2015年中考经典相似三角形练习题

1、经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图，在/ABC DE/ BC, EF / AB，求证：ADE EFC .2 .如图，梯形 ABCD中，AB / CD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点 G .(1 )求证： CDFBGF ;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF / CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3 .如图，点 D , E 在 BC 上，且 FD / AB, FE / AC.的边CD上一点,BF丄AE F,试说明：ABFEAD.5 .已知：如图所示，在和ABCD中, AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE,且点

2、3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD , M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：BE=CD 、 AM等腰三角形；(2 )在图的基础上，将绕点DE按顺时针方向旋转180。，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3 )在(2 )的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P .求证： PBDAMN.6 .如图，E是？ ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你 写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7 .如图，在4 X3的正方形方格中，和ABCDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶

3、点上.8 .如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点 M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问：(1 )经过多少时间，AM积等于矩形 ABCD面积的g?9(2 )是否存在时刻t，使以A , M , N为顶点的三角形与相似D若存在，求t的值；若不存在，请说9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB / DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形 的概率是多少；(注

4、意：全等看成相似的特例)(2 )请你任选一组相似三角形，并给出证明.10 .如图 ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。，/ BDC=60 , CE于LEB连接 AE .(1 )写出图中所有相等的线段，并加以证明；(2 )图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；(3 )求厶 BECA BE的面积之比.11 .如图，在A中C AB=AC=a , M为底边BC上的任意一点，过点 M分别作AB、AC的平行线交 AC于P,交AB于Q .(1 )求四边形AQMP的周长；(2 )写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3 ) M位于BC的什么位置时，四边形 AQ

5、MP为菱形并证明你的结论.BJ/C12 .已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且 BP=3PC , M是CD的中点，试说明：ADMs MCP.D13 .如图，已知梯形 ABCD 中， AD/ BC,AD=2 , AB=BC=8 , CD=10 .(1 )求梯形ABCD的面积S；(2 )动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B? A? D? C方向，向点 C运动；动点 Q从点C出发，以 1cm/s的速度，沿 C? D? A方向，向点 A运动，过点 Q作QE丄BC于点E.若P、Q两点同时出发，当 其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问： 当点P在B? A上运动时，是否存在

6、这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与相CQE若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.14 .已知矩形 ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm , P、Q分别是 AB、BC上运动的两点.若 P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒,相

7、似C15 .如图，在A中C AB=10cm ，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟, PBQA ABC目似.16 .如图，/ ACB= / ADC=90AC= . ，AD=2 .问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似.17 .已知，如图，在边长为 a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边 AB上找一点N （不含A、 B），使得CDMA MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.18 .如图在厶 ABC /C=90 C=8cm ，AC=6cm，点Q从

8、B出发，沿 BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动.若 Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后， 以点C、P、Q为顶点的三角形与相CBA19 .如图所示，梯形 ABCD中， AD/ BC，Z A=90 AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB上确定点 P的位 置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以 P，B，C为顶点的三角形相似.20 . AB（和 DE是两个等腰直角三角形，/A= / D=90。的顶点D位F于边BC的中点上.（1 ）如图1，设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N，求证：BEMs CNE;（2 ）如图2，将 DE绕点E旋转

9、，使得DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC交于点N，于是，除（1 ） 中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.X.圉1图221 .如图，在矩形 ABCD中，AB=15cm , BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移 动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的Q、A、P为顶点的三角形与相似C22 .如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（0点）20米的A点，沿0A所 在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 阳光明媚的一

10、天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到 达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所 需工具，设计一种测量方案.（1 ）所需的测量工具是： ;（2 ）请在下图中画出测量示意图；（3 ）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出24 问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为 60cm .乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm .200cm，影长丙组：

11、如图3，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为 为156cm .任务要求:(1 )请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2 )如图3，设太阳光线NH与OO相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.(友情提示：如图 3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式156 2+208 2=260 2)25 .阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC.26.如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O

12、P =l ,两灯柱之间的距离00 =m.(1 )若李华距灯柱 OP的水平距离 OA=a，求他影子 AC的长；(2 )若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由；(3 )若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以V1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度V2.27 .如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si, S2 , S3表示，则不难证明Si =S 2+S 3 .(1 )如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si , S2, S3表示，那么Si, S2, S3之间有什么关系；(不必证明)

