初二数学 直角三角形练习题

1、一选择题（共 5 小题）1已知下列语句：（1） 有两个锐角相等的直角三角形全等；（2） 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3） 三个角对应相等的两个三角形全等；（4） 两个直角三角形全等其中正确语句的个数为（ ）a0 b1 c2 d32对于条件：两条直角边对应相等；斜边和一锐角对应相等；斜边和一 直角边对应相等；直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的 有（ ）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个3如图，acb=90，ac=bc，ae ce 于 e，bdce 于 d，ae=5cm，bd=2cm，则 de 的长是（ ）a8 b5 c3 d24如图 abc 中，ab=ac=10

2、，ad 平分bac 交 bc 于点 d，点 e 为 ac 的中点， 连接 de，则 de 的长为（ ）a10 b6 c8 d55如图，在abc 中，cdab 于点 d，beac 于点 e，f 为 bc 的中点，de=5 ， bc=8，则def 的周长是（ ）第1页（共35页）a21 b18 c13 d15二填空题（共 10 小题）6如图，点a 和动点 p 在直线 l 上，点 p 关于点 a 的对称点为 q，以 aq 为边作 rtabq，使baq=90，aq：ab=3：4直线 l 上有一点 c 在点 p 右侧，pc=4cm， 过点 c 作射线 cdl，点 f 为射线 cd 上的一个动点，连结 a

3、f当afc 与abq 全等时，aq= cm7如图，ca ab，垂足为点 a，ab=8，ac=4，射线 bmab，垂足为点 b，一 动点 e 从 a 点出发以 2/秒的速度沿射线 an 运动，点 d 为射线 bm 上一动点，随着 e 点运动而运动，且始终保持 ed=cb，当点 e 运动 全等秒时，deb 与bca8如图，acb=90，ac=bc，bece 于 e，adce 于 d，下面四个结论： abe=bad；cebadc；ab=ce；adbe=de正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）第2页（共35页）9如图，在abc 中，c=90，b=30，ab 的垂直平分线 ed 交 ab 于点 e

4、， 交 bc 于点 d，若 cd=3 ，则 bd 的长为 10如图，在abc 中，acb=90，b=30，bc=6，cd 为 ab 边上的高，点 p 为射线 cd 上一动点，当点 p 运动到使abp 为等腰三角形时，bp 的长度为 11如图，在直角abc 中，已知acb=90，ab 边的垂直平分线交 ab 于点 e，交 bc 于点 d，且adc=30 ，bd=18cm，则 ac 的长是cm12如图，在abc 中，ad 为cab 平分线，bead 于 e，efab 于 f，dbe=c=15，af=2，则 bf=13如图，四边形 abcd 中，a=c=90，abc=60，ad=4 ，cd=10，则

5、 bd 的长等于 第3页（共35页）14如图所示，在平面直角坐标系中，矩形abcd 定点 a、b 在 y 轴、x 轴上，当 b 在 x 轴上运动时，a 随之在 y 轴运动，矩形 abcd 的形状保持不变，其中 ab=2， bc=1，运动过程中，点 d 到点 o 的最大距离为 15如图，在abc 中，ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f，beac 于 e，d 是 ab 的中点，则def 的周长是 三解答题（共 11 小题）16如图，在abc 中，ab=ac，de 是过点 a 的直线，bdde 于 d，cede 于 点 e；（1）若 b、c 在 de 的同侧（如图所示）且 ad=ce 求证：

6、abac；（2）若 b、c 在 de 的两侧（如图所示），其他条件不变，ab 与 ac 仍垂直吗？ 若是请给出证明；若不是，请说明理由第4页（共35页）17如图 1，oa=2，ob=4，以 a 点为顶点、ab 为腰在第三象限作等腰 rtabc （1）求 c 点的坐标；（2）如图 2，p 为 y 轴负半轴上一个动点，当 p 点向 y 轴负半轴向下运动时，以 p 为顶点，pa 为腰作等腰 rtapd ，过 d 作 dex 轴于 e 点，求 opde 的值18如图，已知在abc 中，ab=ac，bac=90，分别过 b、c 向过 a 的直线作 垂线，垂足分别为 e、f（1） 如图过 a 的直线与斜边

