2014年暑假平面几何讲义四点共圆教师版

1、实用标准文案四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点 A B、C、D,若 A D,则A B、C、D四点共圆文档方法二线段AC、BD交于E若AEEC BE ED,则 A B、方法三线段AC、BD交于E若AE则 A、B、C、D四点共圆方法四：若四边形 ABCD,180，C、D四点共圆DBE CE ED,则A、B、C、D四点共圆方法四、已知 AD是厶ABC内角或外角平分线,四点共圆AB AC,且 BD DC，则 A B、C、D证明设 BAD ，因为,所以 siBAD siCAD，所以 sin B sinC，内角时B C 180，外角时B C，所以A B、

2、C、D四点共圆托勒密定理：Tolemy（托勒密定理）DAiBD若四边形ABCD是圆0内接四边形，则AD ?BC+AB ?CD=AC ?BD证明 在AC上取点E,使/EDC= ZADB,因为ZABD= ZACD,所以ABDEDC,A ADE BDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是 AD ?BC+AB ?DC=AE 7BD+BD ?CE=AC ?BD例1、已知点D、E在ABC内,ABD CBE, BAE CAD.PQ求证 ACD BCE .C证明（一）（文武光华数学工作室 南京潘成华）作E关于BC、AB AC对称点P、R、Q,易知 BRD也BPD, ARD

3、也AQD，于是DP DR DQ ,所以 DCP 也 DCQ ,得至U PCD QCD ,进而 BCE ACD .证明(二)作 BDS外接圆交AD延长线于S,可知 ASC DBC ABE,得到ABE s ASC,所以 ABS s AEC ,得至 U ACE ASB DSB,所以 BCE ACD .例2、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华）E是ABC内一点，点D 在 BC 上，且 BAE DAC , EDBADC 则 AEC BED 180CCJG证明先证明-AB器过E作ABAC EC直线EL、AD交于J，取AF中点F、G、L ,E、G、C、角）,心是因为FLLG ,AC、BC垂线L四点共圆所

4、以爲sCsin BK,易知FLBELGCEEDBBAEADC，所以ELDAC，所以ADABACBEECF面我们证明AECBED 180EF、EG、EL 交 AB、AC、BC 分别于B F、E、L四点共圆,盘器“、C是ABC的内LJ ,于是KL/AJ ,易知A、F、E、G四点共圆，圆FG,进而KL/FG，得到KL是FG中垂线，所以，因为sinAECAC sin EAC,sin BAE -ABsin BAE,两式相除得 sin AEC BEsinEACsin BAEsin BAEsin BAD sin DACAB sin BADAC sin DAC所以，AECECBEBED证明（二）在BD ECC

5、D BE180ir-DID,因为AECBAE BED DEC 360AB取H，使得所以 APC BPD BHDAHD s APC,易知 H、P、D、例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是 ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足 12，34。求证:PBPCABAC证明作 BPD、CPD外接圆交AB AC分别于H、I，易知 AHP s ADC所以AHD s APC，所以等 -tad （ 1），易知 API s ABD,进而得到 ABPs ADI , PC DH所以BB 晋 （2），易知A、H、P、I四点共圆，所以 AHI API ABC所以HI / /BC , IHD H

6、DB 3 HDP 3 HBP 4 ADI IDCHID ,所以HD ID，进而根据（1 ）、（ 2）得到-PB 爲。例4、已知 ABC是锐角三角形， AD是BC边上中线， H是 ABC垂心,HI AD于点I，求证证明（一）：延长 AD到G使得AD=DG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为CH AB， BH AC,所以 HBGB C、H、I四点共圆HCG 90，得到 I、B、G、C、H，所以证明（二） HAC HBD BFD ,所以FD是O （AIHF ）切线，所以2 2DC FD DI DA ,所以 DIC s DCA得到 DCA DAC BHI，所以B C、H、I四点共圆第四题、第51届波

7、兰数学奥林匹克，1999例5、已知 在 ABC中，AB AC，点P在 ABC内部，点D是BC中点,CBP ACP.求证 BPD APC 180 .BPD,DPC,APB,APC，因为BD CD，可知BPsinPCs in ，可知 sin y sinsin xsin,(1 )AP AP ，AB AC，可知sin y sin x得到 sinsinsin y sinsin xsi n(2),根据（1 ）、(2 )得 sinsinsinsin180，即BPDAPC 1800证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设 ACP x, ABP y ,AD证明（二）（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长CP 交以

