求数列通项方法汇总

1、求数列通项方法汇总数列5级 数列求和 三大方法数列7级 等差数列与等比数列数列6级 求数列通项方法汇总知识切片叠加法例丄、演练丄求数列通项方法汇总由递推公式求通项叠乘法例药演练2构造法例3、例4、演练3倒数法例5、演练4前n项和与通项例队例7、演练5、演练百5.1由递推公式求通项公式的方法总结教师备案491已知数列的递推公式， 求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法， 本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解

2、法与技巧.2 教师在上课时需要注意：确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项.fa 1 明确数列可以产生衍生数列，如：1，/ , :Sn Ef,-等等，而这些数列中的ln J“ n”也会随着an的项号的变化而变化这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到， 但一定要举一些例子让学生体会.教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为 等差数列或等比数列的递推式.高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期 数列.比如，an 2an 1 -an就是周期数列.考点1:叠加法知识点睛51由数列的递推公式求通项公式

3、的方法有：(以下nN* , n 2 )n方法1 .叠加法：若数列递推公式为an二an f (n),则通项an p f(i) i仝我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如an =an f n的递推式,且f (2) . f (n)的和是可求的，我们可以用同样的方法来求an，将递推式变形为a 一an 1 = f (n),a2 -a1 = f 2将各式相加，得an = f n j亠 f n -1 J|l f 2 厂a1 (n 2 , n N ).经典精讲【铺垫】已知数列an满足a!= 1,an1= ann nN*，求an.【解析】2ann -n 2_ 2【例1】亠已知数列an满足an1

4、 =an，3n2 (n N*)，且a2,求a.轟已知数列 an满足a1 ,且an =an4 + 3n ( n 2 ),求an.& 已知数列 an满足 a1, an 1 二an T 2 2n n 1 ,求 a.代在数列an中，cf 1 )3=2 ,an 1 =an ln 1 ,则 an =()nA 2 l n nB 2 (n -1)ln nC 2 n In nD. 1 n In n【解析】23n +nan ：23n -12 an =2n _n .A;【点评】在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错正确写出要累加的首项和末项很重要.考点2:叠乘法由数列的递推公式求通项公式的方法有：(以下

5、n N * , n 2 )方法2 叠乘法：若数列递推公式为an = f( n) a n丄，则通项an =& f (2) f (31 f (n).教师备案 我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如筑=f (n) a的递推式，且f(2) f 3山f(n)的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求an ,将递推式变形成汁2将各式相乘，得an二f n f n -1 If 2印n2 , rv N .【铺垫】已知数列an中，& =1,=-，求aann【解析】an = n.【例2】代已知数列中，a1 =1 ,2nax =(n 1)an，则数列 為的通项公式为(nnA 班B 尹代已知数列:an 中a

6、i,an2n -32n 1小 nn +1C Tn D n2 -12andn 2)，求数列的通项公式.宀已知数列an中，a1 =1 ,an、an 1 - an = -2n2, n J N j ,求 an .n _1【解析】anan124n -1 n 12n考点3:构造法由数列的递推公式求通项公式的方法有：(以下n N * , n 2 )方法3 .构造法： 若数列递推公式为 an =banl c (b , c ：= R，且b =1 , c =0)，可以设an = b(an亠；.)成立, cfc i解得，c ，即anc 是等比数列.b 1i b -1 ”an =b an丄-c(n)(其中b R，且b

7、 =0 , b=1 , c(n)是关于n的多项式函数)， 可设an - g(n) =b(an-g(n -1)，其中g(n)为与c(n)的次数相等的多项式函数，各项的系 数都待定，通过比较bg(n 1)-g(n)与c(n)的各项系数确定待定系数，即:an g n ；为等比数列； an =b an 丄 c qn，其中 b , c ,q R 且 b=0 , b=1 , q = 0 , q=1 .aaI a 若b=q，则n,即-4为等差数列；qqlq J 若b = q，则可以设an A qn =b (and A qn);也可两边同时除以bn或qn :得肆=：警.飞9或气少.第飞.b bq q q 构造

