两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）公式tan（tan tan ）（T （）1tan tan tan()cos（）cos_cos_sin_sin_（C（） cos（）cos_cos_sin_sin_（C（） sin（）sin_cos_cos_sin_（S（） sin（）sin_cos_cos_sin_（S（）tan tan 1tan tan （T（）（2）公式变形tan tan tan（ ）（1 tan tan ）tan tan tan（ ）（1 tan tan ） 2二倍角公式 （1）公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22c

2、os21 1 2sin2， tan 22tan 1 tan2.(2) 公式变形cos21cos 22sin21 cos 22；1sin 2(sin cos ) 2,1 sin 2(sin cos )2，sin cos 2sin( ).4 3判断下列结论的正误 (正确的打“” ，错误的打 “”)(1) 两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ，是任意的 ( )(2) 存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立 ()(3) 在锐角 ABC中， sin Asin B和cos Acos B大小不确定 ()(4) 公式 tan() 1tan tan ttaann 可以变形为 tan tan tan()

3、(1tan tan )，且对任意角 ，都成立 ( )(5) 二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(6) 存在角 ，使得 sin 2 2sin 成立 ()(7) 若 4，则(1tan )(1tan )2.()(8) 不存在实数 ，使得 cos()sin cos .()(9) 存在实数 ，使 tan 2 2tan .( )(10) y 1 2cos2x的 x 无意义 ()考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值(1)求值：1 cos 202sin 20 sin 101tan50tan50)；解：原式2cos21022sin 10

4、cos 10 sin 10cos50sin50sin50cos50cos 10 cos25sin25 cos 10 cos 10sin 10 sin 10 2sin 10 sin 5 cos 5 2sin 10 12sin 10cos 10 cos 10 2sin 20 2cos 10 2sin 10 2sin 10 cos 10 2sin 30102sin 10 13cos 10 2 cos 10 sin 10 2 2 3sin 10 3 2sin 10 2sin 10 2 .(2)化简： sin2sin2cos2cos2 2cos 2cos 2.解：法一： (复角单角，从 “角”入手)原式

5、 sin2sin2cos2cos22(2cos21) (2cos21)2cos22cos2 1)2 2 2 2 1 2 2 sin sin cos cos 2(4cos cos2 2 2 2 2 2 1 sin sin cos cos cos cos 22 2 2 2 2 1 sin sin cos sin cos 22 2 1 1 1sin cos 212 2.法二： (从“名”入手，异名化同名 )2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 原式 sin2sin2(1sin2) cos22cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)2cos 2cos 22 2 1 cos sin c

6、os 2 2cos 2cos 2cos2 cos 2(sin 2cos2 )21c2os 2cos 22 1 2sin 2 1 2sin 1cos 2 1112cos 2cos 2 2 2cos 22.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次 )1 cos 21cos 2 1cos 21cos 2 原式 2 11 4(1cos 2cos 2 cos 2cos 2)4(11cos 2cos 2cos 2 cos 2)2cos 2cos 212.方法引航 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：1 观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分 .2 观察名，尽可能使函数统一名称 .3 观

7、察结构，利用公式，整体化简 .1求值 sin 50 (1 3tan 10)解：sin 50 (1 3tan 10 )sin 50 (1tan 60 tan 10)sin 50sin 50cos 60 cos 10 sin 60 sin 10cos 60 cos 10 cos 60102sin 50 cos 50 sin 100 cos 10cos 60 cos 10 cos 10 cos 10 cos 10A C A C2在 ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，则 tan2tan2 3tan2tan2的值为解析：因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，2 A C AC

8、所以 AC 3 ， 2 3， tan 2 3，A C A C 所以 tan2tan2 3tan2tan2ACACACtan( )(1 tan tan ) 3tan tan222222A C A C 3(1 tan tan ) 3tan2tan 2 3.考点二 三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值1例 2 (1)(2016 高考全国丙卷 )若 tan 3，则 cos 2(4A5B15C.154D.45解析：法一：cos 2cos2sin2ccooss22ssiinn22cos sin 21