8、A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G ,F ACP PBC,因此 G PCB，于是 G 在O A上,PFG s PBC ,所以 APF s DPB,可知 APF BPD ,F 即 BPD APC APF APC 180，得证实用标准文案潘成华）因为DE/BC,点M是Bp中点，所以证明（二）因为 M是 ABC边BC中点，所以SabdS ACD，得至U AB BDAC CD，易知例6、已知M 是 ABC边BC中点，AM交 ABC外接圆O O于D ,过点D作DE / /BC交O O于E，在 AD上取点F ,使得FC AC .求证 AFC EFC证明（一）（文武光华数学工作室 南京ABEC

9、是调和四边形，易知直线 AE、过点B、C切线共点，得到MC平分AMC, ECF 90 ABE OAE PME -1 EMF ,因此 C 是 EMF 旁心，进而AFC EFC.文档AEC,BCED是等腰梯形，所以AB CE AC BE,根据托勒密定理可知 2AB CE AB CE+AC BE=AE BC 2BM AE,得至U AB CE BM AE , ABM所以 ABM s AEC，所以 EAC BAD，可知 EABACS ECB BAECN / /EF ,于是 EFCCAD ,取AE中点S,同理可得DAC，所以CS与AD交点设为NCF AFCCDE文档AJMF例7、已知AD是 ABC角平分线

10、交 BC于D，ABD、 ACD、ABC外心分别是证明（三）（田开斌老师）作 CJ/BD交AD于J，所以CJ BD CE , JCE BDC BCE,AFC 90 DAC 90 DBC 90 ECB JEC,所以J、F、E、C四点共圆，因为 JC EC ,所以 AFC EFCB0个。2、0 ,求OiO=OO2C证明易知O1AB90AO1O 90ADC 90B丄BAC2OAC DACOAD ,BAO902aob90CDAO2，所以O1AO=O2AO (1 )，又AO0ADC、AO2OADB，于是AOO + AO2OADC +ADB=180，所以A、Oi、02、0四点共圆根据（1 ）得至U OiO=

11、OO2证明（二）记 ABC三角A、B、设直线BOi、CO2交于E ,BCE CACO2C (90ADC) C (90今A） B C A，同理EBC B C 人，所以BE CE ,BO0ADC、 CO2OADB , BOQ+ CO2OADC+ ADB=180所以E、Oi、O2、O四点共圆得到0Q=002例8、已知 O P 0交于A、B,四边形ABCD是平行四边形，C在。0上，PF BC交AB于F,直线CF交O 0于G .证明 延长DA交O P于点K，连接KE、KB，易知AKBE是等腰梯形，DKEC是等 腰梯形，CF FG AF FB EF FK ,所以K、G、E、C四点共圆，因此K、G、E、C、

12、D五点共圆，进而E、G、D、C四点共圆例9、已知0、I分别是ABC外心，内心，求证0IAI的充要条件是AB AC 2BC ,实用标准文案证明 延长AI交圆0于D,根据托勒密定理，AB?DC+AC ?BD=AD?BC(1),因为 0I 丄AI，所以 AI=ID,由(1)得：(AB+AC) ?BD=BC ?2DI,因为ZBID= ZIBD,于是 BD=DI,所以 AB+AC=2BC此题，若O , I分别是ABC外心，内心，AB+AC=2BC ,求证OI丄AI证明方法是一样的例10、P为 ABC外接圆上一点,P在BC、AC上的射影为D、E .点L、M分别文档是AD、BE中点。证明DE LM .证明

13、取AB中点N，连接MN、NL、AP、BP,易知BPD s ape，所以-DPBDAE所以PE 捺7,可知 MNL s EPD,所以DE LM第十题、已知 M 是 ABC边BC中点，AM交 ABC外接圆O O于D,过点D作DE / /BC交O O于E，在 AD上取点F ,使得FC AC .求证 AFC EFC例11、已知（文武光华数学工作室南京 潘成华） O O、O I外切于S, O O弦AB切O I于T,点P是AI延长线上一点，求证BP AB充要条件是TS SP. （2014 6 8 8 : 49于镇江大港中学）证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）过S作两圆公切线交AT于Q,线段AS、QI交

14、于R,TS SP等价于IR/PS,等价于 秸 爲，因为QTR QSA ABS,得到TR/ /BS，因此，語 等价于培 器，等价于IT/BP,即 BP AB例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下已知H是锐角ABC的垂心，以AH、AB为直径的圆交 BHC外接圆于D、E，直 线AD交BC于G，直线AE、HC交于F ,求证GF /BH证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设BHC外接圆为。O,直线AG交。O于N ,所以H、O N共线，延长CH交AB于点M，易知A M、H、D 四点共圆，所以 BAD DHCANC ,所以 AB/CN，同理 BN/