8、法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列(叠加)、类似等比数列(叠乘).它主要处理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：an! =b an c ；anb an c(n).这两种递推形式的处理方式如下： 1=b an c , b =0 ；与等比数列的递推公式 an 1二ban作对比，发现多一个常数c,故考虑构造一个等比数 列，于是令an 1*喀. =b(an )，解得，从而得到a 的表达式，解得a.的表达式； 例3就是这种形式. % 1ban c(n),当b =1时，即a. 1=c(n)，且数列c(n)可以求和时，就是

9、叠加法”的情形，即 =(% - *4) 4 an2)Fl 心2 - 印)玄！；当b =1时，i. c(n)?是等差数列二c(n)二pn q，故c(n)也可以像c 一样分解： 令 an 1 Ia(n 1) B I - b bn (An B),可解得 A , B 的值, 于是a. -(An B)?成等比数列，可得到an的通项公式.例3就是这种形式.ii.当：c(n) ?成等比数列时，即an1 =banqn， aaca若b二q，两边同除以qn 1，则帯 ；，得到数列 4 是一个等差数列;qqqlq J若b，则用待定系数法：设 an i A qn 1 = b (an A qn);也可两边同时除以bn

10、1或qn1 : 得算；a； 2 S或苹一.学 ,b b b e 丿 q q q qfa 1前边的递推式中 V 可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用(i )lb J中的待定系数法得到一个等差数列.例3就是这种形式.【例3】 宀在数列an中，ai =1，当n 2时，有a3anj 2，求an.* * 在数列；af 中，a1 =2 , an “ = 4an - 3n 1, n N.求 an.【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？女口：在数列 给中，an 1 =4an -3n2 1 ,印=1 , n N .求a.儿已知数列faj满足at - -1 , a. fan-

11、2n J( n 2)，求a.【解析】an=23n-1.an才n .【追问】2n 12 222annn+ -939an=3n1 _2n .【挑战十分钟丨 在数列：an中，an 1 =2an 2, a1，求：an的通项公式.在数列 Q f中，an 1 =2a“ n,印=1，求给的通项公式. 在数列 Q f中，an 1 = 2an 3n, a1 =1，求 g f的通项公式.n _1【解析】an =3 2 2 . an =3 2n-n T . an =3n -2n .【例4】：数列:an /中,a1,a. 1=2 1a.*,求数列：aj的通项公式.I n丿 2【解析】an =? n 2n -n I .

12、3 -（2丿【点评】本题和例 3的区别在于，例 3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列.考点4:倒数法知识点睛55由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下n N * , n 2 ）方法4 倒数法：若数列递推公式为 ana，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形.ban 丄 +c 除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘a法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为an n 的分式递推数ba. +c列这样的

13、数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数c后分子上就没有an了，实现了 变量分离”得到 +b的形式，于是数列2丄满足 an anan的递推式就可以通过叠加法（ C ）或构造法（c =）去求通项了.5.2an两种形式的处理【例5】已知数列an满足a -，a.*-，则an-.3an +4八已知在数列中，a =1, an 2an q -a. =0，求数列的通项公式.【解析】 1 ；2 12n 3考点5:前n项和与通项1已知S求an，直接用公式:4Si , n =1 2丄,2 .已知an与Sn的关系有两种处理方式: 把题目中的an用Sn-Sn丄替换，转化为关于5的递推关系，

14、从而得到S.的通项公式，再转为an 的通项公式. 分别写出Sn和Sn 3的表达式，两式相减转化为关于 an的递推关系.注意：使用an =Sn -Snj得到的通项是在n 2这个前提下成立的，所以要注意验证n=1的情况.由an与Sn的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结.例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以.【铺垫】已知在数列中，ai=1,Sn= n2an,求数列 F 的通项公式.【解析】an【例6】 為已知数列aj中，a. 0，且对于任意正整数n有 =丄务+丄求通项a.2 Ian )【解析】an二.n -rn -1

