导数公式及导数的运算法则切线方程PPT课件

1、1 3.2.2基本初等函数基本初等函数 的导数公式及导数的导数公式及导数 的运算法则的运算法则 高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式: : 1( ),( )f xcfx、若则 2( ),( ) n f xxfx、若则 3( )sin,( )f xxfx、若则 4( )cos,( )f xxfx、若则 0 1n n x cosx sin x 5( ),( ) x f xafx、若则 6( ),( ) x f xefx、若则 7( )log,( ) x a f xfx、若则 8( )ln,( )f xxfx、若则

2、 ln x aa x e 1 lnxa 1 x 常函数常函数 幂函数幂函数 三角函数三角函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 3 可以直接使用的基本初等函数的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式 1 1:( )0; 2:(); 3:(sin )cos ; 4:(cos )sin ; 5:()ln (0); 6:(); 1 7:(log)(0,1); ln 1 8:(ln ); nn xx xx a C xnx xx xx aaa a ee xaa xa x x 公式 公式 公式 公式 公式 公式 公式且 公式 4 导数的运算法则导数的运算法则: 法则法则1:两个函数的两个函数的和和

3、(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差), 即即: ( )( )( )( )f xg xf xg x 法则法则2:两个函数的两个函数的积的导数积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即: ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 法则法则3:两个函数的两个函数的商的导数商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函等于第一个函数的导数乘第二个函 数数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再

4、除以第二个函数的平再除以第二个函数的平 方方.即即: 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 由由法则法则2: ( ) ( )( )( )C f xC f xC fxC fx 5 例例1:求下列函数的导数求下列函数的导数: 2 2 22 12 (1); (2); 1 (3)tan; (4)(23) 1; y xx x y x yx yxx 答案答案:; 41 ) 1 ( 32 xx y ; )1 ( 1 )2( 22 2 x x y ; cos 1 )3( 2 x y ; 1 6 )4( 2 3 x xx

5、y 6 11 2.). 2 y x 求函数的图象上点(2,处的切线方程 2 3.690, . yxxy曲线的一条切线方程为 求切点的坐标 4.3(1,3).y 求曲线上过点的切线方程 7 看几个例子: 2 log 2. y x 例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程 8 cos 5 . 6 yx x 例4.已知，求曲线在点 处的切线方程 ) 6 5 ( 2 1 2 3 xy 9 00 ,),xy解：设切点( 0 1 , 2 kyx又切线 000 1 (), 2 yyx xx切线方程： 7 4 切线过(4, ), 2 00 1 4 yx 000 71 (4) 42 yxx， 2 000 17 2

6、 24 yxx 00 17xx解得:或 149 ), 44 切点为(1， )或(7, 11491 (1)(4) 4242 yxyx切线方程：或 24104490 xyxy 即：或14 10 题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用 11 12 13 14 例例7.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程. 解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即

7、即y=2x1x-x12. ,2, 1 xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4. ),2( 2, 2 xyS 因为两切线重合因为两切线重合,. 0 2 2 0 4 ) 2( 22 2 1 2 1 2 2 2 1 21 x x x x xx xx 或或 若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4. 所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4. 15 00 0 1205% ( )(1 5%) .0 110 .0 t p

8、p tppt p 例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价 （单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系: 其中 为时的物价。假定某种商品 的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0 1） 0 ( )1.05ln1.05 t p tp解：由导数公式： 10 (10)1.05 ln1.05p 0.08(元/年） 10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。 0 510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头， 这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 0 ( )1.05ln1.05, t p tp (10)5 0.080.4p 16 3: 5284 (8

9、0100). 100 x x 例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： c(x)= 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%. 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。 2 52845284 (100)5284 (100) ( ) 100(100) xx c x xx =( 2 5284 (100) x 2 0 (100)5284 ( 1) (100) x x 17 2 5284 ( ) (100) c x x .8 纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率 是52 4元/吨。 2 5284 (1)(90)52.84 (10090) c 纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率 是1321元/吨。 2 5284 (2)(98)1321 (10098) c 18 例例4.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零? 4 4 1 t 解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得