15、AC,所以ABNC是平行四边形，得到G是BC、AN中点，连接AF交。O于J,因为BE AF ,可知B、O J共线，所以0G是 AHN、BJC中位线，得到AH、CJ平行且相等，所以F是HC中点，可知GF/BH例13、（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 ABC周长为2p，AE AF p AC，求证 ABC的C 旁切圆与 ABC外接圆外切。（2014-6-12 8:56）证明 设 ABC的C 旁切圆切直线 EF、AB AC于D、L、M , AC交 AEF外接圆于N,直线AD交 ABC的C 旁切圆于K , AF2 AL2 AD AK ,所以 AFD s AKF ,所以AKF AFD AEF 180

16、 ANF所以点K在 AEF外接圆外接圆上，因为 A是BAF中点，所以点K是两圆的切点，即 ABC的C旁切圆与 ABC外接圆外切。例14、CD AB于D , H、0是 ABC垂心，外心， OD DE交AC于E , 求证 BAC DHE证明（一）延长CD交O 0于J,延长ED交BJ于K,根据蝴蝶定理可知DE DK ,根据鸭 爪定理可知 DH DJ所以HE/BJ,等腰 BAC BJD DHE .CBODBT ,根据等角共轭点性质,可知CDTDBHACDCDS，可知 C、D、S、H四点共圆DHEDHTCSD ABC例15、第47届IMO预选，2006年BCO,设 BH、CS 交于 T ,证明（二）在

17、BD取S使得DS AD所以 SCD ACD如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , ABCD ,点K、L分别在线段AB、CD上，且BAD .求证A、D、P、Q四点共圆DLO證，P、Q分别在直线 KL上，且 APB ADC, CQD证明（一）因为-AB -Dy，易知AD、QP、DC共点，设为O,设 AQ 交圆O (DCQ)于 J, CQD BADODC ,因此 QD是圆O (QDC)切线， APD ADC DJC，所以 DJ /AP,所以 PADODJAQP，因此A、D、P、Q四点共圆证明（二）（文武光华数学工作室潘成华）因为（AK/KB）=（DL/LC）,AB/CD, 根据位似知识可知 AD、

18、QL、BC的延长线共点，设为 E过点L作LX/AP交AD于X,作LY/PB 交BC于Y,因此XY/AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T, 根据 Menelaus 定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL), 于 是 ST/XY,ZSQT+ ZSLT= /DAB+ADC=180 。，所以 L、S、Q、T 四点共圆，易知ZSQL= ZSTL=XYL= ZABP=180 - /APB- ZBAP=180 - ZADC- ZBAP/DAP,进而A,D,P,Q四点共圆例16、2012年西部数学奥林匹克几何题已知 ABC 外心、垂心分别是

19、O、H,AD BC于D ,证明（文武光华数学工作室 南京潘成华）取OH、BC中点M、K,根据欧拉定理可知 AH 2OK、AH /OK，所以 MF OK、MF /OK，所以 MK OF AF，又易知MD MK所以AF MD ,因此AFMD是等腰梯形，可知 A F、M、D四点共圆，因 为A、F、E、D四点共圆，所以M在AEF外接圆上，即AEF外接圆过0H中点M .例17、已知两同心圆，从大圆上一点A作AB AC切小圆于B C,直线AC交大圆于D .求证2AEBECEE证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设两圆圆心0,延长AB、AC交AB AC分别交大圆于S、D ,所以BC是 ASD中位线,DA

20、E DSE BEC, BSE ADE ,所以 ADE s ESB,所以AEBE2 2 2DS娈所以離需，结论等价于悬BECE，等价于2 2 2 2 2 2DC BE CE ,因为 DC DO OC EO OC BE CE 得证例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）已知 如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且哈B 器过点D、E分别作AC、AB的平行线交过点A作ABC外接圆的切线分别于H、I ,延长直线DE交ABC外接圆于F、G求证（1） H、F、G、I四点共圆，（2） BC是O （HFG）切线I证明 因为HG/AC, AD/EI ,因为令D -CE，所以直线DH、EI交点必在BC上设DB

21、 AE为J, ABC IAC AHJ ,所以A H、B、J四点共圆，同理 A、I、C、J四点共圆AD DB HD DJ GD DF因此H、F、J、G四点共圆同理I、F、J、G四点共圆， 于是H、F、G、I四点共圆，AJB ACB HABAIJ，所以BC是。（HFG）切线例19、已知AB AC分别是圆。O两切线、B C是切点，CD平分 ACB，交AB于D ,DF切O O于E,交BC延长线于F .求证 BC 3CFA证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）连接AO交BC于I ,BE、DO交于K , 设线段CD交。O于H，易知I、K分别是BC、BE中点，A H、I、O共线，根据配位中线知识可知 EC

