0901矩阵位移法概述

1、9.1 概述概述 第九章 矩阵位移法 1. 概述概述 结构矩阵分析结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等进行分析，并用计算机解决各种

2、杆系结构受力、变形等 计算的方法。计算的方法。 手算怕繁、电算怕乱。手算怕繁、电算怕乱。 但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端 的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传 统位移法的基本未知量多一些。统位移法的基本未知量多一些。 理论基础：位移法理论基础：位移法 分析工具：矩阵分析工具：矩阵 计算手段：计算机计算手段：计算机 1. 概述概述 2. 矩阵位移法的基本思路矩阵位移法的基本思路 集合集合 离散离散 结构结构 （有限）单元分析（有限）单元分析 整体分析整体分析 形成单元刚度矩阵；形

3、成单元刚度矩阵； 建立单元刚度方程。建立单元刚度方程。 形成结构刚度矩阵；形成结构刚度矩阵； 建立结构刚度方程。建立结构刚度方程。 单元杆端力、支座反力单元杆端力、支座反力 结点位移分量结点位移分量 矩阵形式的单元矩阵形式的单元 转角位移方程转角位移方程 （满足（满足物理关系）物理关系） 矩阵形式的位移法矩阵形式的位移法 基本方程基本方程 （满足平衡条件、满足平衡条件、 变形协调条件）变形协调条件） 3. 要解决的问题要解决的问题 整体分析整体分析：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的 组成规律和求解方法。组成规律和求解方法。 编制程序编制程序：根据矩阵位移法

4、的分析原理，绘制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序 运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为 程序设计。程序设计。 离散化离散化：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码 和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码）和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码） 单元分析单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力：研究单元的力学特性，建立单元杆端力 和杆端位移的关系。和杆端位移的关系。 9.2 单元分析单元分析 第九章 矩阵位移法 1. 结构的离散化结构的离散化 将一个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自将一

5、个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自 独立的单元，单元之间由结点连接，用此计算模型模拟独立的单元，单元之间由结点连接，用此计算模型模拟 原结构的受力和变形特性。原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元 的适当选取予以降低。的适当选取予以降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。主要工作：单元的划分；体系的数字化。 单元应为单元应为等截面直杆等截面直杆，一根杆件可以划分为一个或，一根杆件可以划分为一个或 几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。 FP （1）结点编码、单元编

6、码）结点编码、单元编码 A B CD E F G H J K x y O 结构中一般的构造结点如杆结构中一般的构造结点如杆 件的转折点、汇交点、支承点、件的转折点、汇交点、支承点、 变截面处应作为结点，而非构造变截面处应作为结点，而非构造 结点，如集中荷载作用点可以作结点，如集中荷载作用点可以作 为结点处理。为结点处理。 整体坐标系整体坐标系（结构坐标系）：为研究结构整体平衡条件和变形协（结构坐标系）：为研究结构整体平衡条件和变形协 调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系， 以水平方向为以水平方向为 x 轴。轴。 结点

7、编码的目的结点编码的目的： 一是确定结构的空间位置和结构形状；二是确定所计算结构一是确定结构的空间位置和结构形状；二是确定所计算结构 总的未知数数目。总的未知数数目。 结点编码结点编码 对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点， 一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点 编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。 原则：相关结点原则：相关结点（结点之间有（结点之间有 杆件相连）的编码要尽可能的杆件相连）的

8、编码要尽可能的 接近。以减少总刚度矩阵的带接近。以减少总刚度矩阵的带 宽，节约计算机存储空间。宽，节约计算机存储空间。 汇交于结点的所有单元，称为汇交于结点的所有单元，称为 结点的结点的相关单元相关单元。 x y O 6 单元编码的目的单元编码的目的：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的相应：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的相应 位置。位置。 单元编码单元编码 单元编码方式对单元编码方式对 计算结果没有影响。计算结果没有影响。 对于大型结构一般按对于大型结构一般按 照单元的类型进行编照单元的类型进行编 码，同一类型的单元码，同一类型的单元 连在一起编码。连在一起编码。 1 2 3 10 1

9、1 12 4 5 6 7 8 9 1 5 9 4 8 12 2 6 10 3 7 11 结点结点 编码编码 练习：练习： 1 2 3 1011 12 4 5 6 7 8 9 13 （2）结点位移编码）结点位移编码 结点位移的统一编码结点位移的统一编码 整体码整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。码。 矩阵位移法基本未知量的确定：矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的

