空间向量与立体几何

1、w/x题型专题(十)空间向量与立体几何主要考查麹出知识、基本技能.应用所学分析解决冋题的能力考点一：利用空间向量证明空间位置关系一-一“一-一“一-二二掘啟確隔面貳祛面直庇贰新羅珮题 MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 设直线(的方向向屋为a =(G，b，q).平而a, B的法向量分别为u=a2, b2 c2)，”=(6 H C3)(1) 线而平行：l/aa 丄 uQau=0oaia2+bib2+ciC2=0.(2) 线面垂直:(丄 aoauoa = kuoai=ka2， b尸 畑，c、=kc2(3) 而而平行：a / 8u/ vu=

2、kvaikaz, b2 = kb3, ci=kC3(4) 而而垂直：a 丄 8u 丄 #oi/#=0Qa2a3+b2b3+c2C3=0典例如图所示，在底而是矩形的四棱锥P-ABCD中，必丄底 而 ABCD, E, F 分别是 PC, PD 的中点,RA=AB=1. BC=2.(1) 求证：EF平面P4B：(2) 求证：平而P4D丄平而PDC.证明以为原点9AB9AD9AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则4(0,0,0) , B(1,0,0),C(1,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,1),所以 eQ , 1 ,剳,F(0 , 1 ,号,EF = (

3、- j , 0,0) , AP =(0,0,1) , AD = (0,2,0) , DC =(1,0,0) , AB =(1,0,0).(1)因为 EF 二 AB ,所以 EF /AB ,即 EF/AB.又4BU平面PAB , EFQ平面PAB ,所以平面PAB.(2)因为乔万花=(0,0,1)-(1,0,0) = 0 ,命药=(0,2,0)-(1,0,0) = 0 ,所以丽丄万 ,荷丄辰,即 APDC , ADDC又因为 APC AD = A , 4PU平面 PAD , 4DU平面 PAD , 所以DC丄平面PAD因为DCU平面PDC ,所以平面A4D丄平面PDC.名师说“蔭”!(1)建立空

4、间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；0I:(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、i平面的要素；:I|(3)通过空间向屋的运算求出平面向虽或法向虽，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题即时应用在直三棱柱 4BC仙BC 中，ZABC=90 BC=2, CCi=4，点 E 在线段BBi上，且EBi = 1, DF, G分别为CG, GBi, CMi的中点.求证:丄平而ABD；(2)平而EGF平而4BD证明：(1)以B为坐标原点f BA 9BC 9 BBi所在的直线分别为x轴，y轴，2轴建立空间直角坐标系，如图所示,则 8(0

5、,0,0) , D(0,2,2),Bi(0,0,4) , G(0,23).则 A(a,OfO) 9所以丽二(0,0) , BD 二(0,2,2),BJ) = (0,2 , -2),BJ) BA = 0= 0 + 4-4 = 0 ,即BiD丄BA , BQ丄BD又 BM1 BD = B 9 BA , BDU平面 4BD ,因此BQ丄平面ABD.由知，E(0,0,3) , G , 1 , 4； , f(0,1,4).则而=(j , 1 , 1), EF =(0,1,1),BJ) EG =0 + 2-2 = 0 ,丽 丽=0 + 2-2 = 0 ,即BQxEG , BQ丄矿.又 EGA EF=E 9

6、 EG f EFu平面 EGF,因此BQ丄平面EGF.结合(1)可知平面EG平面ABD.考点二：利用空间向呈求线线角、线面角 aa aa ana aa -遵循解题四步骤，关键是把坐标求 * * * * * 1 向量法求异面直线所成的角若异而直线G b的方向向量分别为G b,异而直线所成的角为8,则COS0=|COSGb、I _!肿!_b l-|a| |b|-2.向量法求线面所成的角求出平面的法向量；?，直线的方向向量G设线面所成的角为 0,则 sin 0= |cos I PC -n3IPC l-lnl53所以PC与平面PDE所成角的正弦值为彳考点三：利用空间向呈求二面角一一两角（法向量夹角、二

7、面角）时同时异应辨清 q向量法求二面角求出二而角Q-/-B的两个半平而a与B的法向Mnn n2,若二而角atB所成的角&为锐角，则cos 0= |cos ni, m） I =：； :;:若二而角a-/-B所成的角。为钝角，则cos八.,、.Gele= |cos叶血1 = 一|山| |血|典例（2015还庆高考）如图，三棱锥P-ABC中，PC丄平而ABC. PC=3, ZACB=.D.E分别为线段4B, BC上的点，且CD=DE=逗,CE=2EB=2.证明：DE丄平而PCD：（2）求二而角A-PD-C的余弦值.解证明：由PC丄平面ABC , DEU平面ABC ,得 PC1DE.由CE二2 , C

