幂函数中档题(含答案)

1、幂函数中档题(含答案)3.3 幂函数中档题一选择题（共 4 小题）1若幂函数 f（x）的图象经过点（ 3， ），则 函数 g（x）= +f（x）在 ，3上的值域为（ ）a2， b2， c（0， d0，+）2已知指数函数 f（x）=ax16+7（a0 且 a1） 的图象恒过定点 p，若定点 p 在幂函数 g（x） 的图象上，则幂函数 g（x）的图象是（ ）abcd3函数 f（x）=（m2m1）x是幂函数，对任意 x ，x （0，+），且 x x ，满足12120，若 a，br，且 a+b0，ab0， 则 f（a）+f（b）的值（ ）第2页（共32页）a恒大于 0 b恒小于 0 c等于 0 d无

2、法判断4已知 ，若 0ab1，则下列各式中 正确的是（ ）acbd二填空题（共 1 小题）5已知幂函数 f（x）的图象经过点（ ， ），p （x ，y ），q（x ，y ）（x x ）是函数图象上的112212任意不同两点，给出以下结论：x f（x ）x f（x ）；x （f x ）x （f x ）；11 ；221122其中正确结论的序号是 三解答题（共 13 小题） 6已知幂函数 f（x）=（m1）2x在（0，+）上单调递增，函数 g（x）=2xk（）求 m 的值；（）当 x1，2时，记 f（x），g（x）的值 域分别为集合 a，b，若 ab=a，求实数 k 的 取值范围第3页（共32页）7

3、已知函数 f（x）=（a1）xa（ar），g（x） =|lgx|（）若 f（x）是幂函数，求 a 的值并求其单调 递减区间；（）关于 x 的方程 g（x1）+f（1）=0 在区 间（1，3）上有两不同实根 x ，x （x x ），求1212a+ + 的取值范围8已知函数 f（x）=（a1）xa（ar），g（x） =|lgx|（）若 f（x）是幂函数，求 a 的值；（）关于 x 的方程 g（x1）+f（1）=0 在区 间（1，3）上有两不同实根 x ，x（x x ），求的取值范围 9 已知幂函数1212的图象关于 y 轴对称，且在区间（ 0，+）上是减函数， （1）求函数 f（x）的解析式；（2

4、）若 ak，比较（lna）0.7 与（lna）0.6 的大小 10已知幂函数 g（x）=（m22）xm（mr） 在（0，+）为减函数，已知 f（x）是对数函数 且 f（m+1）+f（m1）= （1）求 g（x），f（x）的解析式；第4页（共32页）（2）若实数 a 满足 f（2a1）f（5a），求 实数 a 的取值范围11函数 f（x）=是偶函数（1）试确定 a 的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数 f（x）在区间（，0）上是减 函数；（3）当 x2，0时，求函数 f（x）= 值域的12如图，点 a、b、c 都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2 又 a、b、c 在

5、x 轴上的射影分别是 a、b、c，记 abc 的面积为 f（a），bc的面积为 g （a）（1）求函数 f（a）和 g（a）的表达式； （2）比较 f（a）与 g（a）的大小，并证明你的 结论13已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在（0，+）上是减函数 （1）求 m 的值；第5页（共32页）（2）求满足 的 a 的取值范围 14已知幂函数 y=f（x）经过点 ，（1） 试求函数解析式；（2） 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间； （3）试解关于 x 的不等式 f（3x+2）+f（2x4） 015已知幂函数 （f x）=xa 和对数函数 g（x）=log x，a其中 a 为不等于 1 的正数

6、（1） 若幂函数的图象过点（ 27，3），求常数 a 的值，并说明幂函数 f（x）的单调性；（2） 若 0a1，且函数 y=g（x+3）在区间 2，1上总有|y|2，求 a 的取值范围16已知幂函数 （mz）的图象关于 y 轴对称，且在区间（ 0，+）为减函数（1） 求 m 的值和函数 f（x）的解析式（2） 解关于 x 的不等式 f（x+2）f（12x）17已知函数 f（x）=（m1）为幂函数，g（x）= x+f（x）（1） 求证：函数 g（x）是奇函数；（2） 根据函数单调性定义证明：函数 g（x）在 2，+）上是增函数第6页（共32页）18已知幂函数 f（x）=x（mz）为偶函数，且在区

