C++线性方程组地数值解法

1、实用标准文档线性方程组的数值解法、下三角方程组的解法对于线性方程组：01L2,11,0L2,0Y0Y1Y2B0B1B2Ln 1,0Ln 1,1Ln 1, 2Yn 1Bn 1即：Y0L1,0Y0L2,0Y0Y1L2,1Y1B0B1B2文案大全Ln 1,0Y0Ln 1,1Y1LnYn 1Bn 1实用标准文档Y0B0Y1B1L1,0Y0Y2B2L2,0Y0L2,1Y1Yn 1Bn 1Ln 1,0Y0Ln 1,1Y1Ln 1,n 2Yn写成通式的形式：i1Yi BiLijYj(i 0,1,2, ,n 1)j0C+ 源程序： #include const int n=4;void LYB(double

2、Lnn+1)for(int i=0;in;i+)for(int j=0;j=i-1;j+)Lin-=Lij*Ljn;void main()文案大全实用标准文档double Lnn+1=1,0,0,0,4,1,1,0,0,7,1,-1,1,0,3,1,-1,-1,1,0;LYB(L);for(int i=0;in;i+) coutYi=Linendl;、上三角方程组的解法对于线性方程组：即：U0,0X0U0,0 U0,1U0,2U0,n 1X0Y00U1,1U1,2U1,n 1X1Y100U2,2U2,n 1X2Y2000Un 1,n 1Xn1Yn 1U0,1X1U 0,n 2Xn2U0,n 1

3、Xn 1Y0U1,1X1U1,n 2Xn2U1,n 1Xn 1Y1Un 2,n 2Xn2Un 2,n 1Xn 1Yn 2Un 1,n 1Xn 1Yn 1文案大全实用标准文档Xn 1(Yn 1)/Un 1,n 1Xn 2(Yn 2n 2,n 1 n)/Un 2,n 2X1 ( Y1U1,2X2U1,3X3U1,n 1Xn1)/ U1,1X0 ( Y0U0,1X1U0,2X2U0,n 1Xn1)/ U0,0写成通式的形式：n1YiUij X j(in 1,n 1, ,2,1,0)Xi j i 1iUii#include const int n=4;void UXY(double Unn+1)for

4、(int i=n-1;i=0;i-)for(int j=i+1;j=n-1;j+) Uin-=Ui j*Ujn;Uin/=Uii;文案大全实用标准文档void main()double Unn+1=1,-1,-1,1,0,0,1,-1,1,3, 0,0,1,1,3,0,0,0,1,2;UXY(U);for(int i=0;in;i+) coutXi=Uinendl;三、 GAUSS 消去法解线性方程组1、消去目标文案大全实用标准文档a0,0a0,1a0,2a0, n 1x0a0,na1,0a1,1a1,2a1,n 1x1a1,na2,0a2,1a2,2a2,n 1x2a2,nan 1,0an

5、1,1 an 1,2an 1,n 1xn 1an 1,n同解变形u0,0 u0,1u0,2u0,n 1x0u0,n0u1,1u1,2u1,n 1x1u1,n00u2,2u2,n 1x2u2,n000un 1,n 1xn 1un 1,n2、消去过程（假定在以下消去演算中不会出现分母为 0 的情况）为直观起见，我们把方程组写成如下形式：文案大全实用标准文档a0(0,0) x0a0(0,1) x1a0(0,2) x2a0(0,n)1 xn 1a0(0,n)(0)(0)(0)(0)1 xn 1(0)a1,0 x0a1,1 x1a1,2 x2a1,na2,na2(0,0) x0a2(0,1) x1a2(

6、0,2) x2a2(0,n)1 xn 1a2(0,n)2,n(0)(0)(0)(0)1 xn 1(0)an 1,0 x0an 1,1 x1an 1,2 x2an 1,na n 1,n第 0 步，实现第 0 列目标：消去第（ 1）、2）、（n-1 )中的x0项，（0）式保持不变。方法：(0)(0)不动1）（1） （1）（0）(0)(0)(0)a1(,00)2）（1） （2）（0）a0,0(0)(0)(0)a2(0,0)(i)(1) (i)(0) (a0)(0) ai(a0,0a0,0i 1,2,3, n 1n 1）（1） （ n1）（0）(0)(0)an(0)1,0文案大全实用标准文档ai(j1

7、)a(0)a0(0j) a(0)aijai 0即： i1,2,3,4, , nj 1,2,3,4 ,n 1, n注意：j=0 可以不算，如果要算，其结果肯定是 0 。经第一步计算后，方程组变成了如下形式：a0(0,0)x0(0) a0,1 x1a0( 0,2) x20(1)a1,1 x1a1(,12)x20(1) a2,1x1a2(1,)2x21xn 1(1)a1,n 1 xn 1a2 ,n 1xn 1a1(,1n)(1)an 1,1x1(1)an 1,2 x2a(1)nn 1,n1 xn 1an(1)1,n第 1 步：在第 0 步成果的基础上，实现第 1 列目标：消去第（2）、（3）、（n-

