广东省专插本高等数学历年题集(含答案)

1、高等数学历年试题集(含标准答案 )xt 2 -t +1 205、设r r r r（a） ( - x ) dx（b） ( x - ) dx22221精品文档2004 年专升本插班考试高等数学试题一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1、函数y =1x- 1 -x2的定义域是 。2、limx 0tan 2 x x 3 +5 x=。3、若 y =ex(sin x -cos x ), 则dydx=。2 t -1 14、若函数 f ( x ) = dt , 则f ( ) = r r r r r r r r r r r a =2i -3 j +k , b =i -j +3k和c =i -2 j则 (a

2、+b)(b+c)=二、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）,。6、若i =13 +2 xdx, 则i =（ ）（a）1 1 ln 3 +2 x +c （b）2 2ln (3+2x)+c（c）ln 3 +2 x +c（d）ln (3+2x)+c7、设f ( x, y ) =ln( x +y2 x),则 f (1，0）= y( )（a）0, （b）1, (c)2, (d)128、曲线1y = , y =x, x =2 x所围成的图形面积为 s，则 s=（ ）2 1 2 11 x 1 x（c）11(2 - ) dx +y1(2 - y ) dx（d）11(2 - ) dx +x1(2 -x )

3、 dx9、函数项级数n =1n( x -2)n的收敛区间是（ ）（a）x 1（b）x 1（c）x 3（d）1 x 0.在 x=0 处连续，则 a= 。10、微分方程dxdy+2 xy =2 xe-x2的通解是 。.x2精品文档三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）11、求极限lim( n 2 +n - n 2 +1)。n 12、求极限limx 00ln2(1 +t ) dt x 2。13、已知y = arctan x2-1 -ln xx 2 -1，求 y 。14、设函数 y = y ( x )是由方程 arctanyx=lnx2+ y2所确定的隐函数，求dydx。15

4、、计算不定积分(31 1 1- +3 x + ) dx x x sin x。16、计算定积分2 ln 2ln 21e t -1dt。17、求由两条曲线 y = cos x , y =sin x及两条直线 x =0, x =p6所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积。 18、计算二重积分 ln(x2+y2) dxdy,其中积分区域 d =( x , y ) 1 x2+ y2 4。d19、求微分方程 y +4 y +3 y = 0满足初始条件 y (0) = 2, y (0) = 6的特解。20、已知z=sin( xy ) +xe-xy，求全微分dz。四、综合题（本大题共 3 小题，第 2

5、1 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分）21、设f ( x ) = xe1- x22，（1） 求 f ( x )（2） 求 f ( x )的单调区间及极值；的闭区间0，2上的最大值和最小值。22、证明：当t 0时，1 1 1 ln(1+ ) 1 +t t t。23、已知 f (p) = 2，且p f ( x ) + f ( x ) sin xdx =5，求 f(0)。0.xx()()limlimlim1 + x( )2x -1 -( )xx -12222精品文档2005 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每

6、小题 3 分，共 15 分）1、d 2、b 3、c 4、c 5、a二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、1； 7、0； 8、 -899、 e 210、e-x2( x2+c )三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）11、解：lim( n 2 + n -n 2 +1n =limn n -1n 2 + n + n 2 +12 分=limn 1 +1 -1+n1n1 +1=1 2n 25 分12、解：limx 00ln2(1 + t ) dt x 2=ln2(1 +t ) dt lim 0x 0 x 22 分13、解：2 ln(1 + x )ln

7、2 (1 + x ) ln 2 (1 + x )= = =2 x 2 x 2x 0 x 0 x 0( )ln x y = (arctan x 2 -1 - x -1 1 ( )2 x 2 -1 ln x1 = x 2 -1 -1 +x 2 -1 x 2 -1= 05 分2 分=2 x 2 x 2 x 2 -1-1 x x 2 -1+2 xln x2 x 2 -1 x 2 -1=x ln x(2 )325 分14、解法一：设f ( x , y ) =arctanyx-ln x2+y2，则f x( x, y ) =1 +1 y 1 2x- - =- y x 2 x +y x xx +y2 +y22

8、 分.222( )2x233(p6)p 6精品文档f ( x, y) = y1 1 1 2 y - =y x 2 x +y 1 + x xx -y2 +y24 分故dy f (x,y) x +y =- x = ,dx f x, y x -yy（xy）。5 分解法二：方程 arctany y 1=ln x 2 +y 2 可写为 arctan = ln( x 2 +y 2 ) x x 2视 y = y ( x )，上式两边对 x 求导得1y 1 + x 2xy -y 1 2 x +2 yy = x 2 2 x 2 +y 2，3 分即xy -y x +yy =x 2 +y 2 x 2 +y 2，4