8、D二DE二逞,得YDE为等腰直角三角形，故CD丄DE.由PCA CD二C , DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE丄平面PCD.由知,“DE为等腰直角三角形,zDCE = .如图，过D作DF垂直CE于F,易知DF二FC二FE二1由zACB二号,/BDF FB 2得 DF/AC, = =,33故ACpDF二以C为坐标原点，分别以百fCBtCP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0) , P(0,0,3) , 4(扌,0,0), E(0,2,0) , 0(1,1,0) , ED = (1 , - 1 ,0) , DP = ( - 1-1,3) , DAG，-1

9、,0设平面PAD的法向量为ni = (xi , yi , zi),由 nr DP =0DA = 0 9I - xi - yi + 3zi = 0 f1故可取ni = (2,1,1)xi - yi = 0 ,由(1)可知DE丄平面PCD ,故平面PCD的法向量门2可取为药，即n2=(1 , - 1,0),从而法向量m,血的夹角的余弦值为,、 nrf?2 /3C0S Sm6，J3故所求二面角八PDC的余弦值为*-名师说“蔭”(1) 待定系数法：设出法向星坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解.(2) 先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向虽，即确定了平面的法向屋说明两平面的法向屋的夹角不一定是所求

10、的二面角.即时应用(2015-贵阳监测考试)如图，已知四棱锥P-ABCD中，以丄平而ABCD. AD/BC, AD丄CD,且 4B丄AC, AB=AC=PA=2. E 是 BC 的中点-2).cosAE丘着侥I即据,PC)二60，故异面直线4E与PC所成的角为60(1)求异而直线4E与PC所成的角:(2)求二而角D-PC-4的平面角的余弦值.解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系4xyz ,则B(2,0,0) , C(0,2,0),P(0,0,2).故 E(1,1,0) , AE =(1,1,0) , PC =(0,2 ,在四边形ABCD中，MB二4C二2,4BUC ,z4BC 二 zAC

11、B 二 45 ,4D|BC , :.zDAC = zACB = 45 ,又 ADCD , :,AD二 CD 二逗,/.D(-1J,0),又 C(0,2,0),:CD =( - 1 , - 1,0) , PC =(0,2 , - 2).设n = (x , y , z)是平面PCD的法向量,则CD丄门,PC ui ,即CD n = 0 f PC n = 0 ,二0,令 x二-1 W t y= 1 , z= 1 ,2y- 2z = 0 ,即 n = ( - 1,1,1) , n =y3 , 又丄平面P4C rAB =(2,0,0)是平面P4C的一个法向量r cos2一3 1所以平面4EF与平面BEC

12、所成锐二面角的余弦值为|.名师说“蔭”建立空间直為坐标系的基*思蘋是寻找其中的线线垂直关系(上题是作出BQME)，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的 垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间 直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称即时应用(2015府山一棋)如图，在斜三棱柱zlBC-4iBiCi中，侧面4CC仙 与侧面CBBQ都是菱形，Z4CCi = ZCCiBi=60, AC=2.求证：ABiCCi：(2)若M尸护，求二面角C-AB.-A,的余弦值.解：证明：连接4G , C

13、fii ,则SCG和二BiCG皆为正三角形取CG的中点O ,连 接 OA , OBi ,贝 lj CCi 丄 04 , CG 丄 OB、, OAC 0B=0 9 贝 lj CC丄平面 OAB.,贝 lj CCyiABy.(2)由知，OA = OB=y3 ,又 AB、二承,所以0A0B,如图所示，分别以OB，0G , 04为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系,则 C(0 , -1,0), ei(3 , 0,0) , 4(0,0 , 3) , Z11(O,2 ,心),设平面CAB的法向量为m- (xi , yi f zi),V3xi + 0 -羽zi 二 0 ,所以厂取巾二（1，羽，1）0 -

14、yi -収、=0 ,设平面AABy的法向量为n =（X2 , y2 , Z2）, 因为亟二（羽，0 , 护），丸二（0,2,0）,羽 X2 + 0 -羽 Z2 = 0 , 所以Bn = （1,0,D .0 + 2旳 + 0 二 0 ,nI z . mn2 JlO则cosS二丽而二时二5 因为二面角C4BiA为钝角，所以二面角C-AB.-A.的余弦值为-睜.夯实囹一步.成绩步步高W91 已知三棱柱ABCJCC的侧棱与底而垂直，体积为亍底而是边长为羽的正三角形若P为底而xliBiCi的中心，则必与平而ABC所成角的大小为（）5nnA12B3解析：选B如图所示，P为正三角形4ifiiCi的中心，设O