7、 bc 不相交时，求证：ef=be+cf；（2） 如图过 a 的直线与斜边 bc 相交时，其他条件不变，若 be=10 ，cf=3，求： fe 长19如图，abc 中，a=30 ，c=90，be 平分abc，ac=9cm，求 ce 的长第5页（共35页）20如图所示，ab=ac，a=120，点 e 在 ab 边上，ef 垂直平分 ab ，交 bc 于 f，egbc，垂足为 g ，若 gf=4，求 cf 的长21已知man，ac 平分man（1）在图 1 中，若man=120，abc=adc=90，求证：ab+ad=ac； （2）在图 2 中，若man=120 ，abc+adc=180，则（1）

8、中的结论是否仍 然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由22如图，在abc 中，b=90，bc=12 厘米，ab 的值是等式 x31=215 中的 x 的值点 p 从点 a 开始沿 ab 边向 b 点以 1.5 厘米秒的速度移动，点 q 从点 b 开始沿 bc 边向 c 点以 2 厘米秒的速度移动1 求 ab 的长度厘米2 如果 p、q 分别从 a、b 两点同时出发，问几秒钟后，pbq 是等腰三角形并 求出此时这个三角形的面积23已知：如图，bac=bdc=90 ，点 e 在 bc 上，点 f 在 ad 上，be=ec，af=fd 求 证：efad 第6页（共35页）24如图，abc

9、中，cd、be 分别是 ab、ac 边上的高，m、n 分别是线段 bc、 de 的中点（1） 求证：mn de ；（2） 连结 dm ，me ，猜想a 与dme 之间的关系，并写出推理过程； （3）若将锐角abc 变为钝角abc，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成 立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由25如图，abc 中，cfab，垂足为 f，m 为 bc 的中点，e 为 ac 上一点，且 me=mf （1） 求证：beac；（2） 若a=50，求fme 的度数26如图，在 rtabc 中，abc=90，点 d 是 ac 的中点，作adb 的角平分 线 de 交 ab

10、 于点 e，（1） 求证：de bc；（2） 若 ae=3 ，ad=5，点 p 为线段 bc 上的一动点，当 bp 为何值时，dep 为等 腰三角形请求出所有 bp 的值第7页（共35页）第8页（共35页）2017 年 02 月 16 日精锐教育 4 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 5 小题）1（2016 秋东宝区校级期中）已知下列语句：（1） 有两个锐角相等的直角三角形全等；（2） 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3） 三个角对应相等的两个三角形全等；（4） 两个直角三角形全等其中正确语句的个数为（ ）a0 b1 c2 d3【分析】根据全等三角形的判定定理 hl、sas

11、、aas、asa 分别进行分析即可 【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；（2） 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；（3） 三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；（4） 两个直角三角形全等，说法错误故选：a【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定定理2（2015 秋武汉校级期中）对于条件：两条直角边对应相等；斜边和一锐 角对应相等；斜边和一直角边对应相等；直角边和一锐角对应相等；以上能 断定两直角三角形全等的有（ ）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可【解答】解：两条直角边对应相等，

12、根据“sas”，正确；2 斜边和一锐角对应相等，根据“aas”，正确；3 斜边和一直角边对应相等，根据“hl”，正确；4 直角边和一锐角对应相等，根据“asa”或“aas”，正确；第9页（共35页）故选 d【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除 hl 外，一般三角形的全等有四 种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证3（2014 春栖霞市期末）如图，acb=90，ac=bc，aece 于 e，bdce 于d，ae=5cm，bd=2cm，则 de 的长是（ ）a8 b5 c3 d2【分析】根据已知条件，观察图形得cae +acd=acd+bcd，cae= bcd， 然后证aecc

