1-2 复平面点集

1、第二节 复平面上的点集 1.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念 1.2.2 区域区域与约当与约当(Jordan)曲线曲线 1.2.3 典型例题典型例题 1.2.4 小结与思考小结与思考 2 1.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念 定义定义1.1 邻域邻域: . : )( , 的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆 为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以 00 0 zzz z 记作记作:N (z0) N (z0)=z | |z-z0| . 0 0 0 的的去去心心邻邻域域确确定定的的点点的的集集合合为为 所所称称

2、由由不不等等式式 z zz 记作：记作：N 0(z0)=z | 0|z-z0|0: N (z0)E=z0 z0为为E的外点的外点 0: N (z0)E= 所成的集合称为所成的集合称为E的导集的导集 ，用用E 表示表示 4 定义定义1.3 内点内点: . , , . , 0 0 0 的的内内点点称称为为那那末末 于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在 如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设 Ez Ez EzE 如果如果 E 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末E 称为开集称为开集. . 如果在如果在z0的任意一个邻域内的任

3、意一个邻域内,都有都有属于属于 E 的点的点,也有也有 不属于不属于E的点的点,则称则称z0为为E的边界点。的边界点。 z0为为E的内点的内点 0: N (z0)E 点集点集E E的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E E的边界的边界. .记记为为 E E Partial derivatives are represented as y/x (where is a rounded d known as the partial derivative symbol). Some people pronounce the partial derivative symbol as der

4、rather than the dee used for the standard derivative symbol, d. 5 定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集: . , , 0, , 否否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足 使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面 点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个 EMz M E 点集 z z x y 有界！有界！ o 6 定义定义1.5 区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称 它为一个区域它为一个区域. .

5、 (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何中任何 两点都可以用完全属于两点都可以用完全属于D的一的一 条折线连结起来条折线连结起来. 1.2.2 区域与区域与Jordan曲线曲线 D加上加上D的边界称为闭域。记为的边界称为闭域。记为 DD+ D z1 z2 D 1. 区域区域: 7 说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C (1) 区域都是开的区域都是开的. 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示 1 z 2 z

6、 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 不包含边界！不包含边界！ 8 (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 9 2 定义定义1.7 连续曲线连续曲线: 如如果果 和和 是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数, , 那那末末方方程程组组 , , 代代 表表一一条条平平面面曲曲线线, , 称称为为连连续

7、续曲曲线线. .用用表表示示 ( )( ) ( )( ),() x ty t xx tyy tt C 平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示: )().()()( ttiytxtzz C的实参数方程的实参数方程 C的的复复参数方程参数方程 起点起点z( ) C终点终点z( ) z x y C C的正向：起点的正向：起点终点终点 o 10 . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt tttt 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲称为简单曲 线线( (或若尔当或若尔当JordonJo

8、rdon曲线曲线).). 重点重点 重点重点 重点重点 . , )( )( , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即 的的起起点点和和终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线 Czz C 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线是简单闭曲线是z平面上的一个有界闭集平面上的一个有界闭集. 11 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质Jordon定理定理 任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲 线线 C C 将复平面唯一地分将复平面唯一地分 成成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三个互不相三个互不相 交的点集交的点集. .满足：满足： x y

9、o I(C) E(C) 边界边界 （1）I I( (C C) ) 是一个有界区域是一个有界区域 （称为（称为C C的内部）的内部）. . （2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. . （3）若简单折线）若简单折线P的一个断点属于的一个断点属于I(C)，另一个，另一个 端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. . 12 3. 光滑曲线光滑曲线: 对对简简单单曲曲线线 , , 如如果果：:( )( )C zx tiy tt 由有限条光滑曲线段依次相接所组成的曲由有限条

10、光滑曲线段依次相接所组成的曲 线称为按段光滑曲线线称为按段光滑曲线. . x y o x y o 特特 点点 （1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长 1 和和 在在 , , 存存在在；( )( )( )x ty t 2 2 和和 , , ( )( )( )x ty tC 2222 (3) 0, , (3) 0, , ( )( )x ty ttC 则则称称曲曲线线C C为为光光滑滑( (闭闭) )曲曲线线. . 13 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线? 答答 案案 简简 单单 闭闭 简简 单单 不不

11、 闭闭 不不 简简 单单 闭闭 不不 简简 单单 不不 闭闭 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az )(bz 14 4. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D, 如果在其中任作如果在其中任作 一条简单闭曲线一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D, 就称就称 为单连通域为单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称 为多连通域为多连通域. 单连通域单连通域多连通域多连通域 有洞的有洞的 区域区域 无洞的无洞的 区域区域 15 1.2.3 典型典型例题例题 例例1 1 指

12、明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还 是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. . 111)5(; 411)4( ; 3 1 )3(; 3 arg)2(; 1)Re()1( 2 zzzz z zz 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re( 222 yxz , 11)Re( 222 yxz 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 16 3 arg)2( z , 3 arg 33 arg zz 是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图). 3 1 )3( z , 3 1 3 1 z z , 3 1 , 的圆的外部的

13、圆的外部 半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心 无界的多连通域无界的多连通域. 17 411)4( zz 表示到表示到1, 1的距离之的距离之 和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆, 411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 18 111)5( zz ,sincos irrz 令令 111 zz边界边界 1sin)1cos(sin)1cos( 222222 rrrr 1)1cos2)(1cos2( 22 rrrr 1)cos(4)1( 222 rr ,2cos2 0 2 rr或或 , )( 2cos2 2 也称双纽线也称双纽

14、线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz 有界的单连通域有界的单连通域. 19 例例2 2 解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域? , 3Im)1( z 是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123 x 1 2 3 4 5 6 y 不是区域不是区域. , 2Re)2( z ), 2Re ( 2Re z z 不包括直线不包括直线 为左界的半平面为左界的半平面以以 单连通域单连通域. 20 , 210)3( iz , 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘 为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域. , 4 )arg()4( iz ), ( 1 , i i 不包括端点不包括端点 的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以 不是区域不是区域. 21 , 4 arg0)5( iz iz , 时时当当iyxz iz iz , )1( 2 )1( 1 2222 22 yx x i yx yx 4 arg0 知知由由 iz iz 0, )1( 1 22 22 yx yx 0, )1( 2 22 yx x 22 , 0)1( 22 yx因为因为 , 12 , 01 , 02 22 22 yxx yx x 于是于是 . 2)1( , 1