专题07 二次函数与平行四边形存在型问题(解析版)

1、q xc a备战 2020 中考数学之解密压轴解答题命题规律专题 07 二次函数与平行四边形存在型问题 【典例分析】【例 1】（2019 内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线y =ax 2 +bx +c ( a 0)的顶点为 m (1,9) ，经过抛物线上的两点a( -3, -7) 和 b (3, m )的直线交抛物线的对称轴于点c（1） 求抛物线的解析式和直线 ab 的解析式（2） 在抛物线上 a, m 两点之间的部分（不包含 a, m 两点），是否存在点 d ，使得 在，求出点 d 的坐标；若不存在，请说明理由s =2 sddac ddcm？若存（3）若点 p 在抛物线上，点 在 轴上，当以

2、点 足条件的点 p 的坐标a, m , p , q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满思路点拨（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）s=2s ，则 s dac dcmv dac=1 dh (x -x )=1(-x2+2x+8-2x +1)(1+3)=1(9-1)(1-x)2 2 2 2，即可求解；（3）分 am 是平行四边形的一条边、am 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可 满分解答（1）二次函数表达式为： y =a (x-1)2+9，将点 a的坐标代入上式并解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x2+2 x +8，1y1则点b (3,5)，将点

3、a, b 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 ab 的表达式为：（2）存在，理由：y =2 x -1；二次函数对称轴为：x =1，则点c (1,1)，过点 d 作 轴的平行线交 ab 于点 h ，设点d (x,-x2+2x +8 )，点h (x,2x -1)，sddac=2 sddcm，则sv dac=12dh (x -xc a)=12(-x2+2 x +8 -2 x +1)(1+3)=(9-1)(1-x)22，解得：x =-1或 5（舍去 5），故点d (-1,5)；（3）设点q(m,0)、点p(s,t)， t =-s2+2 s +8 ，当 am 是平行四边形的一条边时，点 m 向左平移

4、4 个单位向下平移 16 个单位得到 a ，同理，点q (m,0)向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位为(m-4,-16)，即为点 p ，即：m -4 =s ， -6 =t，而 t =-s2 +2 s +8 ，解得：s =6或4，故点p (6,-16)或(-4,-16)；当 am 是平行四边形的对角线时，2( )( )由中点公式得：m +s =-2， t =2 ，而 t =-s2 +2 s +8 ，解得： s =1 7 ，故点p 1 + 7, 2 或 1 - 7, 2 ；综上，点p (6,-16)或(-4,-16)或(1+7,2)或(1-7,2)【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，

5、涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要 注意分类求解，避免遗漏【例 2】（2019 青海中考真题）如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点a(1，0) , b (5，0) , c (0，4)（1） 求抛物线的解析式和对称轴；（1） p 是抛物线对称轴上的一点，求满足 pa +pc 的值为最小的点 p 坐标（请在图 1 中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 e ，使四边形 oebf 是以 ob 为对角线且面积为12 的平行四边形？若存在，请求出点 e 思路点拨坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索）（1）根据点a、b的坐标

6、可设二次函数表达式为：ya (x-1)(x5)a(x2-6 x +5，由 c 点坐标即可求解；（2）连接 b、c 交对称轴于点 p ，此时 pa +pc 的值为最小，即可求解；（3）s ob y 5 y 12 四边形 oebf e e，则y e125，将该坐标代入二次函数表达式即可求解满分解答（1）根据点a(1，0) , b (5，0)的坐标设二次函数表达式为：ya (x-1)(x5)a(x2-6 x +5，3416 424抛物线经过点c (0，4)，则 5a4，解得：a45，抛物线的表达式为：y45(x2-6x +5 )= (x-3)2- x 2 - x +45 5 5 5，函数的对称轴为：

7、 x3 ；（2）连接 b、c 交对称轴于点 p ，此时 pa +pc 的值为最小，ykx +b，设 bc 的解析式为：将点 b、c 的坐标代入一次函数表达式：4k =-5 ,解得： ykx +b0 =5k +b 得： b =4,b =4直线bc的表达式为：y =-45x +4，当x3时，y85，故点8 p（3，）；5（3）存在，理由：四边形 oebf 是以 ob 为对角线且面积为12 的平行四边形，则s ob y 5 y 12 四边形oebf e e，点 e在第四象限，故：则y -e125，将该坐标代入二次函数表达式得：4412y(x2-6x +5 )- 5 5，解得： x2 或 4，故点 e

8、的坐标为（2, -12 12 ）或（4, - ）5 5【名师点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2），求线段和 的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法【例 3】（2019 辽宁中考真题）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y34x+3 的图象与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于 b 点，抛物线 yx2+bx+c 经过 a，b 两点，在第一象限的抛物线上取一点 d，过点 d 作 dcx 轴于点 c，交直线 ab 于点 e（1） 求抛物线的函数表达式（2） 是否存在点 d，使 bde 和 ace 相似？若存在，请求出点

