九年级数学中考复习抛物线与存在性问题8

1、抛物线与存在性-8一、解答题（共30小题）1、（2010河源）如图，直角梯形OABC中，OCAB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标2、（2010江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M点P为线段FG上一个动点（与F

2、、G不重合），PQy轴与抛物线交于点Q（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由3、（2010吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x

3、轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的SPAG=SPEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由4、（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果可保留根号）5、（2010荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点

4、A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由6、（2010锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x22x8=0的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；

5、（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由7、（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P（1）求点A的坐标，并判断PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设CDP的面积为S，求S关于m的关系式8、（2010江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴

6、交于两点A（1，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BDCA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由9、（2010丽水）ABC中，A=B=30，AB=2，把ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），ABC可以绕点O作任意角度的旋转（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴经过点C，请你探究：当a=，b=，c=时，A，B两点是否都

7、在这条抛物线上？并说明理由；设b=2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由10、（2010龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC试判断EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PFED交直线MN下方的抛物线于点F问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，

8、请说明理由11、（2010临沂）如图：二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于A（，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由12、（2010茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3ab=1（1）求a，b，c的值；（

9、2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿AB，BC运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，EBF的面积为S试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由13、（2010南宁）如图，把抛物线y=x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y

10、轴于点E（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得SABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由14、（2010綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点B（12，0）和C（0，6），对称轴为x=2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动

11、，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由15、（2010盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；（3）连接CB交抛物线

12、对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由16、（2010攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax2+b（a0）交于A（4，2），B（6，3）两点抛物线与y轴的交点为C（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M，是MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P使得PAC的面积是ABC面积的，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由17、（2010曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛

13、物线y=（xh）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D（1）求h、k的值；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOM与ABC相似若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由18、（2010黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应

14、的抛物线上是否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由19、（2010三明）如图，抛物线经过点A（12，0）、B（4，0）、C（0，12）顶点为M，过点A的直线y=kx4交y轴于点N（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图）当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由20、（2010沈阳）如图1，在平

15、面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（16，0），与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合）设点A的坐标为（m，n）（m0）当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点，若存在，请求出

16、m的值；若不存在，请说明理由21、（2010泰州）如图，抛物线y=x2+c与x轴交于点A、B，且经过点D（）（1）求c；（2）若点C为抛物线上一点，且直线AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，试说明AC平分BD，且求出直线AC的解析式；（3）x轴上方的抛物线y=x2+c上是否存在两点P、Q，满足RtAQP全等于RtABP，若存在求出P、Q两点，若不存在，说明理由22、（2010随州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角

17、形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由23、（2010宿迁）已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由24、（2010威海）（1）探究新知：如图1，已知ADBC，AD=BC，点M，N

18、是直线CD上任意两点求证：ABM与ABN的面积相等如图2，已知ADBE，AD=BE，ABCDEF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断ABM与ABG的面积是否相等，并说明理由（2）结论应用：如图3，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得ADE与ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由25、（2010潼南县）如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析

19、式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连接DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由26、（2010铜仁地区）如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；（2）当PDOA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得EPM为直角三角形？若存在，求出M点的坐

20、标；若不存在，请说明理由27、（2010潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）以AB为直径作M，过抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，并与M的切线AE相交于点E，连接DM并延长交M于点N，连接AN、AD（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由28、（2010湘潭）如图，直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线y=ax2+bx+c

21、过A、C、O三点（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；（3）抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由29、（2010武汉）如图，抛物线y1=ax22ax+b经过A（1，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围（3）在同一平面直角坐标系中，两

22、条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与（2）中的函数图象交于点F、H问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由30、（2010烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx3a过点A（1，0），B（0，3），与x轴交于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2010河源）如图，直角梯形OA

23、BC中，OCAB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；直角梯形；圆周角定理。专题：压轴题。分析：（1）设以BC为直径的圆的圆心为M，由于M过点D，由圆周角定理可得BDC=90；即可证得ABDODC，可用OD表示出DA，根据相似三角形得到的比例线段，即可求得OD的长，由此可得到点D、E的坐标；

24、（2）用待定系数法求解即可求出该抛物线的解析式；（3）首先求出直线CD的解析式；由于CDBD，且点C在抛物线的图象上，因此C点就是符合条件的Q点；同理可先求出过B点且平行于CD的直线l的解析式，直线l与抛物线的交点（B点除外）也应该符合Q点的要求解答：解：（1）取BC的中点M，过M作MNx轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心；点D是M上的点，且BC是直径，BDC=90；OCD=BDA=90ODC；又COD=OAB，OCDADB；OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，31=OD（4OD），解得AD=1，OD=3；点D在点E右边，OD=3，OE=1；即D（3，0），E（1，0）；（2）设抛

