2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积优质作业新人教B版必修第四册

1、2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积优质作业新人教b版必修第四册2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积优质作业新人教b版必修第四册年级：姓名：第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础达标练1.圆台的体积为7,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()a.3b.4c.5d.6答案a解析由题意,v=13(+2+4)h=7,h=3.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()a.1b.12c.32d.34

2、答案d解析设圆柱底面半径为r,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2rh=rh,r=2r.故v柱v锥=r2h13r2h=34.故选d.3.(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()a.b.34c.2d.4答案b解析绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得ac=1,ab=12,所以圆柱的底面半径r=12-122=32,所以圆柱的体积是v=r2h=3221=34.4.(2020全国高一课时练习)如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液

3、的体积为()a.8273b.4273c.16273d.32273答案d解析由题意,设球的半径为r,作出球的组合体的轴截面(图略),可得一个半径为r的圆内切于一个边长为4的正三角形,此时正三角形的高为h=23,根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=13h=233,所以球的体积为v=43r3=432333=32327,即溢出溶液的体积为32327.5.(2020全国高一课时练习)算数书中记载有求“盖”的体积的方法:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长l与高h,计算其体积v的近似公式v136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式v27

4、5l2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()a.227b.258c.15750d.355113答案b解析设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,l=2r,13r2h=275(2r)2h,所以13=8752,即的近似值为258,故选b.6.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为()a.1b.2c.3d.4答案a解析设两球的半径分别为r,r(rr),则由题意得43r3+43r3=12,2r+2r=6,解得r=2,r=1.故r-r=1.故选a.7.(多选题)如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,线段b1d1上有两个动点e,f,且ef=22,则下列结论

5、正确的是()a.ac平面befb.ae,bf始终在同一个平面内c.ef平面abcdd.三棱锥a-bef的体积为定值答案acd解析由ac平面bb1d1d,即ac平面bef,a对;efbd,bd面abcd,ef面abcd,得ef平面abcd,c对;sbef=12221=24,设ac,bd交于点o,ao平面bb1d1d,ao=22va-bef=132422=112,d对;b,e,f同在平面bb1d1d上,而a不在平面bb1d1d上,ae,bf不在同一个平面内,b错误.故选acd.8.已知圆锥so的高为4,体积为4,则底面半径r=.答案3解析设底面半径为r,则13r24=4,解得r=3,即底面半径为3

6、.9.(2020全国高一课时练习)如图,长方体abcd-a1b1c1d1的体积是120,e为cc1的中点,则三棱锥e-bcd的体积是.答案10解析因为长方体abcd-a1b1c1d1的体积为120,所以abbccc1=120.因为e为cc1的中点,所以ce=12cc1,由长方体的性质知cc1底面abcd,所以ce是三棱锥e-bcd的底面bcd上的高,所以三棱锥e-bcd的体积v=1312cdbcce=1312abbc12cc1=112120=10.10.一个正方体的八个顶点都在体积为43的球面上,则正方体的表面积为.答案8解析由43r3=43,得r=1.设正方体的棱长为a,则3a=2r,所以a

7、=23,故正方体的表面积s表=6a2=6232=8.11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球的质量为145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(取3.14,结果精确到1 cm,2.24311.240 98).解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9435023516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000v乙且s甲s乙b.v甲v乙且s甲s乙d.v甲=v乙且s甲=s乙答案c解析计算得v甲=16a3,s甲=4a2,v乙=16a3,s乙=a2,v甲=

8、v乙,且s甲s乙.故选c.5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2r相等,下列结论正确的是()a.圆柱的侧面积为2r2b.圆锥的侧面积为2r2c.圆柱的侧面积与球面面积相等d.圆柱、圆锥、球的体积之比为312答案cd解析依题意得球的半径为r,则圆柱的侧面积为2r2r=4r2,a错误;圆锥的母线长为(2r)2+r2=5r,故圆锥的侧面积为r5r=5r2,b错误;球面面积为4r2,等于圆柱的侧面积,c正确;v圆柱=r22r=2r3,v圆锥=13r22r=23r3,v球=43r3,v圆柱v圆锥v球=2r323r343r3=312,d正确.6.

9、如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm.答案29解析设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知32h2+12(20-h2)=12h1+32(28-h1),整理得8(h1+h2)=232,所以h1+h2=29.7.(2019全国)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).

10、半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.图1图2答案262-1解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则ab=be=x,延长cb与fe的延长线交于点g,延长bc交正方体的另一条棱于点h.由半正多面体的对称性可知,bge为等腰直角三角形,所以bg=ge=ch=22x,所以gh=222x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1

11、=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.8.(2020全国高一课时练习)在半径为15的球o内有一个底面边长为123的内接正三棱锥a-bcd,求此正三棱锥的体积.解如图所示,由题意知oa=ob=oc=od=15.设h为bcd的中心,则a,o,h三点在同一条直线上.hb=hc=hd=2332123=12,oh=ob2-hb2=9.正三棱锥a-bcd的高h=9+15=24.又sbcd=1232(123)2=1083,va-bcd=13108324=8643.如图所示,同理,可得正三棱锥a-bcd的高h=15-9=6,sbcd=1083,va-bcd=1310836=2163.综上,正三棱锥a-bcd的体积为8643或2163.素养培优练如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?解(1)因为半球的直径是6cm,可得半径r=3cm,所以两个半球的体积之和为v球=43r3=4327=36(cm3).又圆柱筒的体积为v圆柱=r2h=92=18(cm3).所以这种“浮球”的体积是v=v球+v圆柱=36+18=54169.6(cm3).(2)根