数据包络分析(DEA)方法

1、数据包络分析（DEA）方法数据包络分析（data envelopment analysis, DEA）是由著名运筹学家 Charnes, Cooper 和 Rhodes 于 1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策 单元（Decision making unit，DMU）之间的相对效率，依此对评价对象做出评价口。DEA方法一出现，就以其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中2,3。在介绍DEA方法的原理之前，先介绍几个基本概念：1. 决策单元一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位（或一个部门）在一定可能范围

2、内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的效益”。由于从 投入”到产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于产出”是决策的结果，所以这样的单位（或部门）被称为决策单元（DMU）。因此，可以认为，每个DMU（第i 个DMU常记作DMUi）都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。在许多情况下，我们对多个同类型的 DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下三个特征的DMU集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的

3、投入和产出指标 。2. 生产可能集设某个DMU在一项经济（生产）活动中有m项投入，写成向量形式为，山,xm）T ；产出有s项，写 成向量形式为y =（% ,IH, ys）T。于是我们可以用（x,y）来表示这个DMU的整个生产活动。定义1.称集合T二（x,y）|产出y能用投入x生产出来为所有可能的生产活动构成的生产可能集。在使用DEA方法时，一般假设生产可能集 T满足下面四条公理：公理1（平凡公理）:区*）T, j =1, 2 JH, n。公理2（凸性公理）:集合T为凸集。如果区y） T, j =1, 2,川，n,且存在 _0满足: Jj=1 则（；Xj, ； 土“） T。公理3（无效性公理）:

4、若x, y 三T ,?_x, ?乞y,则（X, y） T。,公理4 （锥性公理）:集合T为锥。如果x, yT那么（kx,ky）wT对任意的k .0。 若生产可能集T是所有满足公理1 , 2,3和4的最小者，则T有如下的唯一表示形式 n n 1T 二 x,y , Xj j _x, v yj j _y, j _0 , j = 1,2 ,川，n 。j仝j仝3. 技术有效与规模收益（1）技术有效：对于任意的（x, y）T,若不存在y .y ,且（x, y）.二T,则称（x, y）T为技术有效的生 产活动。（2）规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值k二/丄称为规模效益。若k 1，说明规模收益y x递

5、增，这时可以考虑增大投入；若k ：1，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若k=1，说明规 模收益不变，且称为规模有效。（一）DEA方法原理与 CCR模型DEA方法的基本原理是：设有n个决策单元DMUj（j =1,2,川，n），它们的投入，产出向量分别为：Xj =（xj,x2j,Hi,Xmj）T 0,，Yj=（y1j,y2j,l）l,ysj）T A0, j=1川,n。由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不相同，因此，要对DMU个投入总体和一个产出总体的生产过程进行评价，必须对它的投入和产出进行综合”，即把它们看作只有，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出= （U1

6、,U2,IH,Us）t，从而就可以获得如下的定义。的权向量分别为v =（W ,V2,|H, Vm）T和usUTY- J uryrj定义2.称q =丄=vTXjvj L ViXiji =i根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得弓岂1。如果想了解某个决策单元，假设为,（j =1,2，川n）为第j个决策单元DMU j的效率评价指数。DMU。（o 1,2, |l|, n）在这n个决策单元中相对是不是最优的，可以考察当u和v尽可能地变化时，乙的最大值究竟为多少？为了测得乙的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR（三位作者名字首字母缩 写）模型:7 UrYroMaximize =二7

7、VXi。i 4sUrYrjr 1subject to _i,j 二1,2,川，n,(1)7 VjXji Ur _0,w _0, -r,i.利用 Charnes和 Cooper (1962)提出的分式规划的 Charnes-Cooper 变换：t=1/送 :VXo ,斗二tur,(r =1JH,s) r i =tvi,(i =1H,m)变换后我们可以得到如下的线性规划模型sMaximize Jyro =乙，r仝msubject to 7 jXio =1,i -Xsm二- yd7. :Xij :SO, j =1,l|,n,r 土i 土J, r -0, r =1,川,s; i =1,|,m.根据线性