8、1 ）中的 x1项， （0）、（1）式保持不变。方法：文案大全实用标准文档(0)(0)(1)(1)(2)(2)(2)(1)不动不动(1)(1)a1(,11)(i)(2) (i)(1)(1)(1)a1(,11)ai(11)(n 1)(2) (n 1)(1) (a1)1(,11) an(1)1,1i 2,3, , n 1即：(2)(1)a(1) a2 j(1)aijaija(1)a1,1ai,1i 2,3,4,n1j 2,3,4,n1,n经第二步计算后，方程组变成了如下形式：文案大全a0(0,0)x0a0( 0,1) x1a0(,02)x2a0(0,n)1 xn 1a0, n0a1(,11) x1

9、a1(,12) x2a1(,1n)xa(1)1 xn 1a1,n00a2(2,2)x2a2(2,n)1 xn 1a2 ,n0000(2) an 1,2 x2an(2)1,nxa( 2)1 xn 1 an 1,n由第一步、第二步的消去过程，不难归纳出任步(第k 步)的计算通式：ai(jk)ai(jk 1)a (k 1) aika( k 1)(k 1) akj akk实用标准文档0,1,2, k 1, k k 1, kn22, , n 12, , n 1, nGauss 消去法已经将原方程组变形为上三角 方程组，逆序回代容易求出最后结果。在第 k 步 Gauss 消去法中，要用到 ak(kk 1)

10、做分母，这就严格要求 ak(kk1)的绝对值不能太小。对于文案大全实用标准文档事先无法估计的 ak(kk 1) 值，解决办法是： 每步消去之前，先考察待消去的几个方程的ai(kk 1)绝对值大小，并交换方程次序， 以保证 ak(kk 1) 绝对值最大。程序设计思路：1 、 设计数组 an 1,n，其中前面的 0 至 n-1 列 存放方程组的系数矩阵 ,第 n 列存放常数 项。2 、 设计求列中最大值函数，为选择主元作准 备。3 、 设计一个交换数据函数，为交换方程做准 备，4、 设计一个消去函数，其中要调用求列中最 大值函数确定主元，要调用交换数据函数文案大全实用标准文档来交换方程5 、 调用

11、上三角方程组的求解函数求出最终解。6 、 主函数准备数据、调用有关函数、输出结果课堂练习：编程实现用 Gauss 消去法解任意大小的方程组。#include #include const int n=4;/* 下面是求列中最大值函数， 考察范围是： akk 、 ak+1k 、an-1k, 返回结果是主元的行号， 为选择主元作准备。 */int Max(double ann+1,int k)int t=k;double max=fabs(akk);for(int i=k+1;imax)文案大全实用标准文档 t=i; max=fabs(aik); return t;/* 下面是一个交换第 k 行和

12、第 t 行方程的函数，选 主元的后续工作 */void change(double ann+1,int k,int t) double x; for(int j=k;j=n;j+) x=ak j; ak j=atj; at j=x;/* 下面是高斯消去法的核心函数，其中调用求主 元、交换方程函数 */ void gauss(double ann+1)文案大全实用标准文档for(int k=0;kn-1;k+)int t=Max(a,k);if(t!=k)change(a,k,t);for(int i=k+1;in;i+)j/akk;for(int j=k+1;j=0;i-)for(int j=

13、i+1;j=n-1;j+) ain-=ai j*a jn;ain/=aii;/* 主函数void main()文案大全实用标准文档double Ann+1=1,1,-1,1,4,1,-1,-1,1,0, 2,1,-1,-1,-3,2,2,1,-1,5;gauss(A);LYB(A);for(int i=0;in;i+)coutxi=Ainendl;coutendl;四、三角分解法解线性方程组1、对于 n 元线性方程组，其分解目标是：文案大全实用标准文档a0,0a0,1a0，2a0,n 1a1,0a1,1a1,2a1,n 1a2,0a2,1a2,2a2,n 1an 1,0an 1,1an 1,2

14、an 1, n 1三角分解1000U 0,0U 0,1 U 0,2U 0,n 1L1,01000U 1,1 U 1, 2U 1,n 1L2,0L2,11000 U 2,2U 2,n 1Ln 1,0Ln 1,1Ln 1, 21000U n 1,n 12、分解过程：分 n 步进行，每一步又拆分成 两小步，即有： 0.1，0.2 步；1.1 ，1.2 步； 2.1 ， 2.2 步；n-1.1,n-1.2 步。请注意：文案大全实用标准文档0.1 步：观察矩阵 A 的第 0 行元素：a0,0 U 0,0a0,1 U 0,1a0,2 U 0,2 U 0, j a0, j ( j 0,1,2, , n 1)