9、tan2 4 2 5.故选 D.1tan 5，因而 cos212sin254.51法二：由 tan 3，可得 sin 答案：D(2)已知 tan(1) 21，且 2 0，则22sin sin2 等于 ( ) cos( 4)25A25535B 31053 10C3101025D.255解析： 由 tan(得 tan ) tan 11，4) 1tan 2，又 20，所以 sin 10.10 .2sin2 sin22sin sin cos 故 2 2sin cos( )2 sin cos 422 5.5.答案：A2 2 sin( )(3)已知 (0, ) ，且 2sin2sin cos 3cos20

10、，则42 sin2 cos2 122解析： 2sin2sin cos 3cos20 则(2sin 3cos )(sin cos )0，由于 (0, ) ，sin cos 0，2则 2sin 3cos .又 sin2cos21， cos 13，sin( 4)22 sin cos 26 2 2 2 . sin2 cos2 1sin cos sin cos 8答案： 826方法引航 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：1 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差 .2 已知角为一个时，待求角一般与已知角成 “倍”的关系或“互余互补 ”的关系.3 已知三角函数时，先化简三角函数式，再

11、利用整体代入求值 .1在本例 (1)中，已知条件不变，求 tan() 的值解：tan(6 ) 3 1tan 6tan 3 3 5 36 1tan6tan 1 311361 3 32在本例 (1)中，已知条件不变，求 2sin2sin cos 3cos2的值 解：原式2sin2sin cos 3cos2sin2cos22 1 2 132tan2tan 3 2 3 3311 2 .tan211 2 53 212 2 33已知 cos()sin() ，则 cos(2) 2 3 5 3解析： 由 cos() sin(2)2 3，得2 3 522 2 3 3 3 2 3sin sin cos cos s

12、in sin cos ，3 3 5 2 2 5即 3sin(6)253 sin(2 2 17 因此 cos(2)12sin2()12 (2)225.3 6 5 25答案：1725命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角考点三 已知三角函数式的值求角 例 3(1)已知 cos 1 13 7， cos（）14，0 2，则 解析：1 4 3 cos 7，02.sin 7 .13 3 3 又 cos()14，且 02.02，则 sin() 14.则 cos cos()cos cos()sin sin( )1134 33 3 49 1，714 7 14 7 142， 由于 00，tan tan 解

13、析： tan tan()1tantanttaann 112 71 2tan 0， 0 .又 tan 22 1 1 3 21 tan 12731022，tan(2) tan 2tan 471.1tan 2tan 3 1147tan 70， 2 ， 20.又 ( ，2已知 tan 2，) (3 ,2 ) ， 7 . 24153，cos 5 ，( , ) ，(0, ) ，求 tan( )的值，并求出的255 ，tan 2.值5解：由 cos 5 ， (0, )，得 sin 5212tan tan 31.tan()1tan tan 2 1.1233 5 ( , ) ，(0, )，2 2 ， 4.方法探

14、究 三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用 三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对 角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变 形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观 察角度、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变 形典例 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin213cos217sin 13 cos 17；(2)sin215cos215sin 15 cos 15；(3) sin218cos21

15、2 sin 18 cos 12 ；(4) sin2(18)cos248sin(18)cos 48 ；(5) sin2(25)cos255sin(25)cos 55 . ()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； ()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 解 ()选择 (2)式，计算如下：sin215 cos215sin 15 cos 15112sin 3013.44.()法一：三角恒等式为sin2cos2(30 ) sin cos(30 ) 4.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30 )sin2(cos 30 cos sin 30 sin )2

16、sin (cos 30 cos sin 30sin2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 )sin 4cos 2 sin cos 4sin 2 sin cos 2sin 4sin 42cos 34.（cos 30 cos sin1 2 1 12sin 2 2cos1 1 3 3 2 24cos 2 4 sin 2 4 sin 21 1 1cos 2） 14cos 244cos 23 4. 高考真题体验 1（2016 高考全国甲卷 ）若 cos（）353，则 sin 2（A.275B.15C15D725解析：选 D.因为 cos（4） cos4cossin4sin23 2 （sin co