13、(2 )如图，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、S2、S3表示，请你确定Si , S2, S3之间的关系并加以证明;(3 )若分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用Si , S2, S3表示，为使 Si,S2, S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论; (4 )类比(i),( 2),( 3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论. 28 .已知：如图,ABD29 .已知：如图ABCABDE5 , AC=9 , BD=5 .求 AE .Rt ABCs Rt BDC,A若=3 , AC=4(i )求B

14、D、CD的长;(1)已知，且 3x+4z - 2y=40，求 x,y,z的值;已知：两相似三角形对应高的比为3 : 10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图，在/ABC DE/ BC, EF / AB，求证：ADE EFC .考点:相似三角形的判定；平行线的性质。专题:证明题。分析:根据平行线的性质可知/AED= / C,/ A= / FEC，根据相似三角形的判定定理可知ADE s/解答:证明： DE/ BC, DE/ FC, / AED= / C.又 EF / AB, EF / AD,点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形

15、的判定定理.2 .如图，梯形 ABCD中，AB / CD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点 G .(1 )求证： CDFBGF ;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF / CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。专题：几何综合题。分析：(1)利用平行线的性质可证明CDFBGF .(2)根据点F是BC的中点这一已知条件，可得CDFCtBGG贝只要求出BG的长即可解题.解答：(1)证明：梯形 ABCD , AB / CD,/ CDF= / FGB, / DCF= / GB2,分( CDFBGR3.分(2)解：由(1

16、 ) CDFBGF ,又F是BC的中点，BF=FC , CDF BGF, DF=GF , CD=BG ,( 6 分)/ AB / DC/ EFF,为 BC 中点，E为AD中点， EFA DAG勺中位线， 2EF=AG=AB+BG . BG=2EF - AB=2 X 46=2 , CD=BG=2cm .( 8 分)点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂.3 .如图，点 D , E 在 BC 上，且 FD / AB, FE / AC. 求证： ABCFDE .考点：相似三角形的判定。专题：证明题。分析：由FD / AB, FE / AC,可知/B

17、= / FDE，/ C= / FED，根据三角形相似的判定定理可知： ABCFDE .解答：证明： FD / AB, FE / AC,/ B= / FDE，/ C= / FED , ABCFDE.点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：(1) 如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(2) 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似；(3) 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.4 .如图，已知 E是矩形ABCD的边CD上一点，BF丄AEF,试说明：ABFEAD .考点：相似三角形的

18、判定；矩形的性质。专题：证明题。分析：根据两角对应相等的两个三角形相似可解.解答：证明：矩形 ABCD 中，AB / CD, / D=90 ,（分）/ BAF= / AED .4 分）/ BF 丄 AE,/ AFB=90 ./ AFB= / D. 5 分） ABFEAD6.分（点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角.5 .已知：如图所示，在和ABCDE, AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE,且朋,A , D在一条直线上，连接 BE, CD , M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：BE=CD 、 AM等腰三角形；(2 )在图的基础上，将绕点DE按顺时针

19、方向旋转180。，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3 )在(2 )的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P .求证： PBDAMN.考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。专题：几何综合题。分析：（1）因为/ BAC= / DAE,所以/ BAE= / CAD,又因=AC , AD=AE，利用SAS可证出 BAECAD,可知、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证是等腰 AMN三角形.（2） 利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1 ）中的结论，思路不变.（3） 先证出ABMA ASAS），可得出/CA

20、N= / BAM，所以/ BAC= / MAN （等角加等角和相等），又/ BAC= / DAE,所以/ MAN=Z DAE= / BAC，所以 AMNAABC都是顶角 相等的等腰三角形，所以/PBD= / AMN,所以 PBDAMN （两个角对应相等，两三角形相似）.解答： （1 ）证明：I/ BAC= / DAE,aZ BAE= / CAD,/ AB=AC , AD=AE , ABE ACD, BE=CD .由 ABE ACD, 得/ ABE= / ACD,BE=CD ,/ M N分别是BE, CD的中点， BM=CN.又 AB=AC , ABMA ACN. AM=AN，即 AMN为等腰三

21、角形.（2 ）解：（1 ）中的两个结论仍然成立.（3）证明：在图中正确画出线段PD,由（1 ）同理可证厶ABMBA ACN,/ CAN= / BAMA/ BAC= / MAN. 又/ BAC= / DAE , / MAN=/ DAE= / BAC . AMN, AD AB都是顶角相等的等腰三角形. PB和 AMN都为顶角相等的等腰三角形， / PBD= / AMN, / PDB= / ANM, PBD AMN.点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相 似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）.6 .如图，E是？ ABCD的边BA延长线