15、0 ,n 10.2 步：观察矩阵 A 的第 0 列剩余元素（已运 算过的元素不再考虑） ：a0,0不考虑a1，0 L1,0 U 0,0a2，0 L2,0 U 0,0Li,0 ai ,0 /U 0,0 （i 1,2, , n 1） an 1,0 Ln 1,0 U 0,01.1 步：观察矩阵 A 的第 1 行剩余元素（已运 算过的元素不再考虑） ：文案大全实用标准文档a1,0不考虑a1,1L1,0U 0,1 U 1,1U 1, ja1, jL1,0U 0, ja1,2L1,0U 0,2 U 1,2( j 1,2, n 1)a1, n 1L1,0U 0,n 1 U 1,n 11.2步：观察矩阵 A的

16、第 1 列剩余元素（已运算过的元素不再考虑) ：a0,1不考虑a1，1不考虑Li ,1 (ai ,1 Li ,0U 0,1 ) / U 1,1a2，1 L2,0 U 0,1 L2,1 U 1,1( j 2, , n 1)an 1,1 Ln 1,0 U 0,1 Ln 1,1 U 1,1k.1 步：观察矩阵 A 的第 k 行剩余元素(已运 算过的元素不再考虑) ：此时，矩阵 A 的第 k 行剩余元素有：ak ,k , ak ,k 1, , ak,n 1ak , j ( j k, k 1, , n 1)注意， j k ，矩阵 L 的第 k 行元素是：文案大全实用标准文档Lk,0, Lk,1, ,Lk

17、,k 1 ,1,0, ,0 尾部有 n-k 个 0，0 多。 矩阵 U 的第 j 列元素是：U0,j ,U1,j, ,U j 1,j,U j,j ,0, ,0 尾部有 n-j 个 0，0 少。所以：ak,j Lk,0U0, j Lk ,1U 1, jLk,k 1Uk 1,j Uk,jk1Lk,qUq,j Uk, jq0所以：k1U k,j ak,jLk,qU q,jq0j k,k 1, , n 1k.2 步：观察矩阵 A 的第 k 列剩余元素(已运算过的元素不再考虑) ：此时，矩阵 A 的第 k 列剩余元素有：ak 1,k , ak 2,k, ,an 1,kai,k (i k 1,k 2, ,

18、 n 1)注意， i k，矩阵 L 的第 i 行元素是：文案大全实用标准文档Li,0,Li,1, , Li,i 1,1,0, ,0 尾部有 n-i 个 0，0 少。矩阵 U 的第 j 列元素是：U0,k,U1,k, ,U k 1,k ,Uk,k,0, ,0 尾部有 n-k 个 0，0 多。所以：ai,kLi,0U 0,kLi,1U1,kk1Li,k 1Uk 1,kLi,kU k,kLi,qU q,kLi,kU k,kq0所以：i,kk1ai,kLi,qUq,kq0Uk,kk1ai,kLi,qUq,kq0Uk,k3、小结：方阵 A 的 LU 分解过程可总结为：文案大全实用标准文档k0,1,2,n

19、k11Uk,jak,jq0k1Lk,qU q,jai,kLq0i,qUq,kLi,kU k,kj k,k 1, ,n 1i k 1,k 2, ,n 14、利用矩阵的 LU 分解法解线性方程组a0,0a0,1a0,2a0,n 1x0b0a1,0a1,1a1,2a1,n 1x1b1a2,0a2,1a2,2a2,n 1x2b2an 1,0an 1,1an 1,2an 1,n 1xn 1bn 11000U0,0 U0,1 U 0,2U 0,n 1x0b0L1,01000 U1,1 U1,2U1,n 1x1b1L2,0L2,1100 0 U 2,2U 2,n 1x2b2Ln 1,0 Ln1,1 Ln 1

20、,21000U n 1,n 1xn 1bn 1假若UX=Y ，则LY=B即假设：文案大全实用标准文档1000y0b0L1,0100y1b1L2,0L 2,110y2b2Ln 1,0 Ln 1,1 Ln1,2 1yn 1bn 1则：U0,0U 0,1 U 0,2U 0, n 1x0y00U 1,1 U 1,2U1, n 1x1y100 U 2,2U 2, n 1x2y2000U n 1, n 1xn 1yn 1程序设计思路：1、设计一个数组 a(n, n 1)，其中前面的 0 至 n-1 列存放方程组的系数矩阵 ,第 n 列存放常数项。2、对数组 a(n, n 1)的系数矩阵部分 (0 至 n-1 列)进行 LU 分解，常数项 (数组 a(n,n 1)的第 n 列)文案大全实用标准文档保持不动。LU 分解的结果依然存放在数组 a(n,n 1) 中，其 中下三