25、物线的解析式为y=ax2+bx+c，（a0），依题意，有：，解得；y=x2x+3；（3）假设存在这样的Q点；BDQ以D为直角顶点；由于CDBD，且C点在抛物线的图象上，所以C点符合Q点的要求；此时Q（0，3）；BDQ以B为直角顶点；易知直线CD的解析式为：y=x+3；作过B的直线l，且lCD；设l的解析式为y=x+h，由于l经过点B（4，1），则有：4+h=1，h=5；直线l的解析式为y=x+5；联立抛物线的解析式有：，解得，；Q（1，6）；综上所述，存在符合条件的Q点，且Q点坐标为（0，3）或（1，6）点评：此题主要考查的圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点

26、坐标的求法、直角三角形的判定等知识的综合应用，综合性强，难度较大2、（2010江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQy轴与抛物线交于点Q（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写

27、出点P的坐标；若不能，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）在RtODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）易知AOD是等腰Rt，若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似，那么PQM也必须是等腰Rt；由于QPM90，因此本题分两种情况：PQ为斜边，M为直角顶点；PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，

28、由此可求出符合条件的P点坐标；（3）若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；由于当NQPM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MNPQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可解答：解：（1）在RtBDC中，ODBC，由射影定理，得：OD2=OBOC；则OB=OD2OC=1；B（1，0）；B（1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线

29、的解析式为：y=a（x+1）（x4）（a0），则有：a（0+1）（04）=4，a=1；y=（x+1）（x4）=x2+3x+4；（2）因为A（2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立，解得F（1，3），G（1+，3+）；设P点坐标为（x，x+2）（1x1+），则Q（x，x2+3x+4）；PQ=x2+3x+4x2=x2+2x+2；易知M（，），若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似，则PQM为等腰直角三角形；以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xMxP|，即：x2+2x+2=2（x），解得x=2，x=2+（不合题意舍去）P（2，4）；以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xMxQ|

30、，即：x2+2x+2=x，解得x=，x=（不合题意舍去）P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2，4）或（，）；（3）易知N（，），M（，）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，m2+3m+4）；（1m1+）PQ=m2+2m+2，NM=；若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：m2+2m+2=，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，）此时PM=MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；由于当NQPM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQMN；依题意，则有：（yN+yM）=（yP+yQ），即+=m2+3m

31、+4+m+2，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不平行，四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件3、（2010吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标

32、；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的SPAG=SPEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）由于四边形OBCD是矩形，根据B、C的坐标即可确定C点的坐标，然后可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可求出其顶点坐标；（3）根据平移的性质易求得EH、AG的长，根据两个三角形的面积关系可求出EH、AG边上高的比例关系，进而可确定P点的纵坐标，进而可根据抛物线的解析式求出P点坐标解答

33、：解：（1）设经过A（1，0），B（0，3）的直线AB的解析式为y=kx+3；设k+3=0，解得k=3直线AB的解析式为y=3x+3（2）进过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+3D（2，0），B（0，3）是矩形OBCD的顶点，C（2，3）；则解得抛物线的解析式为y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点E（1，4）（3）存在解法1：EHx轴，直线AB交EH于点F将y=4代入y=3x+3得F（，4）EF=有平移性质可知FH=AG=2EH=EF+FH=+2=设点P的纵坐标为yp当点P在x轴上方时，有SPAG=SPEH得2yp=（4yp）解得yp=2x22x+3=2解得x1=1+，x2

34、=1存在点P1（1+，2），点P2（1，2）当点P在x轴下方时由SPAG=SPEH得2（yp）=yp=4ypyp不存在，点P不能在x轴下方综上所述，存在点，使得SPAG=SPEH解法2：EHx轴，直线AB交BH于点F将y=4代入y=3x+3得F（，4），EF=由平移性质可知FH=AC=2EH=EF+FH=+2=设点P到EH和AG的距离分别为h1和h2由SPAG=SPEH得h1=h2显然，点P只能在x轴上方，点P的纵坐标为2x22x+3=2解得，存在点，点使得SPAG=SPEH点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，平移的性质以及图形面积的求法等知识，能够根据PAG和PEH的面积关系来确

35、定P点纵坐标是解答（3）题的关键4、（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果可保留根号）考点：二次函数综合题；切线的性质。专题：压轴题。分析：（1）设抛物线的一般式，将O、A、B三点坐标代入解析式，解方程组即可；（2）存在这样的点P，设满足条件的切线l与x轴交于点B，与M相切于点C，连接MC，过C作CDx轴于D，在RtBMC

36、中，CM为半径，CBM=30，可求BM，从而可求B点坐标，在RtCDM中，CMD=60，CM为半径，可求CD、DM，OD=OMDM，可确定C点坐标，根据“两点法”求直线BC解析式，联立直线解析式、抛物线解析式，解方程组可求P点坐标，根据图形的对称性求另外两点坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a0）由题意得：（1分）解得：（2分）抛物线的解析式为：（3分）（2）存在（4分）抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线l与x轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CDx轴于DMC=OM=2，CBM=30，CMBCBCM=90，BMC=60，BM=2CM=