15、为7BC的 中心，由题意知，PO丄平面ABC ,连接OA ,则zP4O即为PA与平面ABC所 成的角在正三角形4BC中,AB = BC = AC = y3 , 则S寻W)2 =学，畑-中心=SxPO =译,:.PO = a/3.tan為。二霜二羽,:.zPAO = .2(2015-贵阳市监测考试)如图，点E, F分别是正方体ABCDB.C 的棱4B, 4A的中点，点用，N分别是线段6E与GF上的点，则与平而ABCD垂直的直线A1N的条数有A. 0条C. 2条解析：选B假设存在满足条件的直线MN ,如图，建立空间直 角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则Di(2,0,2) ,E(1,2,0)，设川

16、(x , y , z) , DA7 = mDE (0my=2m,z = 2-2m 1(2 - m,2m,2 - 2m) 9 同理,若设 =nClF (0n 1),可得 N(2n , 2n,2 n) , MN = (m + 2n - 2,2n - 2m,2m - n)又:MN平面 ABCD.m + 2n-2 = 0 ,m = 3f解得o2n - 2m = 0 ,1门-3,即存在满足条件的直线AIN ,且只有一条3.在正方体4eCD-4iBiGDi中，点E为BBi的中点，则平而AED与平而ABCD所成的锐二而角的余弦值为解析：以4为惊点，aA , A0 ,分别为X轴，y轴，z建立如图所示的空间直角

17、坐标系，设棱长为1 ,则A(0,0,D ,aV5 = (oj , -1),设平面AED的法向虽为m = (1 f y , z),y=2.z二25 二2,2),平面ABCD的一个法向量为n2= (0,0,1) t2 2/cos =377=3-2故所成的锐二面角的余弦值为亍答案：I4. (2015-沈阳市质母监测)在直三棱柱ABCABiCi中，若BC丄AC, ZBAC=y AC=4.点Al为如h的中点，点P为BAI的中点，Q在线段CA上，且AQ=3QC,则异而直线PQ与AC所成角的正弦值为解析：由题意，以C为原点，以4C边所在直线为x轴，以BC边所在直线为y轴，以CG边所在直线为z轴建立空间直角坐

18、标系，如图所示设棱柱的高为a，由zBAC二# ,4C二4，得BC二坏,所以 4(4,0,0) , 8(0,43 , 0) , C(0,0,0),如(4,0 , a) , Bi(0,4/3 ,a) , Ci(0,0 , a) , A(4,0 ,另，彳2 , 2 彳), 0 ,另.所以西=(1,2/3,0) , CA =(4,0,0).设异面直线QP与CA所成的角为e ,所以| cos e = 吟 巳 ,QP-CAQP -CA= 1x4 + 2羽x0 + 0x0 = 4 , | QP | | C4 | = /13x4 = 4/13，得 | cos 01 =由 sin20 + cos20 = 1得，

19、sin20 = |,所以sin &二士辔，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以答案普5. (2015山西省考対质好检测)如图，四棱锥P ABCD中，底而ABCD为梯形，PD丄底而 ABCD, AB/CD, AD丄CD,w(1) 求证：平而PBD丄平而PBC；(2) 设H为CD上一点，满足CH=2HD.若直线PC与平而PBD所成的角的正切值为 晋，求二面角H-PB-C的余弦值.解:(1)证明:由 ADCD 9 ABCD 9 AD = AB= ,可得 BD二逗.BC丄BD.PD丄底面ABCD , PD丄BC ,又 vPDA BD 二 D ,.BC丄平面PBD 9平面PBD丄平面PBC.由(1)Rl

20、JzfiPC为PC与平面PBD所成的角，.tan/BPC 二西，PB二也,PD=1., 42由 CH = 2 HD 及 CD 二 2 ,可得 CH 二 , DH 二 以点D为坐标原点，D4 , DC , DP分别为x轴，丫轴，z轴建立 空间直角坐标系则 8(1,1,0) , P(0,0,1) , C(0,2,0) , H IO , | , 0).-| . HB =(1 , |, oj ,PB =(1,1 , -1) , C=(-1J,0) 设平面HPB的法向量为n = (xi f yi f zi),HP n = O 9 叽心,X1 + 尹二 0 ,取 yi = - 3 ,则门二(1 , -3