9、d 的坐标，若不存在，请说明理由；（3） 如图 2，f 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 d 重合），点 g 是线段 ab 上的动点连接 df，fg， 当四边形 degf 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 g 的坐标思路点拨3（1）根据 y =- x +34，求出 a，b 的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；13（2 bde ace 相似，要分两种情况进行讨论 bdeace，求得 d (4，3)；dbeace，求得 d (23 50， )12 9；（3）由 degf 是平行四边形，可得 defg，de=fg，设 d (m, -m2 +13 3m +3) ， e ( m,

10、- m +3) 4 4，f ( n, -n2 +13 3 3 89 n +3) ， g ( n, - n +3) ，根据平行四边形周长公式可得：degf 周长= -2( m - ) 2 +4 4 4 8，由此可求得点 g 的坐标523t =0 ) t =4 )1233)q满分解答3（1）在 y =- x +3 中，令4x =0，得y =3，令 y =0 ，得x =4， a(4,0)， b (0,3) ，将 a(4,0) ，b (0,3)分别代入抛物线y =-x2 +bx +c-42+4b +c =0 中，得： c =3 13b = ，解得： 4c =3，13抛物线的函数表达式为： y =-x2

11、 +x +34（2）存在如图 1，过点 b 作 bh cd 于 h ，设 c (t ,0)，则 d (t , -t2 +13 3t +3) ， e (t , - t +3) 4 4，h (t ,3)；3 13 ec =- t +3 ， ac =4 -t ， bh =t ， dh =-t + t4 4bed =aec相似， dbde 和 dace， de =-t2+4tdbdedace 或 ddbedace当 dbdedace 时，bde =ace =90，bd ac=de ce，即： bdgce =ac gde3 t ( - t +3) =(4 -t ) ( -t 42+4t )，解得：t =

12、01（舍去），t =4213（舍去），t = ，413 d (4，3)当 ddbedace 时， bde =cae q bh cdbhd =90，bh ce =tan bde =tan cae =dh ac，即： bh gac =ce gdh3 13 23 t (4 -t ) =( - t +3)(-t2 + t ) ，解得： （舍 ， （舍 ， t =4 4 12， d (23 50， )12 9；13 23 50综上所述，点 d 的坐标为 ( ， 或 ( ， )4 12 9；（3）如图 3，四边形degf是平行四边形 de / / fg ，设 d (m, -m2 +de =fg13 3 1

13、3m +3) ， e (m, - m +3) ， f ( n, -n2 + n +3) 4 4 43， g ( n, - n +3) 4，622y则： de =-m2+4 m ， fg =-n2+4n，-m2+4 m =-n2+4 n，即：( m -n )(m +n -4) =0 ，q m -n 0 m +n -4 =0 ，即：m +n=4过点 g 作 gk cd 于 k ，则 gk / / ac egk =baogk ao =cos egk =cos bao =eg ab，即： gk gab =aogeg 5(n -m ) =4 eg5，即： eg = (n -m) 45 3 89 degf

14、 周长 =2( de +eg ) =2(-m +4 m) + ( n -m) =-2(m - ) +4 4 8q -25， m =5 + 412， nh -hp =4，-(-m2+6 m -5 )-(m-5)=4，解得 m =15 + 412， m =25 - 412，点 a、m、n、q 为顶点的四边形是平行四边形，m 0，13 m =5 - 412，综上所述，若点 a、m、n、q 为顶点的四边形是平行四边形，点 n 的横坐标为：4 或5 + 41 5 - 41 或2 2【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键 【变式训练】1抛物线 y=x2+

15、6x9 的顶点为 a，与 y 轴的交点为 b，如果在抛物线上取点 c，在 x 轴上取点 d，使得四边形 abcd 为平行四边形，那么点 d 的坐标是（ ）a （6，0）b （6，0）c （9，0）d（9，0）【答案】d【解析】【分析】首先确定顶点坐标 a 和 y 轴的交点坐标,然后根据抛物线的对称性确定点 c 的坐标,进而确定 d 点坐标. 【详解】解：令 x=0 得 y=-9,即点 b 坐标（0,-9）y=x2+6x9=-(x-3) 2,顶点坐标 a（3,0）,对称轴为 x=3,c 在抛物线上, 四边形 abcd 为平行四边形，c（6,-9）,cd=6,ab=6,d（9,0）,故选 d.【点