15、.【点评】此题即属于将 an用Sn -SnA替换，进而转化为关于 Sn的递推关系，从而得到 Sn的通项公式， 再转为an的通项公式如果用 5和Sn丄的表达式相减的话则很难求出通项.【例7】：设：an 是正数组成的数列，其前 n项和为Si，并且对于所有的自然数 n , an与1的等差中 项等于Sn与1的等比中项，求数列 F 的通项公式.【解析】an =2n T .【备选】(2010朝阳二模理20)已知 d是递增数列，其前n项和为0 , a1 1，且10Sn二2an 1 an 2 , n N .求数列 的通项an ； 是否存在m,n,kN ,使得2 am an二比成立？若存在，写出一组符合条件的m

16、, n,k的值；若不存在，请说明理由.1【解析】an(5nT). 满足条件的正整数 m, n, k不存在，证明如下： 假设存在m, n, k N ,使得2 am an二ak . 小1贝V 5m 一1 5n 一15k -1 .3整理，得2m - 2n k二35显然，左边为整数，所以 式不成立.故满足条件的正整数 m, n,k不存在.华山论剑 若数列CaJ的递推公式的一般形式为二pa. ya.丄，这时的通项公式也可以求出.分两种情况： 当 P q =1 时，有 an I-A = 7（an _%）.a i -a. ?是以a? 为首项，_q为公比的等比数列. 当p q 时，存在:-,-满足an 1-

17、n- -（an - 3n丄），与an 1二panqanA比较系数得 - - P，- -q .可见:-,一：是二次方程t2 - pt -q =0的两个根，通过解此方程求：，的值，再进一步推导an的表达式.这种方法又称特征根法.下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要求，这道题仅供学 有余力的同学选做.（2009年全国高中数学联合竞赛一试）已知p , q q厂0是实数，方程 x2 -px q =0有两个实根二,:，数列 佃肆 满足a1 = p ,2ap -q , anpan 丄一 qa n =3 ,4 , ,|l求数列:a/?的通项公式（用：，表示）；若p =1 , q =丄，

18、求a的前n项和.4【解析】 由韦达定理知上二q =0,又=p，所以an 二 pan iqan/ 二： ：an丄an/ ,n = 3, 4 , 5, ,11整理得 an - .：；a A =- an A - an令bn二ani - a，则bn： bn n =1 , 2 , ,|l .所以是公比为:的等比数列. 数列竝的首项为：b1 =a2 -泊=p2 -q - ： p - -2 . 所以 b： -：-n = ：-n1，即 an 1 - 61 n =1,2 JU .所以 aman *n1 n =1, 2,山.当 I = p2 -4q =0 时，：=：-0 , at = p = :- =2: , a

19、. 1 = ： a.叱n 1 n =1, 2 , ,|l 变为 a. 1a.亠圧 i n =1, 2 , , 11 .整理得，一一 一= 1, n =1,2 ,|1 .fa aff 所以，数列 至 成公差为1的等差数列，其首项为 色二N =2 .ot Ja ct所以駕=21 n_1二n 1 . a于是数列laj的通项公式为a.二n 1 ： n ；当.1 = p2 _4q . 0 时，、| ：,an* = 0an +an+ = Ban +牛兰（/P -CL:.n1P -an半整理得an !：p a an n 1n TTT-,n =1, 2 , , 11 rn* 1所以，数列 an 成公比为一：的

20、等比数列，I p-aJ22n2其首项为ai 二 1 =一二一 所以anP -CtP -ot P -a:n 1- n 1于是数列的通项公式为anP -Ctr r.12右 p =， q ，则.：=p 4q = 0，此时:-=:4：n1 n y，2，山.n 1 ：2P -a P -cl12 由的结果得，数列%的通项公式为an=(n+1)g=2n ，所以，际的前n项和为5 =|吩土山希宁，Isn 二 2 2 山営2 2 2 2 2 23 n亠3以上两式相减整理得产石-尹，所以32n 此题老师可以再提及斐波那契数列，它的递推公式为an = an -1 an , n，N，也是个一二阶递推式，可以用特征根法求得通项公式.实战演练【演练1】已知数列an中，a2, anan 2n(n，N*)，则外二【解析】【演练2】在数列：an?中，a =1 , 2an 1 - an 则an k nJ【解析】59【演练3】在数列中,【解析】5 1ai， an 1an6 31