9、分所以 y ( x -y ) =x +y，推出dy x +y=y =dx x -y（xy）5 分 1 1 1 315、解： - +3 + dx = x 3 -ln x +3 x x sin x 23 xln 3-cot x +c（每项的原函数求对各得 1 分，总体答案写对得 5 分）16、解：令e -1 =u，则 e =1 +u2, dt =2udu1 +u 21 分2ln 2ln 21e -1dt =12u u(1 +u 2 )3 分=2111 +u2du =2 arctan u13p p p =2 - =3 4 66 分17、解：由两条曲线 y =cos x, y =sin x及两条直线

10、x =0, x =p6所围成的平面图形如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为v =pcos2x -psin2x dx3 分0=pcos2 xdx = 0p2sin 2 xp 60=34p5 分6 分18、解：采用极坐标变换 x =r cosq, y =sinq，则.()dq1 2精品文档ln x2+y2dxdy =2p 22 r ln rdr3 分d0 1=2p r 2 ln r 2 1-r 2221=p(8ln2 -3)5 分19、解：方程 y +4y +3y =0的特征方程为l2+4l+3 =0解出l =-3,l =-1 1 22 分可知方程的通解为y =c e1-3

11、x+c e2-x3 分由上式可得y =-3c e1-3x-c e2-x用初始条件 y(0) =2, y(0) =6c +c =2,代入上面两式得 -3c -c =6 1 2解出c =-4,c =6 1 2故所求的特解为y =-4e-3x+6e-x5 分z20、解： =y cos( xy ) +ex-xy-xye-xy2 分zy=x cos( xy ) -x2e-xy4 分故dz =z zdx + dyx y=ycos( xy ) +e -xy (1-xy)dx+xcos(xy)-x2e -xy dy四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20

12、 分）5 分21、解：f ( x ) =xe1- x22的定义域为 ( -,+)，f ( x) =(1 -x2) e1- x22令 f ( x ) =0，解出驻点（即稳定点）x =-1,x =1 1 22 分列表x( -,-1)-1 （-1，1） 1(1,+)f ( x ) 0 + 0 f ( x)单调减极小单调增极大单调减可知极小值f ( -1) =-1e4 分.pppp精品文档极大值f (1) =1e5 分（2）因 f ( x )在0，2上连续，由（1）知 f ( x)在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点 x =1 （极大值点），因f (0) =0, f (1) =16, f

13、 (2)=2e 2，且2f (0) =0 f (2) = f (1) =e21e故f ( x ) =xe12x2在闭区间0，2上的最大值为f (1) =1e，最小值为 f (0) =08 分22、证明：设 f ( x ) =ln,则 f ( x ) =1x, x t,t+11 分由拉格朗日中值定理知，存在一点v(t,t+1)，使f (1 +t ) - f (t ) = f (v)，即ln1 +1t=1v，4 分又因1 1 1 1 ，故 1 +t v t 1 +tln 1 +1t0,f ( x ) =xsin + , x 0, x 2若limx x0f ( x )存在，则 a =a.32b.1

14、3e -1 c.2 2e-1d.124、设 z = ln(xy)，则 dz =a.1 1 1 1 dx +dy dx + dy b. dx + dy c.x y y x xyd. ydx+xdy+5、积分 e -x dx0a. 收敛且等于-1 b. 收敛且等于 0 c. 收敛且等于 1 d. 发散 二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、若直线 y = 4 是曲线 y =ax +32 x -1的水平渐近线，则 a = 。7、由参数方程 x =2sin t +1, y =e -t所确定的曲线在 t=0 相应点处的切线方程是 。8、积分p( x cos x +sin x

15、) dx =。-p9、曲线 y = e 及直线 x = 0，x = 1 和 y = 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积 v =。10、微分方程 4 y -4 y +5 y = 0的通解是 。三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明） .精品文档11、求极限 lim ln( 2 +n 1n) -ln 2。12、计算不定积分dx x (1 - x )。13、设函数 y =sin 2 (1x) -2x， 求dydx。14、函数 y = y(x)是由方程 e y =x 2 +y 2所确定的隐函数，求dydx在点（1，0）处的值。15