16、睛】本题考查了抛物线的图像性质,属于简单题,一般式化为顶点式,求出对称轴是解题关键.142如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于点 a、d，与 y 轴交于点 c，四边形 abcd 是平行四边形，则点 b 的 坐标是（ ）a （-4，-3）b （-3，-3）c （-3，-4）d （-4，-4）【答案】a【解析】【分析】首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出 a、d、c 的坐标，再利用平行四边形的性质得出 b 点坐标 【详解】解：令 y=0，可得 x=3 或 x=-1，a 点坐标为（-1，0）；d 点坐标为（3，0）；令 x=0，则 y=-3，c 点坐标为（0，-3），四边形 abcd 是

17、平行四边形，ad=bc，adbc，ad=bc=4，b 点的坐标为（-4，-3），故选：a【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键3如图，抛物线 y= （x+2）（x8）与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c，顶点为 m，以 ab 为直径151 2作d下列结论：抛物线的对称轴是直线 x=3；d 的面积为 16；抛物线上存在点 e，使四边形 aced 为平行四边形；直线 cm 与d 相切其中正确结论的个数是（ ）a1 b2 c3 d4【答案】b【解析】【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 a、b 坐标，由抛物线的

18、对称性即可判定；求得d 的直径 ab 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；过点 c 作 ceab，交抛物线于 e，如果 ce=ad，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 cm、直线 cd 的 解析式通过它们的斜率进行判定【详解】在 y= （x+2）（x8）中，当 y=0 时，x=2 或 x=8，点 a（2，0）、b（8，0），抛物线的对称轴为 x= =3，故正确；d 的直径为 8（2）=10，即半径为 5，d 的面积为 25，故错误；在 y= （x+2）（x8）= x2 x4 中，当 x=0 时 y=4，点 c（0，4），当 y=4 时， x2 x4=4，解得：

19、x =0、x =6，所以点 e（6，4）， 则 ce=6，ad=3（2）=5，16adce ，四边形 aced 不是平行四边形，故错误；y= x2 x4= （x3）2 ，点 m（3， ）， dm= ，如图，连接 cd，过点 m 作 mny 轴于点 n，则有 n（0， ），mn=3，c（0，-4），cn= ，cm2=cn2+mn2=，在 odc 中，cod=90，cd2=oc2+od2=25，cm2+cd2=，dm2=，cm2+cd2=dm2，dcm=90，即 dccm，cd 是半径，直线 cm 与d 相切，故正确，故选 b【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、

20、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关 知识是解题的关键.4.如图，抛物线的顶点为 p（3，3），与 y 轴交于点 a（0，4），若平移该抛物线使其顶点 p 沿直线移动到点 p（3，3），点 a 的对应点为 a，则抛物线上 pa 段扫过的区域（阴影部分）的面积为（ ）a24 b12 c6 d4 217【答案】a【解析】【分析】根据平移的性质得出四边形 appa是平行四边形，进而得出 ad，pp的长，求出面积即可【详解】连接 ap，ap，过点 a 作 adpp于点 d，由题意可得出：apap，ap=ap，四边形 appa是

21、平行四边形，抛物线的顶点为 p（-3，3），与 y 轴交于点 a（0，4），平移该抛物线使其顶点 p 沿直线移动到点 p（3， -3），po=32 ，aop=45，又adop，ado 是等腰直角三角形，pp=3 2 2=6 2 ，2ad=do=sin45oa= 4=222 ，抛物线上 pa 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：6 2 2 2 =24， 故选 a.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换、平行四边形面积以及勾股定理等知识，根据已知得出 ad，pp的长 是解题的关键5在 abcd 中，对角线 ac=4，bd=6，p 是线段 bd 上一动点，过 p 作 efac，与 abcd 的两边分

22、 别交于 e、f设 bp=x，ef=y，则反映 y 与 x 之间关系的图象是（ ）18123abcd【答案】c【解析】试题分析：根据题意设 ac、bd 交于点 o，分 2 个阶段：（1）点 p 在 bo 之间，即 x3 时；（2）p 在 od 之间，即 x3，根据平行线的性质，可得 y 与 x 的关系，分析选项，可得答案试题解析：根据题意设 ac、bd 交于点 o，分 2 个阶段：（1） 点 p 在 bo 之间，即 x3 时，根据平行线的性质，可得：（2） p 在 od 之间，即 x3，根据平行线的性质，可得 分析可得：选项 c 符合两个阶段的描述故选 c考点：动点问题的函数图象，化简可得，化

23、简可得 6如图抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 a（1，0），b（4，0），点 c 三点（1） 试求抛物线的解析式；（2） 点 d（3，m）在第一象限的抛物线上，连接 bc，bd试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 p，满足pbcdbc？如果存在，请求出点 p 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3） 点 n 在抛物线的对称轴上，点 m 在抛物线上，当以 m、n、b、c 为顶点的四边形是平行四边形时， 请直接写出点 m 的坐标【答案】（1）yx2+3x+4；（2）存在p（3 19 5 39 11 39 5 21， ）（3）m ( - , - ) m ( , -