22、上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你 写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。专题：开放型。分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有： AEF BEC ; AEF DCF ; BECDCF .解答： 解：相似三角形有AEFBEC; AEFDCF ; BE分产 DCF .(女口： AEF BEC .在？ ABCD 中， AD/ BC,/ 1= / B,Z 2= / 3分)(点评：考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理.7 .如图，在4 X3的正方形方格中，和BCDE

23、的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ABC=I35 ,BC= _二?：_;(2 )判断 ABC DE是否相似，并证明你的结论.考点：相似三角形的判定；正方形的性质。专题：证明题；网格型。分析：)1)观察可得：BF=FC=2，故/ FBC=45 ;则/ABC=185, =2 I:;ABC DEC.(2)观察可得：BC、EC的长为2 . .:,可得，再根据其夹角相等；故厶CL DE解答：解：(1 )Z ABC=135 BC=技 2；(2)相似； BC= - * : _, EC= 丄=;又/ ABC= / CED=135 , ABC s DEC.点评：解答本题要充分利用正方形的特殊

24、性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱 形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率.8 .如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点 M从A点出发沿AB方向以 1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动， 问：(1 )经过多少时间，AM积等于矩形 ABCD面积的丄？g(2 )是否存在时刻t，使以A , M , N为顶点的三角形与相似D若存在，求t的值；若不存在，请说考点:专题:分析:相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。动点型。(1) 关于

25、动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方 的面积I等于矩形ABCD面积的丄作为相等关系；9程求解即可，如本题中利用，明理由.CBXI则有：存6 -2x) x=解方程，得X1=1 , X2=2 ,（3 分）经检验，可知 X1 =1 , X2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后，AM的面积等于矩形 ABCD面积的丄.(4分)y(2)假设经过t秒时，以A , M , N为顶点的三角形与由矩形 ABCD，可得/ CDA= / MAN=90 , O DC或 AK_D.相似D因此有（5分）2t，或解，得t=上；解，得t=（7 分）经检验,t=或 t=毛都符合题意，所以动

26、点M , N同时出发后，经过一秒或丄1秒时，以A , M , N为顶点的三角形与木ACD(2) 先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之 则不存在.解答:解：(1)设经过x秒后， AMNN面积等于矩形ABCD面积的寺3 x 6，即2 -3x+2=0 ,（ 2 分）似.（ 8 分）点评:主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB II D

27、C, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.（1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形 的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明.考点：相似三角形的判定；概率公式。专题：开放型。分析：（1）采用列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出相似三角形即可求得；与，与相似；（2 ）禾9用相似三角形的判定定理即可证得.解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（2分）其中有两组（，）是相似的.选取到的二个三角形是相似三角形的概率是卩=丄（4分）3证明：（2 ）选择、证明.在

28、厶 AOBfA COD中/ AB II CD,/ CDB= / DBA，/ DCA= / CAB , AOBs CO8D分）选择、证明.四边形ABCD是等腰梯形，/ DAB= / CBA,在厶 DAB CB中有AD=BC，/ DAB= / CABAB=AB , DAB CBA6 分）/ ADO= / BCO.又/ DOA= / COB , DOAs CCB分）.点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件 A的概率P （A） =，即相似三角形的证明还考查了相似三角形的判定.10 .附加题：如图厶中BCD 为 AC 上一点，CD=2

29、DA，/ BAC=45 ，/ BDC=60 , C于 1EB连接AE.（1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3 ）求厶 BEC BE的面积之比.考点：相似三角形的判定；三角形的面积；含 30度角的直角三角形。专题：综合题。分析：(1)根据直角三角形中 30度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段;(2)两角对应相等的两个三角形相似则可判断ADE AEC;(3)要求BEC BE的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作的边BEA边上的高即可求解.解答：

30、 解：(1) AD=DE , AE=CE ./ CE丄 BD,/ BDC=60 ,在 Rt CE中,/ ECD=30 . CD=2ED ./ CD=2DA , AD=DE,/ DAE= / DEA=30 = / ECD. AE=CE .(2)图中有三角形相似，ADE AEC;/ CAE= / CAE，/ ADE= / AEC, ADE AEC;(3 )作AF丄BD的延长线于F,设 AD=DE=x，在 Rt CE中,可得CE= 故AE=/匚/ ECD=30 .在 Rt AE中, AE=云，/ AED= / DAE=30 , sin / AEF=, AF=AE?sin / AEF=.点评：本题主要