8、规划的相关基本理论，可知模型的对偶问题表达形式M ini m i z 或nsubj ect t6门圳吒二 o ,oX = 1i, 211, ,mj士nX Yrj j - y r,o r = 1, 2| s ,j 土j _0, j = 1, 211 n,.上述的模型是基于所有决策单元中最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型(3)的经济含义是：为了评价DMUo(o，1,2,|l|,n)的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入

9、和产出。从而，模型(3)意味着，如果所求出的效率最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非 DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为 DEA有 效。有关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA有效与DEA有效两类。即通过考察如下模型中的sP =1川m)与Sr (r=1,Hl,s)的值来判别。msMinimize- C s_ Sr )i 4r 4nsubject to % j s- cXo, i T,川，mj 1n yrj，j -Sr = yro , r =1,川，sj 4j,si_,s

10、 _0, -i,j,r.其中；为非阿基米德无穷小量。根据上述模型给出被评价决策单元DMUo (o 1,2,|l|,n)有效性的定义:定义3.若模型(4)的最优解满足-1，则称DMU0为弱DEA有效。定义4.若模型(4)的最优解满足=1，且有s=0,寻=0成立，贝U称DMUo为DEA有效。定义5.若模型(4)的最优解满足*701，则称DMUo为非DEA有效。对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR模型容许DMU在减小投入的同时也增加产出。对于CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率

11、前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA有效。* * * *?o 二 HXio - Si Xio -(1 - =o)Xio - Si Xio ,i =1,l|,mgo yro Sr yro, r =1,l 11, S上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设投入的变化量为Lxio ,产出的变化量为Lyro :* *hi。=Xi Xo =xg (厲为。一$一)，i =1,，mI yro y?ro - yro (yro Sr ) _ yro , r 二1,S.(二) BCC模型CCR模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产

12、出量应以等比增加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker, Charnes与Cooper以生产可能集的四个公理以及Shepard距离函数为基础在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC的模型5。线性形式的BCC模型可表示为：sMaximize 、 y -u。，r msubject t。 f x。=1,i 仝(5)smv 4yrj、iXj u。辽0, j =1,111, n, r Xi 1.T,r _0, r =1,l(|,s; i =l,|,m.含松弛变量形式的BCC对偶模型msMaximizeSi 工

13、Sr)i Ar 4nsubject to 送州尙 +s_=30, i =1,lH,mj 二n7 yrj j -SrTr。，r =1,川,S(6)j生n.工 /.j =1j生j,sSr -0, _i, j,r其中；为非阿基米德无穷小量。根据BCC模型中的u。的取值大小，Banker和Thrall(1992)提出如下判别方法来判断模型的规模收益。定理16.假设含有投入产出组合(x。)的DMUo是有效的，那么下面的条件可以判别模型之下DMU0的规模收益:(i) 对于投入产出组合(Xo, y。)规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有u。=0 ；(ii) 对于投入产出组合(xo, yo)规模收益递增当

14、且仅当在所有最优解情况下都有u。： 0 ；(iii) 对于投入产出组合(x。，)规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有u0 0。其中u0代表模型(5)中的最优解。该定理的证明参见文献6。CCR模型或者BCC模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为了进一步区分这些有效决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型。下面依次做个简单 介绍。(三) 超效率模型CCR模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单元(效率值为1)的情形，从而使得有效决策单元之间无法进行比较分析。Andersen和Petersen (1993)为了实现决策单元的完全排序，将被评价的

15、决策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为基础，形成新的效率边界，计算剔除的决策单元到新的效率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变，仍小于1，从而使得全体决策单元可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率(Super-efficiency) 的 概念。基于CCR模型的超效率 DEA模型为：Mi ni mize vnsubject to 迟 x 初兰日x。，i =1,2,|(|,m,j j ：onyrj 门-yr。，r = 1,2, 1( | , S, j 1