10、，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。有关。 按照结点编码顺序进行；按照结点编码顺序进行； 同一结点按照同一结点按照 x y 顺序进行；顺序进行； 平面梁每个结点只有两个独立的位移分量；平面梁每个结点只有两个独立的位移分量； 平面桁架每个结点只有平面桁架每个结点只有2个独立的位移分量；个独立的位移分量； 平面刚架每个结点只有平面刚架每个结点只有3个独立的位移分量；个独立的位移分量； 相同的结点位移应编成同一个号码。相同的结点位移应编成同一个号码。 （2）结点位移编码）结点位移编码 编码时要考虑以下因素：编码时要考虑以下因素：

11、 位移边界条件的处理位移边界条件的处理 同一结构采用同一结构采用后处理法后处理法或或先处理法先处理法计算，基本未计算，基本未 知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法 也不相同。也不相同。 后处理法后处理法对所有的结点位移分量按照结点编码进行对所有的结点位移分量按照结点编码进行 自然数顺序编码，包括已知位移和未知位移分量。自然数顺序编码，包括已知位移和未知位移分量。 先处理法先处理法仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序 编码，而对那些已知的结点位移分量，编码均取为编码，而对那些已知的结点位移分量，编码均取为

12、0。 （2）结点位移编码）结点位移编码 1 2 34 4 123 5 1 2 34 4 123 5 结构变形情况结构变形情况 同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只 考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编 码完全相同，但是结点位移分量的编码却不相同。不计码完全相同，但是结点位移分量的编码却不相同。不计 直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数目要少一些。直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数目要少一些。 4 123 5 4 123 5 练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点位移分量练习：先处理

13、法、考虑轴向变形，完成结点位移分量 编码。编码。 1 2 3 1011 12 4 5 6 7 8 9 13 参考答案：参考答案： 1(1,0,0) 2(2,3,4) 3(5,6,7) 10(17,18,19) 11(17,18,20) 12(17,18,21) 4(0,0,8) 5(9,10,11)6(9,10,12) 7(13,14,15) 8(13,14,16) 9(0,0,0) 13(22,23,24) 杆端位移分量的编码杆端位移分量的编码 局部码局部码 i j ；x y 轴力单元：轴力单元：14；一般单元：；一般单元：16。 3(5,6,7)8(13,14,16) i j e 1(1,

14、2,3)2(4,5,6) i j （2）结点位移编码）结点位移编码 2. 单元分析单元分析 建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称 单元分析，形成的方程称单元刚度方程。单元分析，形成的方程称单元刚度方程。 不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形 式，但总的思想不变。式，但总的思想不变。 按照单元的受力情况，可将单元分为按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元刚架单元和和 桁架单元桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴 力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，

15、故只存力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存 在轴力。在轴力。 x y e x y j i 局部坐标系局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用表示。表示。的方向以的方向以 x 轴向轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局部轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局部 坐标系也不完全相同。坐标系也不完全相同。 2. 单元分析单元分析 （1）单元杆端力和杆端位移的表示方法）单元杆端力和杆端位移的表示方法 ij e

16、5 3 6 1 2 4 x y O ， e j j j i i i e e j i e v u v u 6 5 4 3 2 1 符号规定：杆端力、杆端位移与局部坐标系正方向一致时为正。符号规定：杆端力、杆端位移与局部坐标系正方向一致时为正。 （1）单元杆端力和杆端位移的表示方法）单元杆端力和杆端位移的表示方法 ij e x y O 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e j Qj Nj i Qi Ni e e j i e M F F M F F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 F F F ， e j j j i i i e e j i e v u v u 6 5 4

17、 3 2 1 e j Qj Nj i Qi Ni e e j i e M F F M F F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 F F F 建立单元的建立单元的杆端力和杆端杆端力和杆端 位移之间关系位移之间关系的过程称单元分的过程称单元分 析，形成的方程称析，形成的方程称单元刚度方单元刚度方 程程。 e e F 1 1 e l EA k 11 l EA k 41 1 4 e l EA k 14 l EA k 44 ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F 0 3121 kk 0 6151 kk 0 3424 kk06454 kk e

18、 1 2 0 12k042k 3 22 12 l EI k 2 32 6 l EI k 3 52 12 l EI k 2 62 6 l EI k e 1 5 0 15k045k 3 25 12 l EI k 2 35 6 l EI k 3 55 12 l EI k 2 65 6 l EI k ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e 1 3 0 13k043k 2 23 6 l EI k l EI k 4 33 2 53 6 l EI k l EI k 2 63 e 1 6 0 16k046k 2 26 6 l EI k l EI k 2 3

