2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题08数列理(含解析)

1、专题 08数列1【 2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和已知 S40， a55 ，则A an2n5B an3n 10C Sn2n28nD Sn1 n22n2【答案】 AS4d4 3 0a134a12n5 ， Sn24n , 故选 A【解析】由题知，2，解得， ad2nna5a1 4d5【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断2【 2019 年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列an 的前 4 项和

2、为 15，且 a53a34a1 ，则 a3A16B 8C4D 2【答案】 C【解析】设正数的等比数列 an 的公比为 qa1a1q a1q2a1 q315，则43a1 q2，a1q4a1a11,4 ，故选 C解得， a3 a1 q2q2【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3【 2019 年高考浙江卷】设2N ，则a， bR，数列 an 满足 a1=a， an +1=an +b， nA当 b1 ,a10B当b1 ,a10210410C当 b2, a1010D当 b4, a1010【答案】 A【解析】当b=0 时，取 a=0，则 an0, nN .1当 b0 时

3、，令 xx2b ，即 x2xb0 .则该方程14b0，即必存在x0 ，使得 x02x0 b0 ，则一定存在a1 =a=x0 ，使得 an1an2ban 对任意 nN 成立，a114b解方程 a2ab20 ，得，114b10a114b22，使得 a1a2a1010 ，当时，即 b90 时，总存在故 C、 D 两项均不正确 .当 b 0 时， a2a12b b ，则 a3a22bb2b ，a32b b22a4bb.22b1a4111171,a5112222162 ，（）当时，12111a612224则，a7221922 ，2183a8910224，a9a82110则2，a10a921102 ，故

4、A 项正确 .111211b=a=0 ，则a2, a342 ，（）当4 时，令 a144a32 12a4111所以4242 ，以此类推，2a212a1111094242 ，所以故 B 项不正确 .故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展. 利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 a 的可能取值，利用“排除法”求解 .4【 2019 年高考全国 I 卷理数】记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和若a1125=_， a4 a6 ，则S【答案】 121331 , a4a6 ，所以 ( 1 q3 )21 q5 , 又 q【解析】设等比数列的公比为q ，由已知 a

5、120 ，333所以 q3, 所以a1 (151(135 )121 S5q )31q133【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误5【 2019 年高考全国 III卷理数】记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a10， a23a1 ，则S10_.S5【答案】 4【解析】设等差数列nd, a 的公差为因 a23a1 ，所以 a1d3a1 ，即 2a1d ，S1010a1109 d100a124 所以5425a1S55a12d【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案6【 2

6、019 年高考北京卷理数】设等差数列 a 的前 n 项和为 S，若 a =- 3， S=- 10，则 a =_，S 的nn255n最小值为 _ 【答案】 0 ，10.【 解 析 】 等 差 数 列 a中 ,S55a310 , 得 a32, 又 a23 , 所 以 公 差 d a3a2 1 ,na5 a3 2d0 ,3由等差数列an 的性质得 n5 时 ,an0, n6 时 , an 大于 0, 所以 Sn 的最小值为 S4或 S5 , 即为10 .【名师点睛】 本题考查等差数列的通项公式?求和公式 ?等差数列的性质 , 难度不大 , 注重重要知识 ?基础知识?基本运算能力的考查 .7【 201

7、9 年高考江苏卷】已知数列 an ( nN * ) 是等差数列，Sn 是其前 n 项和 . 若 a2a5a8 0, S927 ，则 S8 的值是 _.【答案】 16a2a5a8a1d a14da17d 0【解析】由题意可得：9 8 d，S99a1272a1587 d4028 216.解得：，则 S8 8a1d22【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a1, d 的方程组 .8【 2019 年高考全国 II卷理数】已知数列 an 和 bn 满足 a1=1， b1=0，

8、4an 1 3an bn4 ，4bn 1 3bn an 4 .（ I ）证明： an+bn 是等比数列， an bn 是等差数列；（ II ）求 an 和 bn 的通项公式 .【答案】（ I ）见解析；（2） an11112nn， bn2nn.22【解析】（ 1）由题设得 4(anbn1)2( anbn ) ，即 an 1bn 111(an bn ) 2又因为 a1+b1=l ，所以anbn是首项为 1，公比为1 的等比数列2由题设得 4( an 1 bn 1 ) 4(anbn )8，即 an 1bn 1anbn2 又因为 a1 b1=l ，所以anbn是首项为 1，公差为 2的等差数列（2）