16、 j Rj _o, j 尸。.Banker和Chang(2006) 8证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在 离群值。(四) 交叉效率模型为了解决DEA有效决策单元的排序和比较问题，Sexton等人(1986) 9提出了交叉效率评价的概念 。所谓交叉效率评价就是每个DMU分别确定一组输入输出权重，供所有的DMUs评价使用，其中：用DMU自身确定的权重评价自己的效率 ，称为自我评价效率；用其它DMU确定的权重评价自己的效率 ， 称为交叉效率或同行评价效率 。以表5 1为例，交叉效率评价的实质是对每个DMU同时进行自评和同行评价，这样不仅考虑 DMU自评的最好相对效

17、率，而且还考虑了 DMU同行评价给出的交叉效率，利用 自我评价和交叉效率的平均值作为衡量DMU绩效的综合指标，该指标不仅较好地解决了 DMUs间排序和比较问题，而且解决了 CCR模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比较问题。Sexton等人(1986)通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性。随后Doyle和Green(1994,1995) 10,11从同行评价的角度解释了交叉效率的含义，并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数-攻击型计算方式和仁慈型计算方式，下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表5 1交叉效率示意表决策单元交叉效率算术平均值12 n112

18、3n1nj ”1jn j 一2223n1 L nj 4呛 n j n丸1斗2Hnn Jnjn j -攻击型交叉效率模型sMinimize urkr 土mSubject to Vki 士n瓦 yrj t 士* 丿n、E Xj =1, 士式丿sm瓦 Urkk 瓦 VXik =0r也i 土(8)sm Urkyrj- J MkXij E0,j =1川,n; j -k, r空i 士Urk -0, r =1,川，s,vik _0, i =1川，m.仁慈型交叉效率模型MaximizeSubject tosi nUrk . yrjr 士 ,壬j鼻 Jf、mnL VkLXij=1,i y# 丿s Urk ykr

19、 1m-氐VXik =0,i =1sm二 Urkyrj二 VikXij =0,j =1川，n;j=k,r 1i出Urk -0, r =1川,s,Vik -0, i =1川，m.然而，至今仍无一个准则来判别什么情况下使用攻击型或者是仁慈型。为了避免目标函数选择上的两难， Wang和Chin (2010a) 12提出了一种中性交叉效率模型。其模型形式如下所示Maximize、=Mi ni mize r 芒，ll|，sUro yroi _1Vjo Xiosubject to*000sr 丄U ro y rom天 i 1 Vo Xozsrd迁Uro _0,Vio -0,Uroyrj,1, j =1,川

20、，n; j =0,-Vo Xjr =1JH,s,=1,|,m.(10)利用 Charnes-Cooper的变换公式，可得中性交叉效率模型的线性模型Maximize 、.msubject to 送 Vo XT,i 土s7 Ur。ro -二。，r 土smZ Uroyd-Z VoXj 兰0, j =1,11),n;j Ho,(11)r 土i 1Uro Xo 0, r =1| I, S,Vo -0,i =1,川，m.、.一 0.交叉效率模型还有其他一些改进方式，例如：Liang等人(2008a) 13年提出了 3个可供选择的二级目标计算方式；Liang等人(2008b) 14将非合作博弈理论与交叉效率

21、评价方法结合起来，提出了博弈交叉效率的概念，并设计了算法求解博弈交叉效率值，同时证明了该博弈交叉效率值即为纳什均衡点；Wang和Chin (2010b) 15提出了一些可选择性交叉效率评价模型 引入有序加权平均算子 (Ordered weighted averagi ng 好，尤其是对不合理的交叉效率评价值赋予较小的权重 趣的读者可以进一步参阅其他有关交叉效率的相关论文；Wang和Chin(2011) 16在交叉效率的研究中率先operator , OWA)，很好的体现了决策者的各种偏，从而使得最终的评价结果更为科学合理。有兴(五) 几何平均效率模型为了区分有效决策单元的排序难问题，Wang等

