 dt 时间内有增量 di1，将在 l2 中产生磁链增量 d 21，出现感应电动势2 ，为防止 l2中有电流产生，外源提供 2，使 i2 保持为零。此时，外源 dt并不做功。维持 l1中 I 1不变，使 l2中 i2由 0 I2设l2中已增加到电流 i2，在 dt 时间内，有电流增量 di2。一方面将在 l2中产生自感磁键 d

4、 22，使 l2 出现感应电势 2d 22dt 。为保持 i2 不断增加，外源将提供电压 du= 2，以抵消 2 的影响，由此而提供能量I2dW22i2dt i2d 22 i2L2di2W2dW2 i2L2di2 1L2I22 1 I2 220 2 2另一方面，di2也将在 l1 中引起互感磁链增量 d 12，产生感应电势 1d 12dt为保持 l1中的电流 I1不变，外源将提供电压 du = 1，于是提供能量dW121I 1dt I 1d 12 I 1Mdi2I2W12dW12MI 1di2 MI 1I 2 外源提供的能量全部转换为磁场能量 外源提供的能量4.8.2)Wm W1 W2 W12

5、 1L1I12 1L2I22 MI1I2全部转换为两电流回路系统中储存的磁场能量。改写上式Wm1 L1I12 1MI1I22 1 1 2 1 21 L2I22 1 MI1I22 2 2 2 1 211I1 L1I1 MI 2I 2 L2I2 MI11121I1 11 12 I 2 222211 II4.8.3)2I1 1 2I1 23) 有 n 个线形载流回路的系统设系统中有 n 个电流回路 l1、l2, l n，其上电流为I1、I2, I自感分别为L1、L2, Ln，两回路间的互感分别为 Mij ( i =1、2,n-1；j = i+1) 。类比上式，可推得1 21 21 2Wm1 L1I1

6、21 L2I221 LnIn2m2 1 12 2 22 n nM I I M I I13 1 3 ( n 1 )n n 1 nn n 1 n122LkIk2M ij IiI j2 k 1 i 1 j i 1M12I1I21nII k k2 k 1(4.8.4)即为 n 个线形载流回路系统的磁场能量，其中，带自感Li 的项称为 i 号回路的自有能，带互感 Mij(i j)项为 i 和 j 号回路之间的相互作用能。 Lk、Mij、 k 分别为第k 号回路的自感、 i 和 j 回路之间的互感，以及 k 号回路中所交链的磁链。由上面的推导，我们已建立起了按场源的分布计算磁场能量的公式。4.8.2 电磁

7、能量的分布对于 n 个线形载流回路系统，设若每个回路都是一匝，可以将第 k 号回路交链的磁链表示为S B d S A dllk则 n 个线形载流回路系统的磁场能量可表示为1Wm 2 I k A dlk 1lk连续分布的电流可看作由大量线形电流回路组成，其磁场能量可写为1Wm 12A I kdlnlk1此处 Ikdl 为元电流段。若考虑是体电流分布， Ikdl 可用 dqv Jc dV 表示，需要将改写成 V 体积分形式。此时有 A Ikdl A Jc dV 。于是1WmA Jc dV2V用半径为 R的球面，将源区包围在其内，以球面包围体积 V 作体积分Wm112 V A Jc dV此时积分有效

8、区仍只是源区 V 。对于被积函数，有矢量恒等式H H A H AWm2VH A dV 1 H B dV2V运用高斯散度定律当 R 趋于很大，1 比于 ， H 正比于RWm 2 S1 V H B dV2VS球面亦很大，而电流区仅在处于球心的有限区域。此时1SdS 正比于 R2。即是说式中面积分项正比于2R2A正R1，当R ，面积分趋于零。有Wm 12 V H B dV(4.8.5)这是又一磁场能量计算公式，它表明 只要有磁场存在的地方就有磁场能量，磁场能1量漫布于磁场存在的整个空间 。其被积函数： 1 H B表示了单位体积中储存的磁场2能量，其单位为 J/m3，称为能量密度，以 m 表示，有m

9、12 H B(4.8.6)在各向同性线性媒质中，12 H2 21 B2(4.8.7)1磁场能量以体密度 m=1 Hm2B=12H 2 漫布于整个磁场存在的区域同轴电缆的磁场I2e至此，我们有了两个计算磁场能量的计算公式。4.8.3 磁场能量计算举例例 1. 计算同轴电缆的磁场能量和自感解：分析长直同轴电缆，其长度 R3，可忽略边沿效应， 视其场为平行平面场，又是轴对称，一横截面上场分布可以反映其磁场分布特征。建立圆柱标，有B B( ) e 。为计算能量和自感，必须首先计算磁场的分布。(1) 求 B 分布： 取圆心在坐标圆点，半径为 的 B 线 圆 l 为积分回路，由安培环路定律 R1H121R

10、12I2 R12 em112 0H120I 2 28 2R14R1R2H2m20H 220I2822R2R3H3R22R32 R22IeI R322 e2 R32 R22 em312 0H320I 2 R32 2 28 2 R32 R22 2 2(2)求磁场能量：lnWm10Il2R1Wm2Wm38 2R14 0 00I 2 2 ld d dz8 2R140I2 2 l0I2R2R18 2 R32 R22 20lI 24 2 R32所以同轴电缆的磁场能量为Wm Wm1 Wm2 Wm30lI216 4lI 20lI lnR102dR32lR20lI 2160lI 20 ln4R322R2R12d

