正十七边形尺规作图与详解

1、解读数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30-1855.2.23),徳国数学家、物理学家、天文学家。有一天，年幼的髙斯 在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算岀来了。可是万万没想 到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实 高斯的答案是对的。这时的髙斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力,有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布徳勒让全班学生计算1+2+3+4

2、+5+98+99+100=?的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布徳勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是 需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 =3, 3+3 = 6, 6+4 = 10,”数越来越大，计算越来越困难。但是 不久，髙斯就拿着写着解答的小石板走到布徳勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？ “做完了？ 这么快就做完了？肯泄是胡乱做的！”布徳勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不 走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。”布徳勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着5050, 一点也没有错！高斯的算法是

3、1 + 2 +3+ 98 + 99 + 100100+99 + 98+3+2+1101-1-101 + 101+101 +101 +101 = 101 100 = 10100word10100-2 = 5050神童局斯高斯并不知道，他用的这种方法，英实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时 他才八岁！1796年的一天，徳国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费 吹灰之力就做了岀来了。第三道题写在期一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的宜尺，作出一个正十七边形。 这道题把他难住了一一所学过的数学知识竟然对解岀这逍题没有任何帮助。时间一分

4、一秒的过去了，第三道题竟 亳无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口壺岀曙光时，他终于解决了这道难题。当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通 宵，”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米 得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开 这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。在这件事情发生后，髙斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解 出来。1796年3月30日

5、，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表关于正十七边形作图的问题。他显然以 此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而髙斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十 七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个 圆。”1877年布雳默尔奉汉诺威王之命为髙斯做一个纪念奖章。上而刻着：“汉诺威王乔治V.献给数学王子髙斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi) * 、自那之后，髙斯就以数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是

6、作出COS 为此要建立求解C。罟的方程。设正17边形中心角为a ,贝lj 17a =2r ,即16a =2r a故 sin16a= sina ,而sin16a= 2sin8acos8a= 4si n4acos4a cos8a=8 sin2acos2a cos4a cos8a=16 sinacosa cos2a cos4a cos8a因sina工0,两边除以sina ,有16cosa cos2a cos4a cos8a =1由积化和差公式，得展开，得4(cosa cos4a +cosa cos12a +cos3a cos4a +cos3a cos12a )=1再由积化和差公式，得2(cos3a

7、+cos5a )+(cos11+cos13a ) + (cosa +cos7a ) + (cos9a +cos15a )=1注意到 cos11a = cos6a , cos13a =cos4a , cos9a =cos8a , cos15a =cos2a , 有2(cosa +cos2a +cos3a +cos4a +cos5a +cos6a +cos7a +cos8a )=1设 a = 2(cosa + cos2a +cos4a + cos8a ), b = 2(cos3a + cos5a +cos6a + cos7a ),贝a + b =1乂 ab = 2(cosa +cos2a +cos

8、4a +cos8a )-2(cos3a +cos5a +cos6a +cos7a )=4cosa (cos3a +cos5a +cos6a +cos7a ) + 4cos2a (cos3a +cos5a +cos6a + cosZa ) + 4cos4a (cos3a +cos5a +cos6a +cos7a ) + 4cos8a (cos3a +cos5a +cos6a + cos7a )再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：ab = 2 (cos2a +cos4a ) + (cos4a +cos6a ) + (cos5a +cos7a )+(cos6a +cos8a

9、 ) + (cosa +cos5a ) + (cos3a +cos7a ) + (cos4a + cos8a ) + (cos5a +cos9a ) + (cosa +cos7a ) + (cosa +cos9a ) + (cos2a +cos10a )+(cos3a +cos11a ) + (cos5a +cos11a )+(cos3a + cos13a ) + (cos2a +cos14a ) + (cosa +cos15a )注意至cos9a =cos8a , coslOa =cos7a , cos11a =cos6a , cos13a =cos4a , cos14a = cos3a ,

10、 cos15a =cos2a , 有ab = 2x4(cosa +cos2a +cos3a +cos4a +cos5a +cos6a +cos7a +cos8a )=4因为 cosa + cos2a +cos8a =(cos+cos)+cos01717174(cosa +cos3a )(cos4a +cos12a )=1word龙-2-3 1-2 竺17竺17 s 0又因为 cos4a =cos 017所以 8=cosa +cos2a +cos4a +cos8a 0又 ab = -4 0, b 0可解得-1 + V17-l-Vna 9 b 2 2再设 c=2(cosa +cos4a ), d