22、人(2007)17于2007提出了悲观效率模型，并将其与乐观效率模型相结合，提出了基于几何平均值的双前面数据包络分析方法。基于悲观前沿面的数据包络分析模型为：sMinimize =v Jr yro,r丄msubject to v、.i Xi。=1,y(12)sm二.ryrj-7 冷沟 _0, j =1,2，川，n,r 1i 1.4i _0, r =1,2, III, s; i =1,2川I, m,其中h和v是非负权重。模型(12)与模型(2)的区别在于：模型(12)计算所得效率均大于等于1 ,而模型(2)所得的效率值均小于等于 1。基于几何平均值的双前沿数据包络分析方法就是将模型(12)所得的

23、效率与模型(2)所得的效率通过几何平均的方式加以综合，即:其中；为综合后的DMUo (o1,2,|l|, n)的效率值，而&和-分别对应该决策单元在模型与模型(12)下的最优效率值。下图为有效前沿面和无效前沿面的一个演示图 。图5-1决策单元的有效和无效前沿面(六) 最优决策单元的选择在实际应用中，决策者有时候关心的是哪个方案或者哪个决策单元是最优的，而对于其他单元的排序并不在意。因此，如何利用 DEA模型直接寻求最优决策单元成为学者们所感兴趣的问题。Amin和Toloo (2007)18提出了一个混合整数线性规划模型，采用两步法以期实现寻求最优决策单元。然而随后Amin (2009)19发现

24、这种两步法有时会产生两个或者两个以上的最优决策单元，因此他提出一个非线性混合整数模型。Foroughi (2011)20发现Amin的非线性规划模型在有些情况下是不可行的。不过Foroughi(2011)的模型存在着一些冗余的约束且对输入输出权重给定了保证域，并且该模型易受离群值(outliers)的影响，从而导致所选择的最优决策单元不正确。因此，Wang和Jia ng (2012)21提出了三种混合整数线性规划模型来改进 Foroughi (2011)的模型中所存在的问题。这三种最优决策单元选择的模型分别为：1. 基于不变规模收益的混合整数线性规划模型的最优决策单元选择方法mns(nMi n

25、i mize为vi为x“ 八ij-乞ur为Yrjim)r# 丿smSubject touryrj - vixij - I j , j = 1/ , n ,r =1i =1nTj =1,(13)j Tlj 0,0 , j =1厂，n,Ur -, r = 1,，s,(m s)max yrj1Vi, i =1 ,m,(m s) maxxij其中Ij ( jn)是二元变量,且只有一个变量可以取非零值1。如果I。=1 ,那么约束条件smsm送Urj-送VXij Ij对应的DMU o的约束为送-送以。1 ,即允许DMU。的效率值大于1，而 r 2i 上_smsm其余的DMU的约束送uryrj-ZVM兰Ij

26、与原始的CCR模型的约束相同，也就是送uryrj送山0对于任r -1i Xr -1i 4意的j 1,川,n除了 j =o。因此，只有最有效的决策单元的效率值会大于1，而其余决策单元的效率均小于等于1。权重约束沿用(Sueyoshi, 1999 22)提出的松弛变量模型中的形式 ，该约束形式在实际应用中 被广泛采用，即 ur _(1/(m s)maxyrj) (r =1|,s);v _(1/(m s)maxx,j)对于任意的(i=1,|,m).2. 基于投入导向的BCC模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法模型(13)是基于不变规模收益下的最优决策单元的选择方法。该方法可以拓展到可变规模收益

