2020-2021学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课时素养评价新人教A版选修2-2

1、2020-2021学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课时素养评价新人教a版选修2-22020-2021学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课时素养评价新人教a版选修2-2年级：姓名：课时素养评价十二定积分在几何中的应用(15分钟30分)1.直线x=-1,x=1,y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为f(x)dx;f(|x|)dx;|f(x)|dx;2|f(x)|dx.其中,正确表示的个数为()a.0b.1c.2d.3【解析】选c.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当f(x)0时,平面图形的面积为f(x)

2、dx=2f(x)dx;当f(x)0)图象下方的阴影部分区域,则阴影部分e的面积为()a.ln 2b.1-ln 2c.2-ln 2d.1+ln 2【解析】选d.由题意,阴影部分e由两部分组成,因为函数y=(x0),当y=2时,x=,所以阴影部分e的面积为2+dx=1+ln x=1+ln 2.4.设a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=_.【解题指南】本题考查利用定积分求封闭图形的面积,求出y=的原函数即可得到面积.【解析】求曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积,即dx=-0=a2,解得a=.答案:5.求由抛物线y2=,y2=x-1所围成图形的面积.【解

3、析】在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形,如图.方法一:以x为积分变量.由得两个抛物线的两个交点坐标分别为a,b.可求得p的坐标为(1,0),则所求面积s=2=2=.方法二:以y为积分变量.由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为a,b.可求得p的坐标为(1,0),则所求面积s=2(y2+1-5y2)dy=2=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在下面所给图形的面积s及相应表达式中,正确的有()a.b.c.d.【解析】选d.错误,s=f(x)-g(x)dx;错误,s=2dx+(2-2x+8)dx;正确.2.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图

4、形的面积为()a.1b.2c.3d.4【解析】选a.由x2+2=3x,得x=1,x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6),所求的面积为s=(x2+2-3x)dx+(3x-x2-2)dx=+|=1.3.已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,sin x),f(x)=ab,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()a.b.c.d.【思路导引】求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选c.由a=(sin x,cos x),b=(cos x,sin x),得f(x)=ab=2sin xcos x=s

5、in 2x,当x时,sin 2x0;当x时,sin 2x0)围成图形的面积是,则c等于()a.b.c.1d.【解析】选b.由得x=0或x=.因为0xcx3,所以s=(x2-cx3)dx=-=.所以c3=.所以c=.5.如图,在一个边长为1的正方形aobc内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图,向正方形aobc内随机投一点(该点落在正方形aobc内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()a.b.c.d.【解析】选d.依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于dx=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.二、填空题(每小题5分,共15分)6.抛物线y=-x

6、2+4x-3及其在点a(1,0)和点b(3,0)处的切线所围成的图形的面积为_.【解析】由y=-2x+4,得点a,b处切线的斜率分别为2和-2,则两切线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.由得c(2,2).所以s=sabc-(-x2+4x-3)dx=22-=2-=.答案:7.已知函数f(x)=x2+1的定义域为a,b(a1,若曲线y=与直线y=0,x=1,x=a所围成的封闭图形的面积为2,则a=_.【解析】 曲线y=与直线y=0,x=1,x=a所围成的封闭图形的面积s=dx =ln x=ln a-ln 1=ln a=2,所以a=e2.答案:e2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函

7、数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图,直线y=0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为,求f(x)的解析式.【解析】由f(0)=0得c=0.f(x)=3x2+2ax+b,由f(0)=0得b=0,所以f(x)=x3+ax2=x2(x+a),则易知图中所围成的区域(阴影)面积为-f(x)dx=,从而得a=-3,所以f(x)=x3-3x2.10.已知f(x)为一次函数,且f(x)=xf(x)dx+1.(1)求f(x)的解析式.(2)求直线y=f(x)与曲线y=xf(x)围成平面图形的面积.【解析】(1)设一次函数f(x)=kx+b(k0),由f(x)=xf(x)

8、dx+1得kx+b=x(kx+b)dx+1=x+1=(2k+2b)x+1,所以b=1,k=2k+2b,即k=-2b=-2,所以f(x)=-2x+1.(2)由消去y,得2x2-3x+1=0,解得x1=,x2=1,大致图象如图,所求平面图形的面积为s=(-2x2+x)-(-2x+1)dx=(-2x2+3x-1)dx=.1.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线形(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.【解析】以梯形的下底所在直线为x轴,上、下底边的中点连线所在直线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=,故抛物线的方程为y=x2.最大流量的比即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6 m,故梯形的面积为=16(m2),而当前的截面面积为2dx=2=(m2),故原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.答案:1.22.已知曲线c1:y2=2x与c2:y=x2在第一象限内的交点为p.(1)求过点p且与曲线c2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示的阴影部分)的面积s.【解析】(1)曲线c1:y2=2x与c2:y=x2在第一象限内的交点为p(2,2)