21、, -2).设平面PBC的法向量为m =(X2 , y2 , Z2),PB -m = 0 ,则丫X2 + y2 - Z2 = 0 , 即-x2 + y2 = o ,取 X2二 1，则 m= (1,1,2)E /、 mnV21又8s二而帀r八尸故二面角H-PB-C的余弦值为弓.6. (2015-兰州市诊断考试)如图，在四棱柱6CD-4iBiCiDi中，底而ABCD是等腰梯形,AB/CD. AB=2, 8C=CD=1,顶点0在底而ABCD内的射影恰为点C.(1) 求证:4DBC；(2) 若直线DD与直线AB所成的角为扌，求平面ABC与平而ABCD所成角(锐角)的余 弦值.解：证明：连接DiC ,则

22、0C丄平面ABCD ,.DiCBC.在等腰梯形ABCD中，连接AC ,AB = 2 , BC = CD=1 , ABCD ,:.BCAC ,又.Tien DiC = c, BC丄平面ADaC ,丄BC由知，AC , BC , DC两两垂直， 叮azDiDC = 3 ,CD = 1 , DiC二羽在等腰梯形ABCD中，MB二2,6C = CD=1 , AB/CD ,:AC = y3 ,以C为原点，冯，西，CD；分别为x轴，丫轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则 c（o,o,o）,4（羽.0,0）,e（o,i,o）,6（0,0 ,羽），nA 二（羽丄0）,血;二（羽，0,设平面ABCiDi的

23、法向量n = (x , y , z),n AB =0 t由為口可得平面4BCQ的一个法向Sn = （1，羽，1）又CD； = （0,0 ,羽）为平面ABCD的一个法向量，CD -n J5因此 cos =5 ,I CD, | |n|5.平面ABCQ与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为習.7（2015-陕西髙考）如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC. ZBAD=号，4B=BC=1,2=2, F是4D的中点，0是AC与BF的交点.将/XABE沿BE折起到ZMiBE的位置，如图.W图A】(1) 证明：CD丄平而4iOC：(2) 若平而ABE丄平而BCDE,求平而A.BC与平而A.CD夹角的余弦值.

24、解：证明：在题图中，因为二BC二1 , AD = 2 , E是2的中点，zB4D二号，所以 BE1AC.即在题图中，BE丄0人,BE丄0C , OxliA 0C二0 ,从而BE丄平面A.OC.又 CDBE ,所以CD丄平面4iOC.(2)由已知，平面ABE丄平面BCDE ,又由(1)知，BEOA, , BE丄0C ,所以zAOC为二面角ArBE的平面角，所以zAOC二岁如图，以O为原点，丽,OC , OA；为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 因为 4ifi = 4iE=eC = ED=1 , BC|ED ,所以彳乎,0,0)，& 当,0,0), A(o , 0 ,乎),c(o，当,o

25、),得阳=(一芈普,0),乱=(0普,普)，CD - BE = ( - /2 , 0,0)设平面ABC的法向量r?i = (xi , yi , Zi),平面ACD的法向量n2 = (x2 , y2 , z2),平面ABC与平面A,CD的夹角为0 ,nr BC = 0 ,n2- CD = 0 ,X2 二 0 , 得72 - Z2 = 0 ,从而 cos & 二 | cos ni , n2)2二心书x羽3即平面AiBC与平面AiCD夹角的余弦值为晋.8. (2015-北京海淀模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底而四边形ABCD是菱形, ACC BD=O. APAC是边长为2的等边三角形，PB

26、=PD=. AP=4AF.w求证：P0丄底而ABCD.(2) 求直线CP与平而BDF所成角的大小.(3) 在线段PB上是否存在一点AI,使得C川平而BDF? 如果存在，求曙的值：如果不存在，请说明理由.解：证明：因为底面4BCD是菱形，ACCIBD二0,所以0为AC , BD的中点又因为 PA = PC , PB 二 PD ,所以 POiAC 9 P0丄BD ,所以P0丄底面ABCD.p.(2)由底面4BCD是菱形可得ACBD，又由可知POAC ,POBD.如图所示，以0为原点，丙，面，帀分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz由aPAC是边长为2的等边三角形，PB二PD二爭f可

27、得P0二羽,0B二0D二心所以 4(1,0,0) f C( - 1,0,0) , B(0 , V3 f 0) , P(0,0 , V3) 所以CP =(1,0 , 3) , AP = (- 1,0 , 3).由已知可得0?二丙+冷“二,0晋).设平面BDF的法向量为n = (x , y , z)n- OB =0 , 则n-OF =0.令 x= 1，则 z二羽，所以 n = (1,0 , - y3)因为 cosCP , n) =竺=I CP-n2所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为*.所以直线CP与平面BDF所成的角的大4、为30.BA 1设 gp=A(0Z0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是()A.g，5)B. (1,5)D(1,5C.g, 5.解析：选C如图，若使以(4,1)为圆心的圆与阴影部分区域 至少有两个交点，结合图形，