27、的情形如下所示，该模型的形式是基于投入导向的BCC模型下的形式m广n、sr nMinimize Z Vi迟Xj_nv0ur瓦yrji 二2)r ljmJsmSubject to y Ur yrj 7“ Vi XjV0 乞 I j , j =1, n ,r =1i =1n(14)I j - 1 ,j雄Ij0,1, j =1厂，n,Ur,r = 1, ,s ,(m s)maxyrjVi,i =1, m,(m s) maxXijVo无符号限制.3. 基于产出导向的BCC模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法同理可得，基于产出导向的可变规模收益的BCC形式下的混合整数线性规划模型如下mr ns广n

28、Mi ni mizeZ VizXij-乞urz yrji 4lj4Jr 二jsmSubject toZ ur yrj+ u0 -瓦 ViXij 0, j=1,nr 二n送Ij=15j = 1厂，n ,j 4I j-0,1 , j =1, ,n , nu(15)UrVi,r = 1, ,s ,(m s) maxyrj,i =1, m,(m s) maxxiju0 is free in sign,s其中约束条件v ur yrj u0 _ 0 (j =1,，n )是为了保证全体产出是非负的，因为负的产出没有意义。r丑(七) 举例说明F面用3个例子来说明DEA方法的应用。例1 :假设现有七个被评价的决

29、策单元，投入、产出项各有一项，投入项为X,产出项为Y,输入如下表所示。此时七个决策单元的相对位置如图5 2所示。在CCR模型下，连接原点与点 B的射线构成前沿面，如图中所示，其余的点均位于该前沿面的下方。表5 2七个决策单元的投入、产出数据DMUXYEfficie ncyA210.5000BCDEFG386510731.000060.750020.333340.800060.60004.50.6429产出图5 2七个决策单元的分布及其在生产前沿面上的投影从图2中可以看出，只有决策单元 B位于生产前沿面上，而其他所有决策单元均位于该生产前沿面的下 方，即A, C, D, E, F, G均为非DE

30、A有效，从表52最后一列的效率值大小也很容易得到确认。为了使非DEA有效决策单元为 DEA有效，可依图中箭头所示的方向将非DEA有效的决策单元往前沿面上投影。A,C, D, F, G均为减小投入而保持产出不变；而E给出了三种投影方式(减小投入产出不变；保持投入不变增大产出；或者同时减小投入和增大产出)。例2:五个先进制造技术的甄别,数据来源于 Wang和Chin(2009) 23。表5 3五个先进制造技术的数据及其乐观、悲观以及几何平均值决策单元投入产出XiX2Y乐观效率值悲观效率值几何平均值A4072101.00001.60001.2469B32121050.56391.00000.7509

31、C52203041.00001.73711.3180D35132000.98381.74151.3089E3281500.85801.42861.1071对于每-个决策单兀而言，可通过求解模型(2) 和 (12)获得全体DMUs的乐观和悲观效率,结果如上表所示。下面简单介绍一下求解过程和技术实现。以第一个决策单元的 CCR效率(即乐观效率)为例，将数据代入模型（2）即得模型（16）,显然这是个较为复杂的线性规划模型，需要借助软件计算才会更为简便。因此本书分别给出了 Lin go以及Matlab下的CCR模型的编程。Lingo的编程一次也只能计算一个（见下面程序后的计算说明），而Maltab程序

32、相对而言更为简便，其可以很快地计算出所有决策单元的效率。此例中通过软件计算所得，在乐观效率下，所得效率为 表53的第五列所示，全体单元的优序关系为：C=ADEB。，决策单元A与C均为DEA有效，而B, D, E为非DEA有效。在悲观模型下，所得的效率 值为表5 3的第六列所示，决策单元B为DEA无效，而其他单元均为非DEA无效，其优序顺序为：DCAEB。由此可见，在乐观前沿面和在悲观前沿面下的排序存在着一定的差异。表5 3的最后一列的值为乐观和悲观效率的几何平均值，显然Wang等人（2007）提出的该几何平均值较好的综合了乐观和悲观前面的两部分信息，从而五个单元合理的排序为：CDAEB 。Ma

