相似三角形知识点及典型例题

1、相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1) 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。(2) 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(3) 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。(4) 判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。(5) 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

2、三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。(6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各种判定均适用。 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：2 2(1)( AD) =BDDC,(2)( AB) =BDBC,2(3)( AC) =CDBC。2 2 注：由上述射

3、影定理还可以证明勾股定理。即(AB) + ( AC) = ( BC)典型例题：例1如图，已知等腰ABC中，AB= AC,AD丄BC于D,CG| AB,BG分别交AD,AC于E、证明：如图，连结 EC, / AB= AC AD丄BC,/-Z ABC=Z ACB AD垂直平分 BC BE= EC, Z 1 = Z 2, /Z ABC-Z 1=Z ACB-Z 2 ,即Z 3=Z 4,又 CGII AB /.Z G=Z 3,4=Z GCE EF 又tZ CEG=Z CEFCEFAGEC EG = CE EC= EG- EF ,故 EB=EF- EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的

4、性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC把原来处在同一条直线上的三条线段BE, EF, EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。FB FD例2 已知：如图，AD是Rt ABC斜 BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于 F,求证：BA = AC证法一：如图，在 Rt ABC中，tZ BAC= Rt Z , ADL BC, Z 3=Z C,又E是Rt ADC的斜边 AC上的中点， ED=2 AC= EC, ./Z 2=Z C,又Z 1 = Z 2, ./Z 1 = Z 3 ,FB BD Z DFB=Z AFD

5、 / DFBAAFD, / FD = AD(1)BD BA又 AD是 Rt ABC的斜边 BC上的高，/ Rt ABM Rt CAD / AD = AC (2)FB BA FB FD由(1) (2)两式得 FD = AC ,故 BA = ACFB FD证法二：过点 A作AGII EF交CB延长线于点 G贝U BA = AG (1)t E是AC的中点，ED| AC / D是GC的中点，又 ADL GC / AD是线段GC的垂直平分线，/ AG= AC (2)FB FD由(1)( 2)两式得：BA = AC ,证毕。【解题技巧点拨】BD本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后

6、通过中间比“AD ”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证.一、如何证明三角形相似例1、如图：点 G在平行四边形 ABCD勺边DC的延长线上，AG交BC BD于点E、卩，则厶AGSs例2、已知 ABC中, AB=AC / A=36 BD是角平分线, 求证： ABCSA BCD例3 :已知，如图， DABC一点连结 ED AD,以BC为边在 ABC外作/ CBE=/ ABD / BCE玄 BAD求证： DB0A ABC例4、矩形ABCD中, BC=3AB E、F,是BC边的三等分点，连结 请证明你的结论。AE、A

7、F、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、 ABC中，在 AC上截取 AD,在CB延长线上截取 BE,使 AD=BE求证：DF?AC=B(?FE例6:已知：如图，在 ABC中，/ BAC=90, M是BC的中点,DML BC于点E,交BA的延长线于点 Db求证：(1) mA=md?me ( 2)AE2AD2MEMD例7:如图 ABC中, AD为中线，CF为任一直线， CF交AD于E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF FB、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8:已知：如图E、F分别是正方形 ABCD勺边AB和AD上的点，且E

8、BAB-。求证：/ AEF=Z FBDAD 39、在平行四边形ABCDAR BR CP DP各为四角的平分线，求证：SQll ABRP| BC例10、已知A C E和BF、D分别是/ 0的两边上的点，且AB| ED, BCll FE,求证:例11、直角三角形ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形,AE交BC于F, FGII AC交AB于G 求证:EFC=FG例12、Rt ABC锐角C的平分线交 AB于E,交斜边上的高 AD于 0,过0引BC的平行线交 AB于F,求证：AE=BFD课后作业一、填空题1. 已知：在厶ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件/ ACP= / APC

9、=或AC2=时, AC刃 ABC2. 两个相似三角形周长之比为 4： 9,面积之和为291，则面积分别是 。3. 如图，DEFG是 Rt ABC的接正方形，若 CF= 8, DG= 4 逅，贝U BE=4. 如图，直角梯形 ABCD中，AD| BC, AD丄CD, AC丄AB,已知 AD= 4, BC= 9，贝U AC =5. ABC中，AB= 15, AC= 9,点D是AC上的点，且AD=3 E在AB上，人。与厶ABC相似，贝U AE的长等于 6. 如图，在正方形网格上画有梯形ABCD则/ BDC的度数为 。第(G题图7. ABC中，AB= AC / A= 36,BC= 1,BD平分/ AB

10、C交于D,贝UB,AD=，设 AB= x,则关于 x 的方程是.&如图，已知 D是等边 ABC的BC边上一点，把 ABC向下折叠，折痕为 MN使点A落在点D处，若BD： DC= 2 : 3, 贝y AM： MN=。、选择题AD 19.如图，在正 ABC中，D E分别在 AC AB上，且 一，AE=BE则有（）AC 3A.A AEDA BEDB.A AEMA CBD C . AED ABDD.A BAD BCD10 .如图，在 ABC中，D为 AC边上一点，/ DBC=Z A, BC= 6 , AC= 3，贝U CD的长为()A.1.4对第(9)題图11.如图,A. 3对B 3BC延长线上一点，