19、6 2 56 6 l EI k l EI k 4 66 ij e 5 3 6 1 2 4 x y 6 F 5 F 4 F 1 F 2 F 3 F e j j j i i i e e j Qj Nj i Qi Ni v u v u l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA M F F M F F 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 e l

20、 EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA e F F F F F F 6 5 4 3 2 1 4626 612612 2646 612612 6 5 4 3 2 1 22 2323 22 2323 00 00 0000 00 00 0000 eee kF 局部坐标系下的单元刚度方程局部坐标系下的单元刚度方程 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵 e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l

21、 EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 （3）单元刚度矩阵的性质与特点）单元刚度矩阵的性质与特点 e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26

22、 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第第 j 列元素的物理意列元素的物理意 义义：第：第 j 号杆端位移沿号杆端位移沿 其正向发生单位位移，其正向发生单位位移， 而其它杆端位移均为而其它杆端位移均为 0 时，该单元全部杆端力时，该单元全部杆端力 的大小。的大小。 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 1 1 u1 1 v1 1 1 2 u1 2 v1 2 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 元素元素 kij 的的物理意义物理意义： 单位杆端位移引起的杆单位杆端位移引起的杆 端力。端力。 e e l EI l EI l EI l EI l

23、 EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 局部坐标系下的单元刚度局部坐标系下的单元刚度 矩阵只与矩阵只与单元本身的属性单元本身的属性， 如单元长度、材料弹性模量、如单元长度、材料弹性模量、 横截面面积、横截面惯性矩横截面面积、横截面惯性矩 等有关等有关 。 单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是对称方对称方 阵阵，这一点可由反力互等定，这一点可由反

24、力互等定 理得到证明。理得到证明。 （3）单元刚度矩阵的性质与特点）单元刚度矩阵的性质与特点 e jjji ijii e kk kk k e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 一般单元的单元刚度矩阵一般单元的单元刚度矩阵 是是奇异矩阵奇异矩阵，不存在逆矩阵。，不存在逆矩阵。 因此，已知

25、杆端位移可以确定因此，已知杆端位移可以确定 杆端力，而已知杆端力则不能杆端力，而已知杆端力则不能 确定杆端位移；梁单元的单元确定杆端位移；梁单元的单元 刚度矩阵是非奇异的。刚度矩阵是非奇异的。 单元刚度矩阵可以用子块单元刚度矩阵可以用子块 形式表示：形式表示： （3）单元刚度矩阵的性质与特点）单元刚度矩阵的性质与特点 （4）特殊单元）特殊单元 不计轴向变形的刚架单元：不计轴向变形的刚架单元： e e l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k 4626 612612 2646

26、 612612 22 2323 22 2323 梁式单元：梁式单元： e e l EI l EI l EI l EI k 42 24 桁架单元：桁架单元： e e l EA l EA l EA l EA k e e l EA l EA l EA l EA k 0000 00 0000 00 （4）特殊单元）特殊单元 3. 坐标转换坐标转换 （1）问题的提出）问题的提出 x y O x y O ？ （2）坐标转换（刚架单元）坐标转换（刚架单元） x 1 2 3 4 6 5 4 6 5 1 2 3 e 1 2 x sincos 211 cossin 212 33 1 3 2 1 3 2 1 1 1

27、00 0 0 cossin sincos x 1 F 2 F 3 F 4 F 6 F 5 F 4F 6F 5F 1F 2F 3F e 1 2 x sincos 211 FFF cossin 212 FFF 33 FF 1 F 3 2 1 3 2 1 1 100 0 0 F F F F F F F cossin sincos （2）坐标转换（刚架单元）坐标转换（刚架单元） e e T 2 1 2 1 0 0 ii FF ii 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos e T e e FT F F F F F 2 1 2 1

28、 0 0 单元单元 的坐标转换矩阵的坐标转换矩阵e T1 TT - ITT T 坐标转焕矩阵是一个正交矩阵坐标转焕矩阵是一个正交矩阵 （2）坐标转换（桁架单元）坐标转换（桁架单元） e T x 1 2 3 4 4 1 2 3 e 1 2 x sincos 211 sincos 432 4 3 2 1 2 1 sincos00 00sincos e sincos00 00sincos T TkTk e eT e e l EA l EA l EA l EA k （2）坐标转换（桁架单元）坐标转换（桁架单元） x 1 2 3 4 4 1 2 3 e 1 2 x cossin sincos cossin sincos -00 00 00- 00 T TkTk e eT e e l EA l EA l EA l EA k 0000 00 0000 00 （3）整体坐标系下的单元刚度矩阵）整体