13、db 后求解【解答】解：acb=90，ac=bc，aece 于 e，bdce 于 d，cae +acd=acd+bcd，cae= bcd，又aec=cdb=90，ac=bc，aeccdbce=bd=2，cd=ae=5，ed=cd ce=52=3（cm）故选 c【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和 性质求解，发现并利用cae +acd=acd+bcd，cae= bcd，是解题的关 键4（2016 春罗湖区期末）如图，abc 中，ab=ac=10，ad 平分bac 交 bc 于 点 d，点 e 为 ac 的中点，连接 de ，则 de 的长为（ ）第10页（共35

14、页）a10 b6 c8 d5【分析】由等腰三角形的性质证得 bd=dc ，根据直角三角形斜边上的中线的性质 即可求得结论【解答】解：ab=ac=10，ad 平分bac，bd=dc，e 为 ac 的中点，de= ab= 10=5，故选 d【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形 的中位线是解决问题的关键5（2016 秋苏州期中）如图，在abc 中，cdab 于点 d，beac 于点 e，f 为 bc 的中点，de=5 ，bc=8，则def 的周长是（ ）a21 b18 c13 d15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 df、ef ，再根据三 角形的

15、周长的定义解答【解答】解：cdab，f 为 bc 的中点，df= bc= 8=4 ，beac，f 为 bc 的中点，ef= bc= 8=4 ，def 的周长=de +ef+df=5 +4+4=13故选 c【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题， 熟记性质并准确识图是解题的关键第11页（共35页）二填空题（共 10 小题）6（2016 秋瑞安市校级期中）如图，点 a 和动点 p 在直线 l 上，点 p 关于点 a 的对称点为 q，以 aq 为边作 rtabq，使baq=90，aq：ab=3：4直线 l 上 有一点 c 在点 p 右侧，pc=4cm，过点 c 作射线

16、 cdl，点 f 为射线 cd 上的一个 动点，连结 af当afc 与abq 全等时，aq= cm【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可 【解答】解：要使afc 与abq 全等，则应满足 ，aq：ab=3：4，aq=ap，pc=4cm，aq=故答案为：【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据 sas 证明三角形的全等7（2015 秋沛县校级月考）如图，ca ab ，垂足为点 a，ab=8，ac=4，射线 bmab，垂足为点 b，一动点 e 从 a 点出发以 2/秒的速度沿射线 an 运动，点 d为射线 bm 上一动点，随着 e 点运动而运动，且始终保持 ed=cb，当点 e 运动0

17、，2，6，8秒时，deb 与bca 全等【分析】此题要分两种情况：当 e 在线段 ab 上时，当 e 在 bn 上，再分别 分成两种情况 ac=be，ac=be 进行计算即可第12页（共35页）【解答】解：当 e 在线段 ab 上，ac=be 时，acbbed，ac=4，be=4，ae=8 4=4，点 e 的运动时间为 42=2 （秒）；当 e 在 bn 上，ac=be 时，ac=4，be=4，ae=8 +4=12，点 e 的运动时间为 12 2=6（秒）；当 e 在线段 ab 上，ab=eb 时，acbbde，这时 e 在 a 点未动，因此时间为 0 秒；当 e 在 bn 上，ab=eb 时

18、，acbbde，ae=8 +8=16，点 e 的运动时间为 162=8 （秒），故答案为：0，2，6，8【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边 的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8（2009 秋大港区期末）如图，acb=90，ac=bc，bece 于 e，ad ce 于 d，下面四个结论：abe=bad；cebadc；ab=ce；adbe=de正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）第13页（共35页）【分析】首先由aef 与adf

19、 中分别有两个直角及对顶角得到是正确的，利 用等腰三角形的性质及其它条件，证明 ceb adc ，则其他结论易求，而无 法证明是正确的【解答】解：bef=adf=90，bfe=afdabe=bad正确1+2=902+cad=90 1=cad又e=adc=90，ac=bccebadc ce=ad，be=cd adbe=de 而不能证明， 故答案为、 故填、正确正确【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分 利用全等三角形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的 关键；9（2016黔南州）如图，在abc 中，c=90 ，b=30，ab 的垂直平分线 ed