9、由（ 1）知， anbn1， anbn2n12n14所以 an1( anbn ) (an bn )1122nn，2bn11n1( anbn ) ( an bn )22n29【 2019 年高考北京卷理数】已知数列 an ，从中选取第i 1 项、第 i 2 项、第 i m项（ i 1i2i m），若ai1ai2aim，则称新数列 ai1， ai2 ， ， ai m 为 an 的长度为 m的递增子列规定：数列 an 的任意一项都是 an 的长度为1 的递增子列（）写出数列1，8， 3， 7， 5， 6， 9 的一个长度为4 的递增子列；（）已知数列 an的长度为p 的递增子列的末项的最小值为am0

10、，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为an0p qm0an0若 ，求证： a ；（）设无穷数列 an 的各项均为正整数， 且任意两项均不相等若 an 的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s1，且长度为 s 末项为 2s 1 的递增子列恰有 2s-1n个（ s=1，2，），求数列 a 的通项公式【答案】 ( ) 1,3,5,6（答案不唯一） ；( ) 见解析； ( ) 见解析 .【解析】（）1， 3， 5， 6. （答案不唯一）（）设长度为 q末项为 an的一个递增子列为ar , ar,L , ar, an .012q 10由p0.kkk+1，所以qk 1k qk因为 c b c，其中

11、k=1， 2， 3， m.当 k=1时，有 q1；ln kln qln k当 k=2，3， m时，有k 1k设 f （ x）= ln x ( x1) ，则 f (x)1 ln xxx2令 f ( x)0 ，得 x=e. 列表如下：x(1,e)e(e ，+)f ( x)+0f （ x）极大值8因为 ln 2ln8ln 9ln 3，所以 f (k)max f (3)ln 326633取 q3 3 ，当 k=1， 2， 3，4， 5时， ln k , ln q ，即 kq k ，k经检验知 qk 1k 也成立因此所求 m的最大值不小于5若 m6，分别取 k=3， 6，得 3 q3，且 q56，从而

12、q15243，且 q15 216，所以 q不存在 . 因此所求 m的最大值小于 6.综上，所求 m的最大值为 5【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力12【 2019 年高考浙江卷】设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a34 ， a4S3 ，数列 bn 满足：对每个n N , Sn bn , Sn 1 bn , Sn 2bn 成等比数列（ I ）求数列 an , bn 的通项公式；（ II ）记 can , nN , 证明：c1c2+Lcn2 n, nN.n2bn【答案】（ I ） an

13、2n1 ， bn n n1；（II ）证明见解析 .【解析】（ I ）设数列 an 的公差为 d，由题意得a1 2d4, a13d3a1 3d ，解得 a10, d2 从而 an2n2, nN * 所以 Snn2n， nN * ，由 Snbn , Sn 1bn , Sn 2bn 成等比数列得Sn 12SnbnSn 2 bn bn解得 bn1 Sn2 1 Sn Sn 2 d9所以 bn n2n, nN * （ II ） cnan2n 2n 1 , n N*2bn2n( n 1)n(n 1)我们用数学归纳法证明（ i ）当 n=1时， c1 =02，不等式成立；（ ii）假设 nkkN * 时不等

14、式成立，即c1 c2L ck2 k 那么，当 nk 1时，c1c2 L ckck 1k212 kk1( k 1)(k2)k2 k22 k 2( k 1k ) 2k 1 1kk即当 nk1 时不等式也成立根据（ i ）和（ ii ），不等式c1c2Lcn2 n 对任意 nN * 成立【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.13 【四川省峨眉山市2019 届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列 an 中， a3， a9是方程x224 x120 的两根，则数列 an 的前 11 项和等于A 66B 132C66D32【答案】

15、D【解析】因为 a3 ， a9 是方程 x224x120 的两根，所以 a3a924，又 a3a9242a6 ，所以 a612，S1111(a1a11) 11 2a6132 ，故选 D.22【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.14【四川省百校 2019 年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 , +)( )?2时，0上的函数 ? ? 满足：当 0?( ?) =2? -2()()()?；当 ? 2时， ? ? =3? ? -2 . 记函数 ? 的极大值点从小到大依次记为10?1 2?并记相应的极大值为12?,?,则1?1+ ?2?220?20的值为, ? ,