7、间（ 0，+）上是单调增函数 （1）求函数 f（x）的解析式；（2）设函数 g（x）=+2x+c，若 g（x）2对任意的 xr 恒成立，求实数 c 的取值范围第7页（共32页）3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一选择题（共 4 小题）1（2015吉安一模）若幂函数 f（x）的图象经 过点（3， ），则函数 g（x）= +f（x）在 ， 3上的值域为（ ）a2， b2， c（0， d0，+）【分析】根据幂函数 f（x）的图象过点（3， ）， 求出 f（x）的解析式，再求出 g（x）的解析式， 计算 g（x）在 x ，3上的最值即可 【解答】解：设 f（x）=x，f（x）的图象过点（3， ），

8、3= ，解得 = ，f（x）=；函数 g（x）= +f（x）= += + ，当 x ，3时，在 x=1 时，g（x）取得最小值 g（1）=2，在 x=3 时，g（x）取得最大值 g（3）= + =第8页（共32页），函数 g（x）在 x ，3上的值域是2，故选：a【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解 析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问 题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目2（2015 秋庄河市期末）已知指数函数 f（x） =ax16+7（a0 且 a1）的图象恒过定点 p，若 定点 p 在幂函数 g（x）的图象上，则幂函数 g （x）的图象是（ ）abcd【分析】求出定点 p

9、，然后求解幂函数的解析式， 即可得出结论【解答】解：指数函数 f（x）=ax 16+7（a0 且 a 1）的图象恒过定点 p，令 x16=0，解得 x=16，第9页（共32页）且 f（16）=1+7=8，所以 f（x）的图象恒过定点 p（16，8）； 设幂函数 g（x）=xa，p 在幂函数 g（x）的图象 上，可得：16a=8，解得 a= ；所以 g（x）= ，幂函数 g（x）的图象是 a故选：a【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与 应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题3（2015 秋九江校级期中）函数 f（x）=（m2m1）x是幂函数，对任意 x ，x （0，12+），且 x x

10、 ，满足0，若 a，b12r，且 a+b0，ab0，则 （f a）+（f b）的值（ ） a恒大于 0 b恒小于 0 c等于 0 d无 法判断【分析】根据题意，求出幂函数 f（x）的解析式， 利用函数 f（x）的奇偶性与单调性，求出 f（a） +f（b）0【解答】解：根据题意，得第10页（共32页）f（x）=（m2m1）x是幂函数，m2m1=1，解得 m=2 或 m=1；又 f（x）在第一象限是增函数，且当 m=2 时，指数 429251=20150，满足 题意；当 m=1 时，指数 4（1）9（1）51= 40，不满足题意；幂函数 f（x）=x2015 是定义域 r 上的奇函数， 且是增函数

11、；又a，br，且 a+b0，ab， 又 ab0，不妨设 b0，即 ab0，f（a）f（b）0， f（b）=f（b），f（a）f（b），f（a）+f（b）0 故选：a【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用 问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问 题，是基础题目4（2014西湖区校级学业考试）已知，若0ab1，则下列各式中正确的是（ ）第11页（共32页）ac【分析】函数bd的单调性，对 a、b、 、 ，区分大小，即可找出选项 【解答】解：因为函数在（0，+）上是增函数，又 ，故选 c【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较， 是基础题二填空题（共 1 小题）5（2016 春厦门校级期末

12、）已知幂函数 f（x） 的图象经过点（ ， ），p（x ，y ），q（x ，y ）1122（x x ）是函数图象上的任意不同两点，给出12以下结论：x f（x ）x f（x ）；x f（x ）112211x f（x ）； ； 其中正22确结论的序号是 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式； 幂函数的指数大于 0 得到幂函数在（0，+）上 的单调性；图象呈上升趋势，判断出正确第12页（共32 页）【解答】解：依题意，设 f（x）=x，则有（ ）= ，即（ ） =（ ） ，所以 = ，于是 f（x）=x 由于函数 f（x）=x 在定义域0，+）内单调递 增，所以当 x x 时，必有 f（x ）