20、交 ab 于点 e，交 bc 于点 d，若 cd=3 ，则 bd 的长为6第14页（共35页）【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得 ad=bd，可得 dae=30，易得adc=60，cad=30 ，则 ad 为bac 的角平分线，由角平分 线的性质得 de=cd=3 ，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可 得 bd=2de ，得结果【解答】解：de 是 ab 的垂直平分线，ad=bd ，dae=b=30，adc=60 ，cad=30 ，ad 为bac 的角平分线，c=90，de ab，de=cd=3 ，b=30，bd=2de=6 ，故答案为：6【点评】本题主

21、要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相 等的性质，直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质 是解题的关键10（2016 贵阳模拟）如图，在abc 中，acb=90，b=30 ，bc=6，cd 为 ab 边上的高，点 p 为射线 cd 上一动点，当点 p 运动到使abp 为等腰三角形时，bp 的长度为4或 6第15页（共35页）【分析】根据直角三角形的性质得到acd=abc=30 ，根据含 30的角的直角三角形的性质得到 ad= ac=，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：acb=90，cdab， adab，acd=abc=30 ，ac= bc=

22、2ad= ac=当 ap=ab=4pd=，时，=3，bd=bc=3，pb=当 pb=ab=4=6，综上所述：pb=4或 6故答案为：4或 6【点评】本题考查了含 30 的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性 质，熟练掌握含 30 的角的直角三角形的性质是解题的关键11（2016 秋罗庄区期末）如图，在直角abc 中，已知acb=90，ab 边的垂直平分线交 ab 于点 e，交 bc 于点 d，且adc=30 ，bd=18cm，则 ac 的长是第16页（共35页）9cm【分析】利用垂直平分线的性质可得 ad=bd ，根据含 30 度角的直角三角形的性 质：在直角三角形中，30 角所对的直

23、角边等于斜边的一半可得 ac 的长 【解答】解：ab 边的垂直平分线交 ab 于点 e，bd=18cm，ad=bd=18cm，在直角abc 中，已知acb=90，adc=30，ac= ad=9cm 故答案为：9【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和含 30 直角三角形的性质，综合运 用各性质定理是解答此题的关键12（2016 秋江阴市期中）如图，在abc 中，ad 为cab 平分线，bead 于e，efab 于 f，dbe= c=15，af=2，则 bf= 6【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出 bda=75，根据三角形外角 的性质得出 dac=60，再由角平分线定义求得 bad=6

24、0，则fea=30 ，根据在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ef=2 fbe=30，进而得出 bf= ef=6 【解答】解：dbe=15，bed=90，bda=75，bda=dac+c，而c=15，dac=60，ad 为cab 平分线，第17页（共35页），再求出bad=dac=60， efab 于 f， fea=30，af=2，ef=2，feb=60，fbe=30，bf= ef=6 故答案为 6【点评】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平 分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中13（2016 春绍兴校级期中）如图，四边形 abcd 中

25、，a=c=90，abc=60，ad=4 ，cd=10，则 bd 的长等于4【分析】延长 ba、cd 交于 e，求出e，求出 de 、ce 长，在 rtcbe 中，求出 bc，在 rtcbd 中，根据勾股定理求出 bd 即可【解答】解：延长 ba、cd 交于 e， c=90，abc=60， e=18090 60=30，第18页（共35页）de=2ad=8 ，ce=10+8=18，tanabc=，tan60=，bc=6在 rtbcd 中，由勾股定理得：bd= 故答案为：4= =4【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含 30 度角的直角三角形，勾股定理 的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，

26、题目具有一定的代表性，难度 适中14（2016郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 abcd 定点 a、 b 在 y 轴、x 轴上，当 b 在 x 轴上运动时，a 随之在 y 轴运动，矩形 abcd 的形状保持不变，其中 ab=2，bc=1，运动过程中，点 d 到点 o 的最大距离为 +1【分析】取 ab 的中点 e，连接 od、oe、de，根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半可得 oe= ab，利用勾股定理列式求出 de ，然后根据三角形任意 两边之和大于第三边可得 od 过点 e 时最大【解答】解：如图，取 ab 的中点 e，连接 od、oe、de ，mon=90，ab=