17、s ） 5，所以 sin cos 352，所以 1sin 218 所以 sin 2 2525，故选 D.2（2016 高考全国丙卷 ）若 tan43，则 cos2 2sin 2（64A.2548B.25C116D.1265解析： 选 A.法一：由 tansin 3 2 2 cos 4，cos2sin2sin1，得354 cos 5sin 5 或 5 ， 4cos 52 2 3法二：三角恒等式为 sin2 cos2（30 ）sin cos（30 ）4.证明如下：2 21 cos 2 1 cos 60 2sin cos（30）sin cos（30 ）2 sin1 1 130sin ）22cos 2

18、 2360cos 2 sin 60sin 2） 2 sin cos则 sin 2 2sin cos 2524 则 cos22sin 2125624856254.25 25 2522cos 4sin cos 14tan 13 64法二： cos 2sin 22 2 2 .cos sin 1 tan 9 251163（2015 高考课标全国卷 ）sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 （）A 23 B. 23C 12 D.12解析： 选 D.sin 20 cos 10 cos 160 sin 101.2.sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 sin 30 4(2

19、014 高考课标全国卷 )设 (0, )， (0, )，且 tan 1cossi n ，则( sin 1 sin 解析： 选 B.由条件得cos cos ，即 sin cos cos (1sin )，sin( cos sin()，因为 22，020，3cos 54cos 5sin 所以4cos 5不合题意，舍去，所以tan 43所以 tan424， 7 ，故选 C.2tan 2321tan24 21tan 1 3 2374若 4, 2，sin 2 8 ，则 sin 等于(A.354sin2cos21得解析：C.47D.34(sin cos )2 3 871 (3 7)2 ，又 4,2，sin

20、cos 34 7.同理， sin cos 3 4 7， sin 43.tan 5已知 sin 2()nsin 2，则tan 的值为()A.n1n1B.n1C.nn1D.n1n1解析： 选 D.由已知可得 sin（）（ ） nsin（ ） （） ，则 sin（ ）cos（）cos（）sin（ ）nsin（）cos（）cos（）sin（ ） ， 即 （n 1）cos（ ）sin（ ） （n 1）sin（ ）cos（ ） ， 所 以故选 D.tan n1tan n16若 sin（2） 35 ，则 cos 25解析： sin（23） cos ，5cos 22cos2 1 2 （3）215725.答案：

21、7257若点 P(cos ，sin )在直线 y 2x 上，则 sin 2 2cos 2解析：点 P(cos ，sin )在直线 y2x 上 sin 2cos ，2于是 sin 22cos 2 2sin cos 2（2cos21）22 4cos 4cos 2 2.答案：28设 sin 2 sin ，（ , ），则 tan 2的值是2解析： sin 2 sin ， 2sin cos sin . （ , ） ， sin 0，cos 2.又 （2, ） ，3，4tan 2 tan3 tan （答案： 39化简：1sin cos sin 2cos 2(0)22cos 解：由 (0，)得 020， 22

22、cos 4cos222cos2.2又(1sin cos ) (sincos ) (2sin cos2cos2 )(sin cos )2 2 2 2 2 2 22cos2(sin 2cos2 )2cos2cos .故原式2cos 2cos 2cos 2 cos .10已知 ( , ) ，2且 sin2 cos62 2 .(1)求 cos 的值；(2)若 sin( ) 53， ( , ) ，求 cos 的值 2解： (1)因为 sin 2cos 2 26，两边同时平方，得 sin 21.又2，所以cos 3.2.2 2.又 sin()345，得 cos( )5. (2)因为 2 ， 2 ，所以 2，故 24 3 310)(3 4 1 3 cos cos() cos cos( )sin sin( ) 2 52 ( 5)B 组 能力突破221已知 sin cos 2 ，则 12sin2 ( 4A.12B.23CD12， sin 212.2解析： 选 C.由 sin cos 2 ，得 12sin cos因此 12sin2( 4 ) cos2( 41) sin 2 2.2x2sin2212已知 f(x) 2tan x x2 x ，sin2cos2则 f( )的值为 (A 4