待定系数法及其在中学数学的应用

1、待定系数法及其在中学数学的应用 Application of undetermined coefficients in the elementary mathematics论文作者： 专业：数学与应用数学（师范）指导老师： 完成时间：2010年11月14日摘 要首先用两道数学题引出待定系数法，然后给出待定系数法的定义、解题步骤，归集常用待定系数法解题的题型，具体给出在每个类型中的某一个或者几个代表例子来说明待定系数法在具体题目中的解题运用。最后小结待定系数法的意义，并指出其特殊性，即并不是所有题用待定系数法解题都是最简便的 First using two mathematic problems

2、 to extract the method of undermined coefficients, and then giving out the definition and solving steps of method of undermined coefficients. Next, collecting the math types which use the method of undermined coefficients. And then show out one or a few representative examples of each type to illust

3、rate how undetermined coefficient method in solving specific use in the math exercises. At last, summing the significance of method of undermined coefficients, pointing out its particularity that not all the problems solved by the method of undermined coefficients are the most convenient.关键词：待定系数法；因

4、式分解；函数解析式；数列通项；不等式；向量Keywords：method of undetermined coefficients；Factoring decomposition；Analytical formula；Sequences of the general term；inequality；vector目 录1引言 42待定系数法的定义 43待定系数法的过程 44待定系数法解题的常用题型 45待定系数法实例 4 5.1待定系数法进行因式分解 4 5.2待定系数法求部分分式和 5 5.3待定系数法求函数解析式 6 5.4待定系数法求数列通项 8 5.5待定系数法求其它问题 96总结 11

5、7参考文献 128致谢 121引言在数学解题过程中，有时候无法直接求的题目的答案如：对因式分解，将表示为的方幂的形式这个时候引进待定系数法，建立等式关系，能够达到解决问题的结果待定系数法是一种基本的数学方法，是一种很好的解决问题的手段2待定系数法的定义待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法3待定系数法的步骤（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组（3）解方程或方程组以确定待定的系数4应用待定系数法解题的常用

6、题型（1）用待定系数法进行因式分解，如：对因式分解（2）用待定系数法求函数解析式，如：已知函数，（其中，）的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，求其解析式（2009年陕西高考）（3）用待定系数法求数列通项式，如：已知等差数列满足：，的前项和为，求（2010年山东高考）（4）用待定系数法求解的其它类型如：不等式问题、三角函数问题、向量问题、求部分分式和等等5待定系数法求解实例51 待定系数法进行因式分解例1 分解因式： 分析：这是一个关于的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘分组分解法又有困难经过验证由没有有理根但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其

7、因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解解：设= =，比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得，解该方程，得到，所以评析：与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式如把题目改成解方程，或者解不等式这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同52用待定系数法求部分分式和例2将化为部分分式之和 分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果解：由于，则可设，则,由相等的多项式各项系数相等可列出方程组,解以上方程组得 ,故=53用待

8、定系数法求函数解析式例3已知椭圆 的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上已于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，求椭圆和双曲线的标准方程（2010年山东高考）分析：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式解：设椭圆的半焦距为c，由题意可得：椭圆的离心率为，根据几何关系，可得到关系式，联立上两式解方程组，得，又根据关系式，可得故椭圆的标准方程为由题意可设等轴双曲线的标准方程为，又由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以有评析

9、：用待定系数法求方程的解析式，不仅可以求椭圆、双曲线，一次函数、二次函数等简单能估计其解析式形式的题型例4是否分别存在满足下列条件的函数：（1）是三次函数，且，；（2）是一次函数，且 如存在，求出的表达式；若不存在，说明理由分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式解：（1）设，则由题意可建立方程式，得，解以上方程组，得，故存在满足条件的的函数存在，表达式为（2）假设存在，由是一次函数可知是二次函数，故可设，则将和代入已知条件，得，整理得，由等式两边各项系数相等，可建立方程组，解以上方程组可得，所以满足条件的存在，表达式

10、为评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化54用待定系数法求数列通项式例5已知数列中，设，求数列的通项公式（2010高考全国卷一）分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果解：，则，即（1）则可设，即通过与（1）式比较，可解得则又有，故故是首项为，公比为4的等比数列，即则评析：对，当时，若为等差数列，则，则只需要要用叠加法即可求解对，当且时，若为等差数列，则可设，那么可设，即，通过所设的式子与原式的对比可设方程组，解方程组得，故数列为等差数列最后可以根据等差数

11、列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式用待定系数法求其它问题例6已知二次函数，且满足，求的取值范围分析：如果直接把和1代入二次函数的解析式，求出和的取值，再通过和的范围求出，这样不仅在求解的操作上增加了难度，而且有可能扩大解集所以这个时候用待定系数法，用、表示，建立者之间的关系，这样解题比较快捷，范围也比较准确解：设，则有，比较等式两边和之前的系数，可列出方程组，解方程组，得，即，又有，则评析：用待定系数法可以整体使用条件，避免出现错误例7若向量,是不共线的两向量，且，（），则A，B，C三点共线的条件是（ ）A BC D 分析：用待定系数法解决这种向量问题，可以先根据向量的关系，设出待定的未

12、知数，列出相应的方程组，解方程组，求待定的未知数，然后就可求的题目所要求解的答案解：求A，B，C三点共线的条件即为求向量和向量的条件，则根据向量共线的条件可知，存在（且），使，即由向量和不共线，则根据，前的系数相等可列出方程组，则可解得，故可得到，即选答案D评析：这类题型总的来说是根据向量的相等来建立等式的，从而得出待定的系数，解出所求的答案例8设，求函数的最小值分析：看到本题，容易想到用均值不等式来进行求解由于，则有，当且仅当即时取到等号但是我们知道，故显然这样解这道题是错误的解这道题需要拆项，但是直接拆项会有一定的难度，而待定系数法可以使拆项变得简单解：设存在，使得，由均值不等式可有，当且

13、仅当时成立，而，则，此时，即即有，则评析：用此方法解题，在解题中要注意取时的条件，用此条件可以解出题目的正确答案待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数之后就只需根据题目给出的条件，解题即可用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法如例8中，我们还可以根据复合函数的单调性做：，已知在上单调递减，故这样解题，比起用待定系数法，不但思路明白清晰，而且计算简单。因此，解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法参考文献1 叶立军.初等数学研究M.

14、上海:华东师范大学出版社, 2008,43-44.2 周燕华.待定系数法求通项J数理天地高中版.2008,（1）:1315.3 赵钦荣,张允翠.用待定系数法解题举例J.数学爱好者.2008,（4）:4950.4 李亚丽.待定系数法在不等式中的应用J.中学生数理化高二版.2006,（6）:2223.5 黄兆麟.待定系数法因式分解二次六项式J.中学生数学.2010,（4）:19.致谢 感谢杭州师范大学对我的培养，学校里浓厚的学习氛围，舒适的学习环境给我些论文提供了很大的空间。感谢李祖泉老师在这段时间对我的悉心指导，在我迷惑的时候为我指点迷津，帮助我开拓思路。让我能够顺利地完成论文。感谢我的同学在这

15、段时间对我的帮助，使我能够更快地完成论文。总之，我要感谢我的老师、同学、家人在我写论文期间对我的所有帮助和支持，再一次送上我诚挚的祝福。谢谢！tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92t

16、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