27、2，第19页（共35页）oe=ae= ab=1，bc=1，四边形 abcd 是矩形， ad=bc=1，de= = =，根据三角形的三边关系，odoe+de ，当 od 过点 e 是最大，最大值为+1故答案为： +1【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性 质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出 od 过 ab 的中点时值最大是解题的 关键15（2016 秋江阴市期中）如图，在abc 中，ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f， beac 于 e，d 是 ab 的中点，则def 的周长是 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得de=df= ab

28、，ef= bc，然后代入数据计算即可得解【解答】解：ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f，beac 于 e，d 是 ab 的中点， bce 是直角三角形，ef 是 rtbce 的中线，ef=bf=fc= bc= ，又点 d 是 ab 的中点，df 是 rtafb 的中线，也是 rtaeb 的中线，de=df= ac= ，三角形 def 的周长=de+df+ef= + + =，第20页（共35页）故答案为 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角 形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键三解答题（共 11 小题）16（2016 秋临沂期末）如图，在abc 中，

29、ab=ac，de 是过点 a 的直线，bd de 于 d，cede 于点 e；（1）若 b、c 在 de 的同侧（如图所示）且 ad=ce 求证：abac；（2）若 b、c 在 de 的两侧（如图所示），其他条件不变，ab 与 ac 仍垂直吗？ 若是请给出证明；若不是，请说明理由【分析】（1）由已知条件，证明 abdace，再利用角与角之间的关系求证 bad+cae=90，即可证明 abac；（2）同（1），先证 abdace，再利用角与角之间的关系求证bad+cae=90 ， 即可证明 abac【解答】（1）证明：bdde，cede，adb=aec=90，在 rtabd 和 rtace 中，

30、 ，rtabdrtcae 第21页（共35页）dab=eca，dba=ace dab+dba=90，eac+ace=90， bad+cae=90 bac=180（bad+cae ）=90 abac（2）abac理由如下：同（1）一样可证得 rtabdrtace dab=eca，dba=eac， cae +eca=90，cae +bad=90，即bac=90， abac【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主， 借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌 握、应用17（2009 秋澄海区校级期中）如图 1，oa=2，ob=4，以 a 点为顶

31、点、ab 为腰 在第三象限作等腰 rtabc（1） 求 c 点的坐标；（2） 如图 2，p 为 y 轴负半轴上一个动点，当 p 点向 y 轴负半轴向下运动时，以 p 为顶点，pa 为腰作等腰 rtapd ，过 d 作 dex 轴于 e 点，求 opde 的值第22页（共35页）【分析】如图 1，过 c 作 cmx 轴于 m 点，则可以求出macoba，可 得 cm=oa=2，ma=ob=4，故点 c 的坐标为（6，2）如图 2，过 d 作 dqop 于 q 点，则 de=oq利用三角形全等的判定定理可得aoppqd（aas）进一步可得 pq=oa=2，即 opde=2 【解答】解：（1）如图

32、1，过 c 作 cmx 轴于 m 点，mac+oab=90，oab+oba=90，则mac=oba，在mac 和oba 中macoba（aas），cm=oa=2，ma=ob=4，om=oa+am=2+4=6 ，点 c 的坐标为（6，2）（2）如图 2，过 d 作 dqop 于 q 点，则 de=oq opde=op oq=pq，apo+qpd=90 ，apo+oap=90，qpd=oap，在aop 和pqd 中，第23页（共35页）aoppqd（aas） pq=oa=2即 opde=2 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个 定理，即 aas、asa、sas、s