11、= 2(cos2a + cos8a ),则 c+d=acd = 2(cosa + cos4a )-2(cos2a + cos8a )=4 (cosa cos2a +cosa cos8a +cos4a cos2a +cos4a cos8a )=2 (cosa +cos3a ) + (cos7a +cos9a ) + (cos2a +cos6a ) + (cos4a +cos12a )注意到 cos9a =cos8a , cos12a =cos5a , 有cd = 2(cosa +cos3a ) + (cos7a +cos8a ) + (cos2a +cos6a ) + (cos4a +cos5a

12、 )=2( cosa +cos2a +cos3a +cos4a +cos5a +cos6a +cos7a +cos8a )=T因为 0 a 2a 4a 8a cos2a +cos8a 或 2(cosa +cos4a ) 2(cos2a +cos8a ) 即 c d,又 cd = -1 0, d 0可解得a + /a2 +42类似地, 设 e = 2(cos3a +cos5a ), f=2(cos6a +cos7a )则 e+f=bef=2(cos3a +cos5a )-2(cos6a +cos7a )= 4(cos3a cos6a +cos3a cos7a +cos5a cos6a +cos5

13、a cos7a )=2 (cos3a +cos9a )+(cos4a +cos10a ) + (cosa +cos11a )+(cos2a +cos12a ) 注意到 cos9a =cos8a , coslOa =cos7a , cos11a =cos6a , cos12a =cos5a , 有 ef=2(cos3a +cos8a ) + (cos4a +cos7a ) + (cosa +cos6a ) + (cos2a +cos5a )=2( cosa +cos2a +cos3a + cos4a +cos5a +cos6a +cos7a +cos8a )因为 0 3a 5a 6a 7a co

14、s6a , cos5a cos7a两式相加得 cos3a +cos5a cos6a +cos7a2(cos3a +cos5a ) 2(cos6a +cos7a )word即 e f,又 ef=-1 0, f 0可解得b + ylb2 +42f=b_J，+4 】2由 c=2(cosa +cos4a ), 得 cosa +cos4a =,22龙 i_ ccos 十cos =17172e = 2(cos3a +cos5a ),应用积化和聾公式，得cosa cos4a =上，即42兀 8龙 coscos1717因为。 菩普4,所以遇护遇評所以备“宀。8龙 _ c-Vc2 一 4亡、 cos =J174

15、于是，我们得到一系列的等式:_ 1 + y/l7 , _ -1-VF7 _ a + la2 +4_ b + ylb2 +4,b , c * e 2 2 2 22龙 _ C+ yjc2 -4”cos =174有了这些等式，只要依次作出a、b、c、e,便可作出cos菩。F6B步骤一：给一圆O,作两垂直的半径OA、0B,作 C 点使 0C=1/4OB,作 D 点使ZOCD = 1/4ZOCA,作A0延长线上E点使得ZDCE = 45度。步骤二：作AE中点并以M为圆心作一圆过A点，此圆交0B于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线0A于G4和G6两点。步骤三：过G4作0A垂直线交圆0于P4,过G

16、6作0A垂直线交圆0于P6,则以圆0为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。连接P4P6,以1 /2 P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。历史最早的十七边形画法创造人为高斯。髙斯(1777-1855年)，徳国数学家、物理学家和天文学家。在 童年时代就表现出非凡的数学天才。三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的 钦佩a 1799年以代数基本怎理的四个漂亮证明获得博士学位。髙斯的数学成就遍及各个领域，其中许多 都有着划时代的意义。同时，高斯在天文学、大地测星学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。1801年，髙斯证明：如果k

17、是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。髙斯本人就 是根据这个左理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。道理当时，如果髙斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，髙斯就不会画岀这个正 十七边形。这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。正十七边形的证明方法正十七边形的尺规作图存在之证明：设正17边形中心角为a,则17a=360 ,BP 16a=360度a故 sin 16a=sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sin acosacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有：16cosacos2acos4acos8a=-1又 fH 2cosacos2a=cosa+cos3a 等，有2(cosa+cos2a+cos8a)二注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8Noay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有：x+y=-1/2又 Xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a