33、ximize p =210 斗40| +7吐=1,210 叶（40商+72）兰0,105甘（32+12越）兰0,（16）subject to & 304 耳（52耳+20=T(j);sum (DMU:P*S)=1;END可得5个决在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分别替换为 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), 策单元的最优效率值依次为1.0000，0.5639，1.0000，0.9838，0.8580。例2的Matlab程序实现：clear all;X= 403252353271220138;Y= 2101053042

34、00150;n=size(X,1);m=size(X,1);s=size(Y,1);A=-X Y;b=zeros (n ,1); LB=zeros(m+s,1);UB=;for i=1: n;F=zeros(1,m) -Y(:,i);Aeq=X(:,i) zeros(1,s);beq=1;w(:,i)=li nprog(F,A,b,Aeq,beq, LB,UB);E(i,i)=Y(:,i)*w(m+1:m+s,i);endwEomega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)EE=diag(E)运行上述Matlab程序，即可得全体 DMUs的CCR效率值。例3.现有14家国际航空公司，

35、数据来源于Tofallis(1997) 24。已知投入有三项，产出有两项，分别为：N :飞机容量吨公里X2 :营业费用X3：其他资产(预定系统，便利性以及流动资产)y :每公里乘客数y2：非客运收益表5 414家航空公司的数据产出投入DMUX2X3y2157233239200326677697258954225455730815393240999560626712405512664135657499321364734156355183188078323604513619080803232729501157274603345723602211296981209767796474523632001

36、96587334135812650412971056541878191619277972111255980983310419253398125728248122542775498213471517922485313325431422793987441451225281404表5 5CCR效率及其非有效决策单兀的改进DMU jCCR效率.投入产出X1jX2jX3jy1jy2j10.8684-753-916-2640020.3379-3903-2940-40323569030.9475-1265-502-329073140.9581-569-1235-13500510000060.9766-447

37、-402-770810710000080.8588-1709-957-20080090.9477-344-175-1392001010000011100000121000001310000014100000利用CCR模型以及将非有效 DMU改进为有效DMU的投影公式，可得表5 5的结果。从表中可知， 决策单元5, 7, 10, 11，12, 13, 14为DEA有效，而其它单元为非 DEA有效。对于非有效决策单元，例如 对第一家航空公司而言，它的第一项投入应减少753，第二项投入应减少 916，第三项投入应减少 264，同时保持产出不变，这时该航空公司可达 DEA有效。DMU 4，DMU 8和

38、DMU 9与DMU 1类似也均需减少该 三项投入。而对DMU2而言，其前三项投入应分别减少3903，2940和4032，第一项产出需增加 3569，第二项产出保持不变可达有效。而DMU 3和DMU 6在减少三项投入的同时，还需要增加第二项产出才会有效。利用攻击型交叉效率模型，我们可得如下表（表5 6）所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。从表中可以看出第 5家航空公司的相对效率为 0.7983，为所有航空公司中最优，其次是第11家航空 公司，其交叉效率值为0.7742。而第2家航空公司的交叉效率值为0.1652，为14家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我们可得如下表（表5 7）所

39、示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。从表中可以看出第11家航空公司的相对效率为0.9193，为所有航空公司中最优，其次是第13家航空公司，其交叉效率值为 0.9190。而第2家航空公司的交叉效率值为0.1894，为14家航空公司中最差。此结果与攻击型交叉效率模型所得的结果又较大的差异，然而至今仍无一个准则可以清晰的告诉决策者何时该选择攻击型模型或者是仁慈型模型。因此均对不同的决策问题，选择的模型的不同，所得结果可能出入较大。为此，学者们提出了一些改进模型，例如Wang和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以较好的避免这个问题。表

40、5 6攻击型交叉效率值表目标DMU平均排序DMU1 2345678910111213交叉14效率1 0.86840.45010.62250.86840.44180.47260.76790.78810.70310.4158 0.3390 0.7043 0.4711 0.4726 0.5990122 0.17190.33790.04720.17190.02240.02470.27700.27240.28080.2465 0.1152 0.2789 0.0417 0.0247 0.1652143 0.88260.19420.94750.88260.65660.68980.64680.68330.62