13、f（x ），1212从而有 x f（x ）x f（x ），故正确；又因为1122，分别表示直线 op、oq 的斜率，结合函数图象，容易得出直线 op 的斜率大于直线 oq 的斜率，故 ，所以正确答案【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解 析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值 决定三解答题（共 13 小题）6（2016 春宜春校级期末）已知幂函数 f（x）=（m1）2x在（0，+）上单调递增，函数 g（x）=2xk （）求 m 的值；第13页（共32 页）（）当 x1，2时，记 f（x），g（x）的值 域分别为集合 a，b，若 ab=a，求实数 k 的 取值范围【分析】（）根据幂函数的

14、定义和性质即可求 出 m 的值，（）先求出 f（x），g（x）的值域，再根据若 ab a，得到关于 k 的不等式组，解的即可 【解答】解：（）依题意得：（m1）2=1， 解得 m=0 或 m=2当 m=2 时，f（x）=x2 在（0，+）上单调递减， 与题设矛盾，舍去m=0（）由（）知 f（x）=x2，当 x1，2时， f（x），g（x）单调递增，a=1，4，b=2k，4k，ab a，解得，0k1故实数 k 的取值范围为0，1【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以 及集合的运算，属于基础题第14页（共32页）7（2016 春江阴市校级期中）已知函数 f（x） =（a1）xa（ar），g（x

15、）=|lgx|（）若 f（x）是幂函数，求 a 的值并求其单调 递减区间；（）关于 x 的方程 g（x1）+f（1）=0 在区 间（1，3）上有两不同实根 x ，x （x x ），求1212a+ + 的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义，求出 a 的值， 即得 f（x）的解析式与单调递减区间；（）把方程化为 g（x1）=1a，利用函数 y=g（x1）与 y=1a 在 x（1，3）的图象上 有二交点，得出 a 的取值范围以及 x ，x 的关系，12从而求出 a+ + 的取值范围【解答】解：（）f（x）=（a1）xa（ar）， f（x）是幂函数，由题有 a1=1，得 a=2； 2f（x）=x2

16、的单调递减区间为（， 0） 4第15页（共32页）（）方程 g（x1）+f（1）=0 化为 g（x1） =1a，由题意函数 y=g（x1）与 y=1a 在 x（1，3） 上有两不同交点 5y=g（x1）=|lg（x1）|=； 7 在 x（1，2时，y=g（x1）单调递减， 又 y=g（x1）0，+），在 x2，3）时，y=g（x1）单调递增， y=g（x1）0，lg2）， 9所以 01alg2，即 1lg2a1， 11由 x x ，可知 x （1，2），x （2，3），1212且即相加消去 a，可得 lg（x 1）+lg（x 1）=0，1即（x 1）（x 1）=1，212展开并整理得 x x

17、=x +x ，即 + =11212 14第16页（共32页）所以 a+ + 的取值范围为（2lg2，2） 16 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用 问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类 讨论与转化思想，是就综合性题目8（2015 秋资阳期末）已知函数 f（x）=（a 1）xa（ar），g（x）=|lgx|（）若 f（x）是幂函数，求 a 的值； （）关于 x 的方程 g（x1）+f（1）=0 在区 间（1，3）上有两不同实根 x ，x（x x ），求1212的取值范围【分析】（）利用幂函数的定义能求出 a （）函数 y=g（x1）与 y=1a 在 x（1，3）上有两不同交点，y=

18、g（x1）=，推导出 1lg2a1，x （1，2），x （2，3），12由此能求出的取值范围【解答】解：（）f（x）=（a1）xa（ar）， f（x）是幂函数，由题有 a1=1，得 a=2 （2 分）第17页（共32页）（）方程化为 g（x1）=1a，由题有函数 y=g（x1）与 y=1a 在 x（1，3） 上有两不同交点 （3 分） y=g（x1）=|lg（x1）|=在 x（1，2时，y=g（x1）单调递减，y=g （x1）0，+），在 x2，3）时，y=g（x1）单调递增，y=g （x1）0，lg2），5 分所以 01alg2，即 1lg2a1，（7 分） 由 x x ，可知 x （1，2