16、、计算定积分1ln( 1 +x2+x ) dx。16、求二重积分0xy 2 ds ，其中积分区域 d = ( x, y ) x 2 +y 2 1, x o 。d17、设函数z =x arctanx 2x，求 y yxx =1y =1。18、求微分方程 y tan x =y ln y满足初始条件yx =p6=e的特解。四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 14 分，第 20 小题 8 分，共 22 分）19、已知函数 f ( x )是g ( x ) =5 x 4 -20 x 3 +15 x 2在 ( -,+)上的一个原函数，且 f(0)=0.（1） 求 f ( x )（2） 求 f (

17、 x )；的单调区间和极值；xsin4tdt（3）求极限lim 0x 0f ( x )。20、设 f ( x)，g ( x )都是 ( -,+)上的可导函数，且 f ( x) =g ( x ), g ( x) = f ( x ), f (0) =1，g=(0)=0。试证：f2 ( x ) -g 2( x ) =1, x ( -,+)。.精品文档2006 年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、d 2、b 3、b 4、a 5、c二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分）6、8 7、x+

18、2y-3=0 8、4 9、p2( e2-1)10、y =ex2( c cos x +c sin x ) 1 2三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）11、解法一： limn 1 n (ln( 2 + ) - ln 2 = n limn n ln( 1 +12 n)=limn ln(1 +11 n)n2 分=limn 1ln( 1 + ) 2 n 2 n123 分=ln e1=2126 分解法二： limn 1 n (ln( 2 + ) - ln 2 = n limn 1ln( 2 + ) - ln 2n1n2 分=(ln x )x =24 分=1xx =2=126 分解

19、法三： limn 1 n (ln( 2 + ) - ln 2 = n lim xn 1 ln( 2 + ) - ln 2 x 1 分= limx +ln( 2 +1x1) -ln 22 分x.2精品文档= limx +1(2 +1x-)1(- )x 21x 24 分= limx +1=211 +1x5 分6 分(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)12、解法一：dx x (1 -x )=211 -xd x2 分6 分=2arcsin x +c解法二：dx x (1 -x )=1x -x2dx =11 1 -( x - )4 22d ( x -12)2 分=arcsin(2

20、x -1) +c6 分解法三：设x= t，则 x =t 21 分dx x (1 -x )=1t 1 -t22tdt3 分=211 -t2dt=2arcsin t +c5 分=2arcsin x +c6 分 1 1 1 1 1 213、解：q sin 2 ( ) =2sin cos (- ) = - sin x x x x x 2 x，3 分q (2 x ) =2 x ln 2，5 分dy = sindx 21 1 ( ) -2 x = sin 2 ( ) -(2 x x x) =-1 2sin -2 x ln 2 x 2 x6 分14、解法一：将方程 ey=x2+y2两边对 x 求导数得1 分

21、eyy =2x +2 yy 2 x 2 +y 2，4 分.dx11精品文档则 y (e y x 2 +y 2 -y ) =xddd =y =ddd 2 +y2-y=e2 yx-y5 分dydxy =0x =1=1。6 分解法二：将方程 ey=x2+y2两边取自然对数得1y = ln( x 2 +y 2 ) 21 分 y =1 2x +2 yy 2 x 2 +y 24 分则y ( x2+y2-y ) =xdy =y = dxx x=x 2 +y 2 -y e2 y -y5 分dydxy =0x =1=1.6 分解法三：设 f（x,y）=ey-x2+y2，1 分则， f =- x2 x 2 x 2

22、 +y 2=-x x 2 +y 2，2 分f x=ey-2 y 2 x 2 +y2=ey-x2y+y2，3 分dydxf =- x =-f y-e y -xx2 +y 2yx 2 +y2=xe y x 2 +y 2 -y=x e 2 y -y5 分dydxy =0x =1=1.6 分15、解：ln( 1 +x2+x ) dx =x ln( 1 +x2+x )101 -xln( 1 +x2 +x ) dx2 分0 0x=ln( 2 +1) -1 +x 20=ln( 2 +1) - 1 +x 2 10=ln( 2 +1) - 2 +1.d4 分5 分6 分.111210精品文档16、解法一：d= ( x , y ) x 2 +y 2 1, x 0 如答图 1 所示1 分xy 2 ds =xy 2 dxdy =dy1 -y 2xy2dx3 分d d-1 0=1( x22y201-y2) dy4 分-1=121 y 3 y 5(1 -y 2 ) y 2 dy = ( - )2 3 51-15 分解法二：d=-11 1 2= - = .3 5 15 ( x , y ) x 2 +y 2 1, x 0