41、250.2559 0.1968 0.6261 0.7422 0.6898 0.6226114 0.95810.42590.70340.95810.66830.6973 0.7629 0.7850 0.6991 0.4027 0.4739 0.70160.49370.69730.673475 0.96530.36581.00000.96531.00001.0000 0.7011 0.7359 0.7778 0.5272 0.6382 0.78190.71811.00000.798316 0.88180.11080.95630.88180.96320.9766 0.5745 0.6084 0.50

42、99 0.1376 0.1703 0.51410.67660.97660.638597 0.92110.77810.47730.92110.31080.3382 1.0000 1.0000 0.8395 0.5416 0.4000 0.83830.36580.33820.647888 0.7813 0.6114 0.5162 0.7813 0.2683 0.2924 0.8415 0.8588 0.8208 0.5703 0.3011 0.8194 0.4418 0.2924 0.5855 139 0.7855 0.7278 0.5075 0.7855 0.2455 0.2677 0.8881

43、 0.9072 0.9477 0.7501 0.3528 0.9452 0.4537 0.2677 0.6309 1010 0.78210.63540.65200.78210.33370.35640.76500.79441.00001.00000.49421.00000.58710.3564 0.6813611 1.00001.00000.42871.00000.42020.44181.00001.00001.00000.81071.00001.00000.29610.4418 0.7742212 0.94620.63360.75000.94620.40850.43950.90820.9395

44、0.99980.76470.42441.00000.63980.4395 0.7314513 1.00000.42561.00001.00000.41830.45550.95111.00001.00000.58550.21291.00001.00000.4555 0.7503314 1.00000.22771.00001.00000.98061.00000.69190.72750.64780.27470.32990.65210.70971.0000 0.73164仁慈型交叉效率值表口+一平均排目标DMUDMU 交叉序1 234567891011121314 效率1 0.86840.45010.

45、62250.86840.84920.47260.81080.7881 0.7031 0.7512 0.8684 0.7713 0.8684 0.8684 0.7543122 0.17190.33790.04720.17190.17350.02470.24790.2724 0.2808 0.2058 0.1719 0.2025 0.1719 0.1719 0.1894143 0.88260.19420.94750.88260.88440.68980.72320.6833 0.6225 0.7846 0.8826 0.8072 0.8826 0.8826 0.767894 0.95810.4259

46、0.70340.95810.94130.69730.82280.7850 0.6991 0.8112 0.9581 0.8341 0.9581 0.9581 0.822265 0.96530.36581.00000.96531.00001.00000.77040.7359 0.7778 1.0000 0.9653 1.0000 0.9653 0.9653 0.891236 0.88180.11080.95630.88180.87800.97660.66150.6084 0.5099 0.7176 0.8818 0.7478 0.8818 0.8818 0.7554117 0.92110.778

47、10.47730.92110.87950.33821.00001.0000 0.8395 0.7808 0.9211 0.8012 0.9211 0.9211 0.821478 0.78130.61140.51620.78130.77020.29240.84580.8588 0.8208 0.7532 0.7813 0.7631 0.7813 0.7813 0.7242139 0.78550.72780.50750.78550.78890.26770.87820.9072 0.9477 0.8375 0.7855 0.8369 0.7855 0.7855 0.75901010 0.78210.

48、63540.65200.78210.82500.35640.77800.7944 1.0000 1.0000 0.7821 0.9719 0.7821 0.7821 0.7803811 1.00001.00000.42871.00001.00000.44181.00001.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9193112 0.94620.63360.75000.94620.96020.43950.93620.93950.99981.00000.94621.00000.94620.94620.8850413 1.00000.42561.00001.00001.00000.45551.00001.00001.00000.98431.00001.00001.00001.00000.919