19、），x （2，3），1212且即相加消去 a，可得 lg（x 1）+lg（x 1）=0，1即（x 1）（x 1）=1，212展开并整理得 x x =x +x ，即1212所以 （11 分）的取值范围为（2lg2，2） （12 分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的 值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意函数性质的合理运用第18页（共32页）9（2015 秋长沙校级期中）已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在区间 （0，+）上是减函数，（1） 求函数 f（x）的解析式；（2） 若 ak，比较（lna）0.7 与（lna）0.6 的大小 【分析】（1）利用幂函数的性质，结合

20、函数的奇 偶性通过 kn*，求出 k 的值，写出函数的解析 式（2）利用指数函数 y=（lna）x 的性质，把不等 式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可 得出答案【解答】解：（1）幂函数关于 y 轴对称，所以，k22k30，解得1k3， 因为 kn*，所以 k=1，2；且幂函数的图象在区间（0，+）为减函数， k=1，函数的解析式为： f（x）=x4（2）由（1）知，a1当 1ae 时，0lna1，（lna）0.7（lna）0.6；第19页（共32页）当 a=e 时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6； 当 ae 时，lna1，（lna）0.7（lna）0.6 【点评】本题是

21、中档题，考查幂函数的基本性质， 考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用10（2014 秋旌阳区校级月考）已知幂函数 g （x）=（m22）xm（mr）在（0，+）为减 函数，已知 f（x）是对数函数且 f（m+1）+f （m1）= （1） 求 g（x），f（x）的解析式；（2） 若实数 a 满足 f（2a1）f（5a），求 实数 a 的取值范围【分析】（1）根据题意，求出 m 的值，得出 g （x）的解析式，再求出 f（x）的解析式； （2）根据题意，利用 f（x）的单调性，列出不 等式组，求出实数 a 的取值范围【解答】解：（1）幂函数 g（x）=（m22） xm（mr）在（0，+）上为减

22、函数， ，解得 m= ，g（x）=；第20页（共32页）又f（x）是对数函数，且 f（m+1）+f（m 1）= ，设 f（x）=log x（a0 且 a1），alog （m+1）+log （m1）= ，aa即 log （m21）=log 2= ，a a解得 a=4，f（x）=log x；4（2）实数 a 满足 f（2a1）f（5a）， 且 f（x）=log x 在（0，+）上单调递增，4 ，解得 ；即 a2，实数 a 的取值范围是（ ，2）【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题， 也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题 目11（2013 秋大姚县校级期末）函数 （f x）=是偶函数第21页

23、（共32页）（1）试确定 a 的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数 f（x）在区间（，0）上是减 函数；（3）当 x2，0时，求函数 f（x）=的值域【分析】（1）根据 f（x）是偶函数，f（x）=f （x），求出 a=0；（2） 用定义证明 f（x）在（，0）上是减函 数；（3） 由（2）得，根据 f（x）在2，0的单调 性，求出 f（x）在2，0上的值域 【解答】解：（1）f（x）是偶函数， f（x）=f（x），即=，x2+ax3=x2ax3； a=0，f（x）=；（2）证明：任取 x 、x （，0），且 x x ；1212= =；x x 0，12x +x 0，x x 0，1212第

24、22页（共32页）（x +x ）（x x ）0，1212 1，即 f（x ）f（x ）；12f（x）在（，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（，0）上是减 函数；当 x2，0时，f（2）= = ；=2，f（0）函数 f（x）在2，0上的值域是 ，2 【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调 性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的 问题，是综合题12（2011福建模拟）如图，点 a、b、c 都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2 又 a、b、c 在 x 轴上的射影分别是 a、 b、c，记abc 的面积为 f（a）， abc的面积为 g（a）（1）求函数 f（a