31、考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广.11 .如图，在ABC AB=AC=a , M为底边BC上的任意一点，过点 M分别作AB、AC的平行线交 AC于P,交AB于Q .(1 )求四边形AQMP的周长；(2 )写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3 ) M位于BC的什么位置时，四边形 AQMP为菱形并证明你的结论.B M C相似三角形的判定；菱形的判定。综合题。分析:(1) 根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；(2) 因为/B= / C= / PMC=Z QMB,所以 PMCs QMBA ABC；(3) 根据中位线的性质及菱形

32、的判定不难求得四边形AQMP为菱形.解答:解：(1 )T AB / MP, QM/ AC,四边形APMQ 是平行四边形，/B= / PMC, / C= / QMB./ AB=AC ,/ B= / C,/ PMC=/ QMB. BQ=QM, PM=PC .四边形 AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a(2)T PM/ AB, PCMs acb ,/ QM/ AC, BMQA BCA ；(3)当点M中BC的中点时，四边形 APMQ是菱形，点 M 是 BC 的中点， AB / MP, QM/ AC, QM, PM是三角形 ABC的中位线./ AB=AC ,

33、 QM=PM= 2aB= He .2 2又由(1 )知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形.点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用.12 .已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且 BP=3PC , M是CD的中点，试说明：ADMs MCP.考点:专题:相似三角形的判定；正方形的性质。 证明题。分析:欲证 ADMsA MCP,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即/D= / C,此时夹此对应角的两边对应成比例即可.解答：证明：正方形 ABCD , M为CD中点， CM=MD= =AD ./ BP=3PC , PC丄BC

34、=AD= CM .442页电IT?/ PCM=Z ADM=90 , MCPs ADM .点评：本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形 的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.本 题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法.13.如图，已知梯形 ABCD 中， AD/ BC,AD=2 , AB=BC=8 , CD=10 .(1 )求梯形ABCD的面积S;(2 )动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B? A? D? C方向，向点 C运动；动点 Q从点C出发，以 1cm/s的速度，

35、沿 C? D? A方向，向点 A运动，过点 Q作QE丄BC于点E.若P、Q两点同时出发，当 其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问： 当点P在B? A上运动时，是否存在这样的 t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与相CQE若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.考点：相似三角形的判定；三角

36、形三边关系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。专题：动点型；开放型。分析：(1 )求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解,得出高后即可求出梯形的面积.(2PQ平分梯形的周长，那么 表示出AP , BP, CQ, QD的长，本题要分三种情况进行讨论：一，当P在AB上时，即0 v t 8 （不合题意舍去）8 w t 时.1DP=DQ=10- t 时，以DQ为腰的等腰DP成立.10 V t w 1 时.DP=DQ=t - 10 .第三种情况: 当 10 V t wDQ为腰的等腰D成Q1时，以DQ为腰的等腰DP（成立2）中要根据P，Q的点评：本题主要考查了

37、梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（ 不同位置，进行分类讨论，不要漏解.14 .已知矩形 ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm , P、Q分别是 AB、BC上运动的两点.若 P自点A出 发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒, 以P、B、Q为顶点的三角形与相似C考点：相似三角形的判定；矩形的性质。PBQs b专题：几何动点问题；分类讨论。分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似C则要分两两种情况进行分析.分别是厶解答:或厶QBPs BDC，从而解得所需的时间. 解：设经x秒后， PBQs BCD,由于/ P

38、BQ= / BCD=90（1）当/ 1= /时，有:PBBQI ，（2）当/ 1= /时，有:PB 二 EQBCDC,12 8 PBQs BCD.24.经过一二秒或2秒，迟Q点评：此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用.15 .如图，在 AB, AB=10cm , BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟, PBQA ABC目似.考点：相似三角形的判定；一元一次方程的应用。专题：动点型。分析：设经过t秒后， PBQ ABC目似，根据路程公式可得 AP

39、=2t , BQ=4t , BP=10 - 2t，然后利用 相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可.解答：解：设经过秒后t秒后， PBQ AB（相似，则有 AP=2t , BQ=4t , BP=10 - 2t ,当厶 PBQs ABC 有 BP: AB=BQ : BC,即（10 - 2t ）： 10=4t : 20 ,解得 t=2.5（s）（ 6 分）当厶 QBPs ABC 有 BQ : AB=BP : BC, 即卩 4t : 10=（10 - 2t ）： 20 ,解得t=1 .所以，经过 2.5s或1s时， PB与 AB（相似（10分）.解法二：设 ts 后， PB与 AB（相似，则