11、C. 5对C.2交：L dc交于.D. 6对E DF,则图中相似三角形共有(12. P是Rt ABC的斜边BC上异于B C的一点，过点 P作直线截厶ABC,使截得的三角形与件的直线共有（）A. 1条B.2条C. 3条D. 4条13. 如图，在直角梯形 ABCD中，AB= 7, AD= 2, BC=3若在 AB上取一点 P,使以J)AB(C相似，满足这样条JLAP、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答下列各题14.如图，长方形 ABCD中, 发，沿BC作匀速直线运动， 线段BD垂直？AB=5, BC= 10,点P从

12、A点出发，沿 AB作匀速运动，1分钟可以到i1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，点，点经过多少时间，线段从B点出PQ恰恰与A第（14）图15 .已知：如图，正方形 DEFG接于Rt ABC EF在斜边BC上, EFU AB于H.求证:=BE- FCB E F C（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角/G外,由BCll AD可得/仁/2,所以 AGBA EGC再/仁/2 （对顶角），由 AB| DG可得/ 4=/G,所以 EGBA EAB例2分析：证明相似三角形应先找

13、相等的角，显然/ C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：/ A=36,AABC是等腰三角形，/ ABC=Z C=72 又BD平分/ ABC 则/ DBC=36在厶 ABCDA BCD中,/ C为公共角，/ A=/ DBC=36 ABCBA BCD例3分析：由已知条件/ ABD/ CBE / DBC公用。所以/ DBE=/ ABC要证的 DBE和 ABC 有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到厶CBEA ABD这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：BC beB

14、C ab在厶 CBEn ABD中，/ CBE/ ABD, / BCE=Z BAD CBE ABD，.=即:=AB BDBE BDBC ab DBEDA ABC中，/ CBE玄 ABD, / DBC公用CBE+/ DBC/ ABD/ DBC/ DBE=Z ABC且=DBE ABCBE BD例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形: （1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC如图：/仁/ 2, / B=/。，则厶AD0A ABC称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与厶EC

15、A解：设 AB=a,贝U BE=EF=FC=3a由勾股定理可求得 AE=、2a ,在厶EAF与厶ECA中,/ AEF为公共角，且 C2所以 EAFB ECAEF AE例5分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF: FE=BC AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK| AB交BC于K,/ DK| AB,. DF: FE=BK BE又 AD=BE. DF: FE=BK AD,而 BK AD=BC AC 即 DF: FE= BC: AC,. DF?AC=B（?FE例 6 证明：（1）v/ BAC=90, M 是 BC 的中点， MA=MC / 1=/ C,/ DMLB

16、C, / C=/ D=9C- / B, / 仁/D,/ 2=/ 2,.山 MAB MDAMAMEMD MA mA=md? me2MA AE ME . AE MA MEMD AD MA AD2 MD MAAE(2) MA3A MDA 二 AD评注：命题1 如图，如果/ 仁/ 2,那么 ABMAACB AB=AD?AG2命题2 如图，如果 AB=AD?AC,那么 ABMAACB /仁/2。MEMD例7分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察AE AF要证明的结论，紧紧扣住结论中“ AE ED的特征，作 DGII BA交CF于G,得厶AE D

17、EG 竺 二匚。与结论DE DG2AFAF1相比较，显然问题转化为证 DG FB。FB12BF2AEED证明：过D点作DGII AB交FC于6则厶AEFA DEG （平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角 形与原三角形相似）竺竺 （1）DE DG/ D为BC的中点，且DGII BF. G为FC的中点则DG CBF的中位线，DG丄BF （2）将（2）代入（1）得：AF2de 1DE - BF22AFFB分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分 别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相

18、似（一个在直角三 角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明:作 FG丄 BD 垂足为 G 设 AB=AD=3k则 BE=AF=K AE=DF=2k BD=3V2k/ ADB=45）,Z FGD=90./ DFG=45. dg=fg=DF V2k BG=3 2k 2k 2k 皂V2AE BG又/ A=Z FGB=90.A AEF GBFAEF=Z FBD分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。SQll AB,只需证明 AR用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明DS证明：在厶A

19、DS和 ARB中。1 1AR/ DAR=/ RAB / DAB / DCP2 PCB / ABC.A ADS ABR 2 2ASAR BR但厶 ADSA CBQ DS=BQ 则，. SQll AB,同理可证，RP| BCAS BQ已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其OA OF 即可，ODOA OBOE OD例10分析：要证明AFI CD实要证明AF | CD只要证明OCBRDS因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。OE OFOA OF两式相乘可得：一OC OBOC OD例11分析：要证明FC=FG从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用 比例线段来证明。要证明 FC=FG首先要找出与证明： AB| ED BCIFE/.与FG FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到证明： FG I AC| BEAB0A A