25、）和 g（a）的表达式； （2）比较 f（a）与 g（a）的大小，并证明你的 结论第23页（共32页）【分析】（1）间接法求 f（a），利用 f（a）=sabc=s s s 求出 f（a）的值，直接法 梯形 aacc aab ccb求 g（a）= ac （2）比较 f（a）与 g（a）的大小，用作差法， 化简 f（a）g（a）到因式乘积的形式，判断符 号，从而比较大小【解答】解：（1）连接 aa、bb、cc，则 f（a）=s=ss s=abc梯形aacc=aab=ccb），g（a）=s= acbb=bb=， abc=，f（a）g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大 小的方法，体现

26、转化的数学思想第24页（共32页）13（2011 秋高安市校级期中）已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在（0，+） 上是减函数（1）求 m 的值；（2）求满足的 a 的取值范围【分析】（1）幂函数 y=x 的图象关于 y 轴对称， 且在（0，+）上是减函数则必须满足 为 偶数且 0，则易得 m 的值（2）再根据幂函数 y=x 的单调性，求满足的 a 的取值范围【解答】解：（1）函数在（0，+）上递减，m22m30 即1m3，又 mn m=1 或 2，又函数图象关于 y 轴对称， m22m3 为偶数，故 m=1 为所求*（2）函数在（，0），（0，+）上均为减函数等价于 a+132a0 或 0

27、a+132a 或 a+1 032a，解得故 a 的取值范围为第25页（共32页）【点评】幂函数 y=x，0 时则为减函数； 0 时，幂函数为增函数要注意 的不同， 其定义域是不同的解不等式时要注意14（2010 秋如东县期末）已知幂函数 y=f（x） 经过点 ，（1） 试求函数解析式；（2） 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间； （3）试解关于 x 的不等式 f（3x+2）+f（2x4） 0【分析】（1）设 y=xa，代入可得 a 值，从而得到幂函数的解析式（2） 根据函数解析式求出定义域，在考查 f（ x）与 f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作 出判断（3） 将不等式化为 f（3x+2

28、）f（42x），分 3x+2 与 2x4 都是正数、都是负数、异号三种 情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等 式组，最后把各个不等式组的解集取并集 【解答】解：（1）设 y=xa，代入 ， 得 a=1， 第26页（共32页）（2）定义域（， 0）（0，+），又 ，f（x）为奇函数单调区间（， 0），（0，+）（3）由 f（3x+2）+f（2x4）0 得 f（3x+2） f（2x4），即 f（3x+2）f（42x），1 当 3x+20，42x0 时，2 当 3x+20，42x0 时，3 当 3x+2 与 42x 异号时， ，x 无解，x2，综上所述，或 x2【点评】本题考查用待定系数法求函

29、数解析式、 奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单 调性、奇偶性解不等式15（2010 秋盐城校级期末）已知幂函数 f（x） =xa 和对数函数 g（x）=log x，其中 a 为不等于 1a的正数第27页（共32页）（1） 若幂函数的图象过点（ 27，3），求常数 a 的值，并说明幂函数 f（x）的单调性；（2） 若 0a1，且函数 y=g（x+3）在区间 2，1上总有|y|2，求 a 的取值范围【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出 ，据 0，幂函数单调递增（2）求出函数的解析式，根据 0a1 时，对 数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式 求出 a 的范围【解答】解：（1）

30、幂函数的图象过点（27，3）， 3=27 ，故函数在（，+）上是单调增函数 （2）y=g（x+3）=log （x+3）a0a1，y=log （x+3）在区间2，1上单调递减 a所以当 x=2 时 y 取得最大值 0，当 x=1 时 y 取得最小值 log 2a|y|2log 22a第28页（共32页）【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析 式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数 不等式16（2007 秋虹口区校级期末）已知幂函数 （mz）的图象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1） 求 m 的值和函数 f（x）的解析式（2） 解关于 x 的不等式 f（x+2）f（12x） 【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇 偶性通过 mz，求出 m 的值，写出函数的解析 式（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等 式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集 【解答】解：（1）幂函数 （mz）的图 象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）为减函数， 所以，m24m0，解得 0m4，因为 mz，所以 m=2；函数的解析式为： f（x）=x4（2）不等式 f（x+2）f（12x），函数是偶函 数，在区间（0，+）为减函数，所以|12x|x+2|，