33、ss，直角三角形可用 hl 定理，关键还要巧妙作出辅 助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大18（2008 秋上饶期末）如图，已知在abc 中，ab=ac，bac=90 ，分别过 b、c 向过 a 的直线作垂线，垂足分别为 e、f（1） 如图过 a 的直线与斜边 bc 不相交时，求证：ef=be+cf；（2） 如图过 a 的直线与斜边 bc 相交时，其他条件不变，若 be=10 ，cf=3，求： fe 长【分析】（1 ）此题根据已知条件容易证明 bea afc ，然后利用对应边相等 就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道beaafc 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出 ef 了【解答】

34、（1）证明：beea，cfaf，bac=bea=cfe=90 ，eab+caf=90 ，eba+eab=90，第24页（共35页）caf= eba，在abe 和afc 中，bea=afc=90，eba=caf ，ab=ac，beaafcea=fc，be=afef=eb+cf（2）解：beea，cfaf，bac=bea=cfe=90 ，eab+caf=90 ，abe+eab=90，caf= abe，在abe 和afc 中，bea=afc=90，eba=caf ，ab=ac，beaafcea=fc=3，be=af=10ef=afcf=103=7【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们

35、解决问题，经常用 全等来证线段和的问题19（2012 秋巫山县期末）如图 abc 中，a=30，c=90，be 平分abc， ac=9cm ，求 ce 的长【分析】在三角形 abc 中，由 a 和 c 的度数，利用三角形的内角和定理求出 abc 的度数，再由 be 平分abc，可得出eba=a=cbe=30，利用等角对等 边得到 be=ae，设 ce=x，由 acce 及 ac 的长表示出 ae，可表示出 be，在三角 形 bce 中，由=cbe=30 ，利用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的 一半，可得出 ce 为 be 的一半，列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，第2

36、5页（共35页）即为 ce 的长【解答】解：abc 中，a=30，c=90，abc=60，又 be 平分abc，cbe=abe= abc=30 ，abe=a=30 ，eb=ea，又 ac=9cm，设 ec=xcm，则 ae=be=acce=（9x）cm，在 rtbce 中，cbe=30 ，ce= be，即 x= （9x），解得：x=3，则 ce=3【点评】此题考查了含 30 角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及角平 分线的性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及判定是解本题的关键20（2010 秋本溪期中）如图所示，ab=ac，a=120，点 e 在 ab 边上，ef 垂 直平分 ab，交

37、 bc 于 f ，egbc，垂足为 g，若 gf=4，求 cf 的长【分析】连接 af，由 ab=ac，且bac=120，利用等边对等角及三角形的内角 和定理求出b 与c 的度数为 30 ，再由 ef 垂直于 ab，eg 垂直于 bc，得到两 对角互余，利用同角的余角相等得到gef 的度数为 30 ，在直角三角形 efg 中， 利用 30所对的直角边等于斜边的一半，由 gf 的长求出 ef 的长，在直角三角形 efb 中，再利用 30 所对的直角边等于斜边的一半，由 ef 的长求出 bf 的长，即 为 af 的长，由bacbaf 求出fac 为直角，利用 30 所对的直角边等于斜 边的一半，由

38、 af 的长即可求出 fc 的长【解答】解：连接 afab=ac，bac=120，b=c=30，第26页（共35页）efab，egbf，beg+gef=90 ，又b+beg=90， gef=b=30，gf=4，在 rtgef 中，ef=2gf=8，在 rtbef 中，bf=2ef=16，ef 垂直平分 ab，af=bf=16 ， baf=b=30，fac=12030=90，又c=30，fc=2af=32【点评】此题考查了含 30 直角三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及等腰 三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键21（2009 秋崇明县期末）已知man ，ac 平分man （1）在图

39、 1 中，若man=120，abc=adc=90，求证：ab+ad=ac； （2）在图 2 中，若man=120 ，abc+adc=180，则（1）中的结论是否仍 然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）根据含 30角的直角三角形的性质进行证明；（2）作 ceam、cfan 于 e、f根据角平分线的性质，得 ce=cf ，根据等角 的补角相等，得cde=abc，再根据 aas 得到cdecbf，则 de=bf 再由 man=120，ac 平分man ，得到eca=fca=30 ，从而根据 30所对的直角 边等于斜边的一半，得到 ae= ac，af= ac，等量代换后即可证