24、 ) m ( , ) 4 16 2 4 2 4 2 419【解析】【分析】（1） 将 a,b,c 三点代入 yax2+bx+4 求出 a,b,c 值，即可确定表达式；（2） 在 y 轴上取点 g，使 cgcd3，构 dcbgcb，求直线 bg 的解析式，再求直线 bg 与抛物 线交点坐标即为 p 点，（3） 根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 a（1，0），b（4，0），点 c 三点a -b +4 =0 16 a +4b +4 =0a =-1 解得 b =3抛物线的解析式

25、为 yx2（2）存在理由如下：+3x+4yx2+3x+4（x32）225+ 4点 d（3，m）在第一象限的抛物线上，m4，d（3，4），c（0，4）ocob，obcocb45 连接 cd，cdx 轴，dcbobc45，dcbocb，在 y 轴上取点 g，使 cgcd3，20bpbpbpbp122312再延长 bg 交抛物线于点 p，在 dcb gcb 中，cbcb，dcbocb，cgcd， dcbgcb（sas）dbcgbc设直线 bp 解析式为 y kx+b（k0），把 g（0，1），b（4，0）代入，得1k ，b1，41bp 解析式为 y x+141y x+1，yx2 4+3x+41当 y

26、y 时， x+1x24+3x+4，3解得 x ，x 4（舍去）， 419 3 19 y ，p（ ， ）16 4 16（3）m ( -15 39 11 39 5 21 , - ) m ( , - ) m ( , )2 4 2 4 2 4理由如下，如图b(4，0),c(0，4) ，抛物线对称轴为直线 3设 n(，n)，m(m, m2+3m+4) 2x =32，第一种情况：当 mn 与 bc 为对边关系时，mnbc,mn=bc,4-32=0-m，m=-52m2+3m+4=-394,5 39 m ( - , - )2 4；3或0- =4-m，2m=112m239+3m+4= - ,411 39 m (

27、 , - )2 4；第二种情况：当 mn 与 bc 为对角线关系，mn 与 bc 交点为 k,则 k(2,2)，2132332+ m2= 25m=221m2+3m+4=45 21m ( ,)2 4综上所述，当以 m、n、b、c 为顶点的四边形是平行四边形时，点 m 的坐标为 11 39 5 21m ( , - ) m ( , ).2 4 2 4m ( -15 39, -2 4)【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方 程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.7如图，抛物线 yax2+bx3 经过点 a（2，3），与 x 轴负半轴交于点

28、b，与 y 轴交于点 c，且 oc3ob22（1） 求抛物线的解析式；（2） 抛物线的对称轴上有一点 p，使 pb+pc 的值最小，求点 p 的坐标；（3） 点 m 在抛物线上，点 n 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 a，b，m，n 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，直接写出所有符合条件的点 m 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y =x 2 -2 x -3;（2）点 p 的坐标(1，-2)；（3）m(4,5),(-2,5),(0 ，-3).【解析】【分析】（1） 待定系数法即可得到结论；（2） 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 m 在对称轴上，根据两点之间线

29、段最短， 可得 m 点在线段 ab 上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3） 设 m（a，a2-2a-3），n（1，n），以 ab 为边，则 abmn，ab=mn，如图 2，过 m 作 me对称轴于 e，afx 轴于 f，于是得 abfnme，证得 ne=af=3，me=bf=3，得到 m（4，5）或（-2， 5）；以 ab 为对角线，bn=am，bnam，如图 3，则 n 在 x 轴上，m 与 c 重合，于是得到结论【详解】（1）由y =ax2+bx -3得c (0,-3)， oc =3， q oc =3ob， ob =1， b（ -1,0）,把a（2，-3），b（ -1,0）代入

30、y =ax 2 +bx -3，得 4 a +2b -3 =-3 a -b -3 =0，a =1 ，b =-2抛物线的解析式为y =x 2 -2x -3；（2）连接 ab 与对称轴直线 x=1 的交点即为 p 点的坐标（对称取最值），设直线 ab 的解析式为y =kx +b,将 a（2，-3），b（-1，0）代入，得 y=-x-1，23将 x=1 代入，得 x=-2，所以点 p 的坐标为（1，-2）；（3）设 m（a,a 2 -2a -3）, n(1,n)，以 ab 为边，则 abmn，如图 2，过 m 作 me 对称轴 y 于 e，af x 轴于 f，则 abf nme, ne =af =3,me =bf =3, a -1 =3, a =3或a =-2, m (4,5)或（-2,5）;以ab为对角线，bn =am,bn 如图 3，am，则 n 在 x 轴上，m 与 c 重合， m（0，-3），综上所述，存在以点 ab