22、D BCK,所以 ECA HCB ,又 BECBHC ,所以EKC HBC HCB ECB,进而 BE 2KE 2EC ,又 ECF s BFE,得到 BF 2EF 4CF，即 BC 3CF .证明（二）ED2 DH DC DK DO ,所以 DKE s DCO , DKHDCO，所以HKEHBC,所以 HKE s HBC ,可知HCE ACH ACE BCH CBC HBC 于是 BKH CEH得到CE BK KE,下面同证法例20、回答广州陈泽桐老师几何题F是DE延长线上一点,占八、已知 O J是 ABC的A 旁切圆，D、E是切点,CF交AB于G.FFG ABF证明（文武光华数学工作室南京

23、 潘成华）设JC、DE交于S,BS延长线交直线R,CS交直线AD于点T,三角形三角 A B、C根据Men elaus定理舉 -GF -CE DG CF AEAE于1,所以 CF CE AB 以7Gaeabbd,cse 90D四点共圆，可知 BS CS,可知DG AC BCBSERADBSABBDSRFCABFGACBCECECJCDGJCDGB S、J、sin 21所以 ER BD,広CABBC成立的充要条件是_ECDG2 ABC = DBJ DCJ 所以 SR,根据Menelaus定理,sin_2sin（B 号）ABAE_BDsin2si n（B 号） sin号 JCG , FG AB等价于

24、 JABAR（1）,TCTG1sin GCTsin（A 号）,即ECDGsin （A 号）si n（B 号）sin C2根据（1 ）结论成立P作切线PA、PB及割线PCD ,自C作PA的平已知：自O O外一点例21、CE EF。实用标准文案证明：联结 OA、OBO，作OM CD于M。由垂径定理知 CM MD。由 OAP OBP OMP 90，得A、B、M都在以PO为直径的圆上，即 P、A M、B 四点共圆， ABM APM。而 CE/PA，得 APM ECM 由此ABM ECM，推出 B C、E、M四点共圆。得 EMCEBC、而 EBC D，故 EMC D，EM / /AD。在 CDF中，由中

25、位线逆定理即得 EC EF。例22、已知A为O O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与O O相切于C、D， DE AO 于 E，ADE分别交AB、AC于F、G证明：设AB交O O于K，联结OB 点。联KM、KD、MF。由 BK BACD交于M。贝V OB垂直平分CD，即M是CD中2BD BM BO，得 BKM s BOA，于是BMKBAO由此 DMKAFEKFD，得K、M、F、D四点共圆,于是DMFDKFDCA， MF /CA。因M是DC中点，故F也是DG中点,即DFFG证毕例23、已知PA、PB是O O切线，AB于J直线JC交AP于I ,求证AI PI (2013B是切点，PCD是割线，D

26、J / /AP交11 11 21:30)证明作OK PD于K ,延长AC、DJ于L ,易知A、P、B、K、O五点共圆，可知JDP ADP ABK,所以 B、K、D、J 四点共圆，于是 AJK CDBCAJ汙是 ACA/BK ,易知CK DK ,所以LJ DJ，进而根据相似知识可知 AI PI .例24、ABC是等边三角形， AD/BE,BD DE ,连接CE ,取CE中点F ,求证 ADF 120E证明（田开斌给出）延长 ED到K,使得DK=DB,KDA DEB DBEADB，所以实用标准文案ABD也CBY所以 XYB XDB，得到X、D、Y、B四点共圆，于是 YXD 60，得到XY、BE 夹

27、角 60，可知 XYE 90 所以 YE CF EF ,于是 YDFEDF , ABD EBD BED ,文档所以 ADF 180 FDE DBE,易知 DF EY,得到 FDE DBE 60，进而ADF 120ABC垂心，外心， HD/AB交AC于例25、已知 ABC中，H、0是A证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取BC中点M, 连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM,ZBHC=180 ZBAC= ZADH, ZHAD= ZCBH,所以AHD s/BCH,于是HDN HN,进而ZHND= ZCMH, 根据Euler定理，四边形 ONHM 是平行四边形，得到Z ONH