40、明 ad+ab=ac第27页（共35页）仍成立【解答】（1）证明：man=120，ac 平分man ， cad= cab=60又abc=adc=90，ad= ac，ab= ac，ab+ad=ac（2）解：结论仍成立理由如下：作 ceam、cfan 于 e、f则ced= cfb=90， ac 平分man ，ce=cfabc+adc=180 ，adc+cde=180cde=abc，在cde 和cbf 中，cdecbf（aas），de=bfman=120，ac 平分man ，mac=nac=60，eca=fca=30 ，在 rtace 与 rtacf 中，则有 ae= ac，af= ac，则 ad+

41、ab=ad+af+bf=ad+af+de=ae+af= ac+ ac=ac ad+ab=ac【点评】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含 30角 的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键注意：在探索（ 2）第28页（共35页）pbq的结论的时候，能够运用（1）的结论22（2009 秋荆州区校级期中）如图，在abc 中，b=90，bc=12 厘米，ab的值是等式 x31=215 中的 x 的值点 p 从点 a 开始沿 ab 边向 b 点以 1.5 厘米秒的速度移动，点 q 从点 b 开始沿 bc 边向 c 点以 2 厘米秒的速度移动 求 ab 的长度厘米如果 p、q

42、 分别从 a、b 两点同时出发，问几秒钟后，pbq 是等腰三角形并 求出此时这个三角形的面积【分析】先计算 x31=215，易求 x=6，即 ab=6，再设经过 x 秒后，pbq 是等腰三角形，那么有 61.5x=2x，易得 x=，再根据三角形面积公式易求其面积【解答】解：（1）x31=215，x3=216 ，x=6，故 ab=6cm；（2）设经过 x 秒后，pbq 是等腰三角形，那么 bp=bq，即 61.5x=2x ，解得 x=，s= bp2= （）2=答：经过秒钟后，pbq 是等腰三角形，此时这个三角形的面积是第29页（共35页）【点评】本题考查了立方根的计算、三角形的面积计算、等腰三角

43、形的性质解 题的关键是先画图，并求出 ab23（2016 秋青龙县期末）已知：如图，bac=bdc=90，点 e 在 bc 上，点 f 在 ad 上，be=ec，af=fd求证：efad 【分析】连接 ae，de，由直角三角形斜边的中线是斜边的一半易得 ae=de=，由全等三角形的判定定理可得 aef def，由全等三角形的性质定理可得 afe=dfe=90，即得出结论【解答】解：连接 ae，de ，bac=bdc=90，be=ec，ae=，de=，ae=de ，在aef 与def 中， ，aefdef （sss）， afe=dfe=90， 即 efad 第30页（共35页）【点评】本题主要考

44、查了直角三角形斜边上的中线和全等三角形的判定及性质， 作出适当的辅助线是解答此题的关键24（2016 春广饶县期末）如图，abc 中，cd、be 分别是 ab、ac 边上的高， m、n 分别是线段 bc、de 的中点（1） 求证：mn de ；（2） 连结 dm ，me ，猜想a 与dme 之间的关系，并写出推理过程； （3）若将锐角abc 变为钝角abc，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成 立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由【分析】（1）连接 dm 、me ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 dm= bc，me= bc，从而得到 dm=me，再根据等腰

45、三角形三线合一的性质证 明；（2） 根据三角形的内角和定理可得 abc+acb=180 a，再根据等腰三角 形两底角相等表示出bmd +cme，然后根据平角等于 180表示出dme ，整 理即可得解；（3） 根据三角形的内角和定理可得 abc+acb=180 a，再根据等腰三角 形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 bme+cme，然后根据平角等于 180表示出dme ，整理即可得解【解答】解：（1）如图，连接 dm ，me，cd、be 分别是 ab、ac 边上的高，m 是 bc 的中点，第31页（共35页）dm= bc，me= bc，dm=me又n 为 de 中点，mn de；（2