40、有， AP=2t , BQ=4t , BP=10 - 2t 分两种情况：（1 ）当BP与AB对应时，有 聲奧,即土 导，解得t=2.5sAb EC-1U 20（2）当BP与BC对应时，有晋=寻，即斗=丄厂，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与厶相似BC点评：本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来.16.如图，/ ACB= / ADC=90AC=k，AD=2 .问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似.考点：相似三角形的判定。专题：分类讨论。分析：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

41、那 么这两个直角三角形相似.在Rt ABC口 Rt ACD,直角边的对应需分情况讨论.解答：解： AC=., AD=2 ,CD=|壬.要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1 )当 Rt ABC s Rt AC,有邑=，二 AB=3 ;AD ACAD! 2(2)当 Rt ACBs Rt CD,有邑=AB=3 .CD ACCD故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似.点评：本题考查相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.17 .已知，如图，在边长为 a的正方形ABCD中，

42、M是AD的中点，能否在边 AB上找一点N (不含A、 B),使得CDMIA MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.考点:相似三角形的判定；正方形的性质。专题:探究型；分类讨论。两个三角形都是直角三角形，还只需满足一对角对应相等或夹直角的两边对应成比例即可说明两个 三角形相似.若DM 与AM 对应，则CDMA MAN全等，N与B重合，不合题意；若DM 与AN 对应，则 CD : AM=DM : AN，得 AN=，从而确定 N的位置.4解答:证明：分两种情况讨论： 若 CDMSA MAN,边长为a , M是AD的中点,.AN=-a.4 若 CDMSA NAM,边长为a , M是AD的中

43、点，.AN=a，即N点与B重合，不合题意.所以，能在边 AB上找一点N (不含A、B),使得CDMA MAN相似.当AN=丄玄时，N点的4位置满足条件.点评：此题考查相似三角形的判定因不明确对应关系，所以需分类讨论.18 .如图在厶 ABC /C=90 C=8cm , AC=6cm，点Q从B出发，沿 BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动.若 Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后， 以点C、P、Q为顶点的三角形与相CBA考点：相似三角形的判定。专题：综合题；动点型。分析：此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据

44、速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解.解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则 CQ= （ 8 - 2x） cm , CP=xcm ,（1分）/ C= / C=90 ,CQ当或 CB CA CA-时,CB CA丄二H时,CA CR秒或5(1 )当(2 )当所以，经过，两三角形相似（ -5， x二.11秒后，两三角形相似.3分）（4分）（5分）（6分）解答:解：（1）若点A , P, D分别与点B, C, P对应，即APDBCP,AD=APBPBC2AP7-AP 3 AP- 7AP+6=0 , AP=1 或 AP=6 ,检测：当AP=1时，由BC=3 ,BC= BF

45、，又/ A= / B=90 ,AD=2 , BP=6 ,APDBCP.当 AP=6 时，由 BC=3 , AD=2 , BP=1 ,点评:本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19 .如图所示，梯形 ABCD中， AD/ BC,/ A=90 AB=7 , AD=2 , BC=3，试在腰 AB上确定点 P的位D为顶点的三角形与以 P, B, C为顶点的三角形相似.考点：相似三角形的判定；梯形。专题：分类讨论。分析：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法解题时要注意 题多解的情况，要注意别漏解.（2）若点A , P, D分别与点B, P, C

46、对应，即迟型.AP = 2 , BP BCAPDs bpc .检验：当AP=7-AF丄时， APBP=215,AD=2,BC=3 ,BPC.因此，点P的位置有三处，即在线段 AB距离点A的145、6处.点评:此题考查了相似三角形的判定和性质；判定为： 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似；性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.20 . AB（和 DE是两个等腰直角三角形，/A= / D=90。的顶点DEF于边BC的中点上.（1 ）如图1，设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N，求证：BEMs CNE；（2 ）如图2，将 DE绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC交于点N，于是，除（1 ）考点:专题:分析:相似三角形的判定；等腰直角三角形。证明题；开放型。因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45。，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似； 再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得ECNs MEN.解答:证明：（1 ） ABC等腰直角三角形，/ MBE=45 ,/ BME+ / MEB=135又 D是等腰直角三角形，/DEF=45而/NEC+ / MEB=135BEM