11、R22 2 R34ln RR23 R32 R32 R22 41 R34 R24R34ln3 R2R2R1 4 R32 R220lI 2R34ln R3R32 R32R22R34 R243R23 3 2 4（3） 求单位长度同轴电缆的自感：L 2W2m 0 0 ln R2 0 2 R34ln R3 R32 R324lI 2 8 2R1 2 R32 R22 2R24这里体现了计算电感的又一方法（分析内自感和外自感） 。4.8.4 磁场力 在磁场中载流导体或运动电荷受到的作用力叫磁场力或电磁力。洛伦兹力的计算 f qv B 从原则上已解决磁场对运动电荷的作用力问题，按磁场作用于元电流 段的力，可按下

12、面的公式计算所受磁场力dF Idl BFIdl BdF kdS BF k B dS4.8.8)dF J dV BFJB dV上面的算式都需要做矢量积分运算，十分繁复，除了十分特殊的情况外，能用 来解析计算磁场力的情况很少。如能像静电场中一样，应用虚功原理求磁场力，则 在很多问题中都能简化计算。（1）虚功原理确定电流回路、媒质等物体位置的一组独立的几何量称为广义坐标，企图改变 这类广义坐标的力称为广义力。二者乘积为功 （单位：焦耳 ）广义坐标：距离 面积 体积 角度广义力： 普通力 表面张力 压强 转矩由 n 个载流回路组成的系统， 其上电流分别为 I1、I2, I n，在磁场力的作用下， 仅有

13、某一个载流回路在某一个广义坐标 g 的方向上发生了微小的位移 dg，这就使得 整个系统的磁场能量发生了变化，用功能平衡方程来表示(4-8-9)dW = dWm + fdg面按两种情况分析： 设系统中各回路电流 Ik 不变当系统中某载流回路在磁场力的作用下，在 dt 时间内于广义坐标 g 方向上产生 了微小的位移 dg，它改变了系统的磁场分布， 使每一线圈回路都产生了磁链的增量， 在 k 号回路中k k d k 产生感应电势 kdddtk 企图改变电流 Ik 外源提供电压dukkIkd k 外Ikd k 磁ddtk 以保持 Ik不变 向 k 号回路提供 dWkkIkdt源向系统提供的能量 dWd

14、WkIkd k 场能增加 dWm 1Wmg场力作功 fdg=dW dWm= 1 Ikd k dWm，于是有(4.8.10) 设系统中各回路交链磁链 k 不变系统中某一电流回路在某一坐标 g 方向上有位移 dg：设若k号回路 dt时间内有位移 dg 要保持 k 常数 k 0 u 0 外源 提供能量 dW=0 由功能平衡方程 fdg + dWm = 0 fdg= dWm，于是有 fWmf k 常量gk(4.8.11)分析以假想磁场力使某一电流回路在某一广义坐标方向上产生了微小位移dg 为前提，由虚拟作功来求解磁场力。而实际上电流回路根本静止未动，磁场力并没有 作功，或者说是作功是虚假的， 这种求解

15、静止状态下磁场力的方法称为 “虚功原理”。上面的两个计算磁场力的公式，其前提条件不同，而计算的结果一样2)磁场力计算举例例 2. 求平面线圈载流环在均匀磁场中所受磁场作用力解：载流环在均匀磁场中所受磁场作用力，左、右侧看受力，大小相等，方向相反，出现有一力臂， 前后侧受力相抵消， 总的应受力矩 T 的作用。如果用偶极子的 概念分析，载流环的磁偶极矩 m I S 与 均匀磁场 B 之间有夹角 ，它受磁场作用 力，有使磁偶极矩向磁感应强度 B 转动的 趋势。由此可以断定平面线圈载流环受的 广义力是力矩。将均匀磁场 B 看成是电感为 L0、电流B为 I0 的某电流回路产生的，则本题可以看成两载流回路

16、组成的系统，其磁场能量1 2 1 2Wm 2LI 2 2L0I02Wm自 Wm互MII 0I0 保持不变，则 Wm 自不变，载流环在磁场力作用下如果发生微小的偏转，将导致互感M 发生变化，即只有 Wm 互在变认为电流回路是刚性的， L、L0 不变，且 I 、化，于是Wm Wm自 Wm互Wm自Wm互I k 常量k g gWm互 MII0 I(MI0 ) I 10 I 10 IBcos S ISBcos mBcos f Wm g广义坐标为Wm互mBcos mBsin”号之意是表明广义力企图使 角度减小， 载流环的转动趋势是企图使环中交链的磁链增加。平面线圈载流环所受到的力矩为T m B此例可以分析

17、分子电流在外磁场作用下受到力矩的作用例 3. 求如图所示正方形载流回路所受的磁场力解：要求计算正方形载流回路 l2 所受到的磁场力，就需要计算系统的磁场能量。为此，应将长直流细导线也视为一个载流回路， 它在无限远点闭合成为 l1。于是两电流回路构成的系统，磁场能量为 Wm 1 L1I 12 1L2I22 MI 1I 2。仍认为电流回路为刚性，当 L1、L2 不变、 I1、I2 不变时Wm自 1L1I12 1 L2 I 22不变，两回路相对位置的可能变化而导致 Wm互=MI 1I2(0,a b,b2)I2Wm互 MI 1I2 I2 MI1I2 21y+dy21 21 B d SSI1(0,a, b2)l2取 d S 的大小为 bdy ，方向与本身回路