正多边形的有关计算

1、正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、 定理：正n边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形.二、正多边形有关计算（n -2） 180（1）正n边形角的计算公式：每个内角等于n（n为大于或等于3的整数）；每个外角360。=每个中心角=n .（2）正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正 n边形各元素之间的关系，所以，可以把正 n边形的计算转化为 解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R, 条直角边是边心距 rn，另一条直角边是an18090边长an的一半（即2）；两个锐角分别为中心

2、角的一半 （即 n ）和一个内角的一半（即n ）或（即18090 - n ）.【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例1.某正多边形的每个内角比其外角大100,求这个正多边形的边数.（n - 2） 180360解：设此正多边形的边数为n，则各内角为n，外角为 n ，依题意得:(n - 2) 180360n - n =100解得n = 9答：这个正多边形的边数为9.例2.如图7-42，已知：正三角形 ABC外接圆的半径为 R,求它的边长，边心距、周长和面积解：连结OB过0作OMLBC于M1

3、80/Z BOIW3 =60,二/ 0BIW30011R.om= 2 0B= 2 R,. 丫 3= 2一22R2-(R)2BM= OB2 -OM2 = ;/= 2 RI-/a 3 = BC= 2BM=、3 Rf-/P 3= 3a3 = 3(3 R1 R 3 3/S3 = 3Sboc=3X 2 3 R- 2 =4 R例3. 一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比BD 2)07-43解：如图7-43，设0,0分别是正三角形 ABC正六边形EFGHIJ的中心，分别作ODLBC于D,作0 KXGH180 1于 K,连 OB O G 则在 RtAODB中，/ BOD= 3 =60, BD=

4、 2 a3,:-?3/r 3= OD=BD- ctg60 =6 a3,/S 3= 6Sodb=6X 2 BD- OD11 x 3 x 3=6x 2 x 2 a3x 6 a3 =4 a3.180丄在 RtAO KG 中，/ GO K=6 =30, GK= 2 a6./f6=O K=GK- ctg30a6/S 6 = 12So gk = 12X 2 XGKO K1 13、3= 12X2 x 2 a32 X2 日6 =2a62TS3 =S6 ,33 3.4 a23=2a262a532.a6=2 ,a2、3, 62a6=2 ,即卩已3 : a 22证明：如图7-44 ,设OO是正n边形ABC的内切圆，

5、其中AB与。0相切于D,连OA OD OB知ODLAB丄1 Pl且OD= n ,.S OAB= 2 AB- OD= 2 n r n.T正n边形有n个如同 OAB的等腰三角形，丄E 1/S n = nSOAB=n 2 n r = 2 Rr n.【难题巧解点拨】例1.已知：如图7-45,00半径为R,求。0内接正八边形的边长 a8，边心距5和中心角.解：连结 OA OB并作OQAB于点K,0K 丄 AB 二 AB-2AK0K经过圆心0 360中心角 a =Z AOB=8 =451在 RtAAOK中，/ AK=90, OA= R,Z AO= 2 a = 22.5 故 AK=OAsin ZAO=R-

6、sin22.5 ,/AK= 0.3827R.a 8 = AB= 2AK= 0.7654Rr 8= OK=OA- cosZAOK=R- cos22.5 =0.9239R说明正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.360(2)若正n边形的半径为R,则它的中心角 a = n ,180 180边长 an = 2R- sinn ，边心距 爲=R- cos n .例2.已知如图7-46，等边 ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG勺面积.8S7-46解：设BC切OO于M,连OM OB _则OMLBC180在 RtOMB中，/ BOIW

7、3 =601 1BM= 2 BC= 2 a1 3OM=BM- ctg ZBO=2 a ctg60 =6 a连结OE,作ONLEF于N,则 OE= OM= 6 a180、一 3在 RtONE中，/ EO= 4 =45, OE= 6 a.32、6/EN=OE- sin ZEON=6 a 2 = 12 a、-6/EF= 2EN=6 a、6 a2/S 正方形DEFG= eF= (6 a)2 =6O的半径既说明解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆 是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求岀OO的半径是个突破口12 nRa，利【课本难题解答】例.已知：半径为R的圆内接

8、正n边形的边长为an，求证：同圆内接正 2n边形的面积等于 用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).fT07-47提示：如图7-47，连结OA OB OA AB _则 OA丄AB/四边形OAAB的面积等于1 丄2 AB- OA = 2 Ran丄半径为R的圆内接正2n边形的面积等于 2 nRa1半径为R的正八边形的面积等于 2 4Ra=2、2 R【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中【典型热点考题】例1.已知正六边形的半径为 3cm,则这个正六边形的周长为cm.（2000年江苏南通）分析：转化为直角三角形求出正六

9、边形的边长，然后用P6= 6an求出周长.1例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是-63A. 2B. 4分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选()64C.3D. 3 （2000年北京石景山）(A).【同步达纲练习】例2.已知正多边形的边心距与边长的比为2，则此正多边形为（）.A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形（2000年浙江台州）分析:将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选（B）.一、填空题1. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成 个全等的直角三角形.2. 正三角形的半径为 R则边长为，边心距为，面积为.若正三角形边长为a，则半径为.3. 正n边形的一个外角

10、为 30 则它的边数为 ，它的内角和为 .4. 如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数n=.5. 正六边形的边长为 1,则它的半径为 ，面积为.6. 同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为 .7. 正三角形的高：半径：边心距为 .8. 边长为1的正六边形的内切圆的面积是 .、选择题1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（）A. 2 : 1B.2 : 1C.1 :.2D.1 ： 22.两圆半径之比为2： 3,小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为（）A.2 : 3B.4 : 9C.16 : 27D.43.正三角形的外接圆半径是4cm,以正三

11、角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为（）A.8 ,6cmB.4cmC.2 勺6 cm D. 6 cm三、计算题1.已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm, 10 3 cm,求：这个多边形的边长和面积2.已知。0的半径为R,求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长【素质优化训练】1.如图7-48所示，已知三个等圆。AO BOC两两外切，E点为。AOC的切点，EDLBC于D,圆的半 径为1,求DE的长.2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面 积等于原正六边形面积的三倍.【知识探究学习】DCIfc3 32633A B C D 为2 2.（略）【素质优化训练】请疏気供业后再画菩黒!参考答案【同步达纲练习】7.3 ： 2 ： 1 8.4 n1.A 2.C 3.C三、1.边长为20cm,面积为600 3 cmf2.所求正方形的周长为 22rS正方形ABCDEF(1)试猜想 S正方形abcd与S.aef的大小关系，并证明你的结