28、 =ZOMH,所以ZOND= ZOMC=90 。，所以 OE=OD.文武光華芒如图，ABC中，H为垂A 0対外心，HD/AB交加于D, HE/AC交猗于E，求证:OB=OEc 屮iiP月：如團，作3EC外接圆O0,连绪HE、IIC.设O0半径为心则根据圆薨定理知: 0E2 = R2-AE AB = R2-HD BEJ OD2 = R:-AD CD = R2- HE * CD* 又因为只为厶 ABC 垂心p 所IABHEACHD 所叹HD BE = HE CD;所以 OD=OEo 屮例26、已知四边形ABCD是O O内接四边形，且-AB 器,AC、BD交于点J , 点I、H分别是 ABJ、ADJ

29、外心.求证 AO平分BDAIMBJOC证明(文武光华数学工作室南京潘成华)/ BAI= ZHAD,所以ZIAH= ZBAD,(AB/2AI)=sinZAJB=sin ZAJD=(AD/2AH), 可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),所以MIH -ABD, ZAIO=90 ZBAI=90 90 ZAJB= ZBJC, ZAIO= ZABD= ZACB,所以ZIAO= ZDBC,同理ZHAO= ZBDC,设 AO、JH 交于点 M,即证明 IM=MH,也就是 AIsin ZIAO=AHsin ZHAO,等价于(AI/AH)=(sin ZHAO/sin ZAO)=(sin ZCDB/sin Z

30、CBD)=(CB/CD),因为 (AB/AD)=(BC/CD),根据(1 )结论显然成立例27、已知 O O是 ABC外接圆，MN是 ABC边BC中垂线所在的弦,DP/AN , MP EF 交 AB、AC 分别于 E、F .求证EP FP明（苏州学生方法）过 M作ML丄AC于L,MX丄AB于X,根据Simson线可知：L、X、D共线，易知 AL=AX,所以DL/AN,因此P在直线DL上，M、E、P、X四点共 圆，M、L、F、P 四点共圆，/ MBC= ZLAM= ZMXL= JMEF= ZMAB= ZBAM= ZMFE=ZMCB,所以 ME=MF,进而 PF=PE证明(文武光华数学工作室南京

31、潘成华)/ EDA= ZEBA+ /DAB=(1/2)( ZFOB+ ZEOA)=(1/2)(180 ZEOF)=(1/2) ZEPF,PE=PF,所以 P 是圆(DEF)圆心，所以 PE=PD,可知/PDE= ZPED= ZBAE= ZPCE,于是P、E、D、C四点共圆例29、如图，AB是圆0的切线，ADE为圆O的割线，D介于A, E之间。M为AO的中点，圆 M为ABO的外接圆，BD交圆M于F。求证：EB为O M的切线，当且仅当 BD=DF。证明：上海曹珏贇先生解答 设 ADE 交圆 M 于 K。由 /AKO=90 OE=OD 知：DK=KEXBD s公EB =Svabd_BD2-ad= B

32、E2AEBD2SVAEBBEAEAD羞 AD DKEA EK = BE 为圆M的切线 设ADE交圆M于K。由/AKO=90 OE=OD 知:DK=KE据题意知：/ ABD= /BED, ZEBK= ZBAK= KBD ZBEK 据题意知：/ BEO= ZEBO=ZBAO= ZABM= ABM ZBEO 于是 D, K 是对应点，又由于/ OKE=90 ，故/ MDB=90 。又由于 MB=MF ，故BD=DF。证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设AE 交 M于H,ZBOD=2 ZBED=2 ZABF= ZAMF,所以ABOD AMF,可知 AFXBO=BD XAM(1),因为/MBO=

33、ZBOM= ZAFD,BE是切线等价于/ EBH= /BAH,等价于/BHD= ZBDH, A所以/AFD= ZADF,因此BE是EB为O M的切线等价F于 ABOM s/dfA,等价于 AF XBO=BM XDF,因为 BM=AM,根据（1 ）可知BD=DF例30、已知E、F是圆内接四边形 ABCD对边AB CD的中点,M是EF的中ADEFBC S点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为 P、Q。求证：MP MQ证明：自F分别作BC、AD的垂线，垂足记为 S、T,联ST、PQ易知 Rt zCSRt EAQ , Rt ZDTRt EBP, 得 (FS/EQ) = (FC/EA) = (FD/EB)=(FT/EP)，又/SFT=ZPEQ, TSs/EPQ。得ZFTS=ZEPQ，于是/QPS + ZSTQ = 180 ,从而P、S、T、Q四点共圆。在直角梯形 EPSF中，M是腰EF的中点， 故M落在线段PS的中垂线上；同理， M也落在线段 QT的中垂线上。故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。 MP = MQ。例31、已知设H是 ABC垂心，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DF=DB,DC=DE.A求证A H、F、E四点共圆证明(文武光华数学工作室 南京 潘成华)延