16、 ?, ? ,?,?, ? ,? , ?+ ? + ?A 19 320 + 1B19 319 + 1C 20 319 + 1D20 320 + 1【答案】 A【解析】由题意当 0 ? 2时， f (x)2xx2( x1)21,极大值点为1，极大值为 1，当 ? 2时， f ( x)3 f x2 . 则极大值点形成首项为1 公差为 2的等差数列，极大值形成首项为1公比为 3 的等比数列，故 ? = 2? - 1. , ? = 3?- 1, 故 ? = ( 2? - 1) 3?- 1，设 S=?1?1 + ?2?2 + ? + ?20?20 = 1 ?1 + 3 ?31 + 5 ?32 + ? +

17、 39 ?319， 3S=1 ?31 + 3 ?32 + ? + 39 ?320，两式相减得 -2S=1+2( 31+ 3+ ? + 319)- 320= 1 + 2 3( 1- 319- 39 ?320= - 2 - 38 ?3202)1- 3 S=320+ 1，19故选： A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合, 错位相减求和, 确定 ?及?的通项公式是关键, 考查计算能力 , 是中档题 .15【福建省 2019 届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列?1= 2，且中， ?anan 1n2)，则数列 (1) 2前 20192( n-项和为anan 1?14036201940374039AB

18、CD2019101020192020【答案】 B?【解析】： ? + ?- 1 = ?- ?- 1 + 2（ ? 2）， an2an 122 anan1n ，整理得： ( ? - 1) 2 -(?- 1 - 1) 2 = ?， ( ? - 1) 2 -(?1 - 1)2 = ? + (? -1) + ? ? + 2，又 ?1 = 2， ( ? - 1) 2 = ?(?+ 1) ， 21=2= 2 (1-1可得：(?- 1)2?(?+ 1)?)?+ 112 前 2019项和为： 2 ( 1 -1+1-1+ ? +1-1) = 2 ( 1 -1) =2019则数列( ?- 1)2232019202

19、02020101011故选： B【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题16【内蒙古2019 届高三高考一模试卷数学试题】九章算术 第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思, 通常称递减的比例( 百分比 ) 为“衰分比” 如：甲、乙、丙、丁“哀” 得 100 ,60 , 36 , 21.6 个单位 , 递减的比例为 40% , 今共有粮 m(m 0) 石 , 按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得 80石 , 乙、丁衰分所得的和为 164 石 , 则“衰分比”与 m 的值分别为AC20%3

20、69B 80%36940%360D 60%365【答案】 A【解析】设“衰分比”为a , 甲衰分得 b 石 ,b(1a) 280由题意得b(1a)b(1a) 3164 ,b80164m解得 b125,a20% ,m369故选 A【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用 , 是基础题 , 解题时要认真审题 , 注意等比数列的性质的合理运用17【山东省德州市2019 届高三第二次练习数学试题】设数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 a11，a22 ，且 an 22SnSn 13，记 bnlog 2 a2 n 1log 2a2n ，则数列n2 的前 10 项和为 _1 bn【答案】 20

21、0【解析】 a11， a22，且 an 22SnSn 13 ， a32 33 2 ， an 22SnSn 13， n 2 时， an 12Sn 1Sn3 ，两式相减可得，an2 an 1 2 SnSn 1Sn 1Sn，（ n2 ）即 n2 时， an 2an 12anan 1 即 an 22an ，12 a32a1 ，数列 an 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2， a2n22n 12n ， a2 n 112n 12n 1 ， bnlog 2a2 n1log 2 a2 nn1n2n1 ，n2n2n2则数列1bn12n1，则1bn的前 10 项和为S 32127252L192 1722412202836200 .故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.18【广东省深圳市高级中学2019 届高三适应性考试（6 月 ) 数学试题】在数列an 中，a11an1,( nN *) ，则 a2019 的值为 _, an 12019n( n 1)【答案】 1【解析】因为 an1,( nN )1ann(n1)所以 an1 an111n(n1) n，n 1a2a111,2a3a2112,.,