37、4，B（2，0）在RtCDM中，DCM=CDMCMD=30DM=1，CD=C（1，）设切线l的解析式为：y=kx+b（k0），点B、C在l上，可得：解得：切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点，由，解得：，点P的坐标为：，；抛物线的对称轴是直线x=2此抛物线、M都与直线x=2成轴对称图形于是作切线l关于直线x=2的对称直线l（如图）得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1直线l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x=2的对称点：，即为所求的点；这样的点P共有4个：，点评：本题考查了抛物线、直线解析式的求法，圆的切线的性质，30直角三角形的性质5、（2010荆门）已知：如图一次

38、函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐

39、标；那么四边形BDEC的面积即可由AEC、ABD的面积差求得（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CFx轴于F，若BPC=90，则BPOCPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标解答：解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c，得：，得解析式y=x2x+1（3分）（2）设C（x0，y0），则有解得，C（4，3）（6分）由图可知：S=SACESABD，又由对称轴为x=可知E（2，0），S=AEy0ADOB=4331=（8分）（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CFx轴

40、于F；RtBOPRtPFC，即，整理得a24a+3=0，解得a=1或a=3；所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有二个（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，难度适中6、（2010锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x22x8=0的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线

41、对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式（2）本题要通过求CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标CPE的面积无法直接表示出，可用CPB和BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形BEP和BAC求出BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出CEP的面积，然后根据上面分析的步骤

42、即可求出所求的值（3）本题要分三种情况进行讨论：QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长由此可得出Q点的坐标QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标解答：解：（1）x22x8=0，（x4）（x+2）=0x1=4，x2=2A（4，0），B（2，0）又抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a0），所求抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G点B坐标为（2，0），点A坐标（4，0），AB=6，BP=m+2PE

43、AC，BPEBAC=EG=SCPE=SCBPSEBP=BPCOBPEGSCPE=（m+2）（4）=m2+m+SCPE=（m1）2+3又2m4，当m=1时，SCPE有最大值3此时P点的坐标为（1，0）（3）存在Q点，其坐标为Q1（1，1），Q2（1，），Q3（1，），Q4（1，4+），Q5（1，4）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法7、（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D

44、两点，与原抛物线交于点P（1）求点A的坐标，并判断PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设CDP的面积为S，求S关于m的关系式考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）令原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标；很显然P点位于线段AC的垂直平分线上，由此可判定PAC是等腰三角形；（2）根据平移的性质知：AO=CD=2，OC=AD=m；（3）求CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PHx轴于H）；因此本题要分两种情况讨论：0m2时，P点在

45、x轴上方；m2时，P点位于x轴下方；可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式解答：解：（1）令2x2+4x=0，得x1=0，x2=2点A的坐标为（2，0）PCA是等腰三角形（2）存在OC=AD=m，OA=CD=2（3）如图，当0m2时，作PHx轴于H，设P（xP，yP）A（2，0），C（m，0）AC=2m，CH=xP=OH=m+把xP=代入y=2x2+4x，得yP=m2+2CD=OA=2S=CDHP=2（m2+2）=m2+2如图，当m2时，作PHx轴于H，设P（xP，yP）A（2，0），

46、C（m，0）AC=m2，AH=xP=OH=2+把xP=代入y=2x2+4x，得yP=m2+2CD=OA=2S=CDHP=m22点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，需注意的是（3）题要根据m的取值范围分段讨论，以免造成漏解、错解8、（2010江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（1，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BDCA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的

47、坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：综合题；压轴题；分类讨论。分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）先求出直线AC的解析式，由于BDAC，那么直线BD的斜率与直线AC的相同，可据此求出直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；由图知四边形ACBD的面积是ABC和ABD的面积和，由此可求得其面积；（3）易知OA=OB=OC=1，那么ACB是等腰直角三角形，由于ACBD，则CBD=90；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N

48、为顶点的三角形与BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标解答：解：（1）依题意，得：，解得；抛物线的解析式为：y=x2+1；（2）易知A（1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；由于ACBD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=1；直线BD的解析式为y=x1；联立抛物线的解析式得：，解得，；D（2，3）；S四边形ACBD=SABC+SABD=21+23=4；（3）OA=OB=OC=1，ABC是等腰Rt；ACBD，CBD=90；易求得BC=，BD=3；BC：BD=1：3；由

49、于CBD=MNA=90，若以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似，则有：MNACBD或MNADBC，得：=或=3；即MN=AN或MN=3AN；设M点的坐标为（x，x2+1），当x1时，AN=x（1）=x+1，MN=x21；x21=（x+1）或x21=3（x+1）解得x=，x=1（舍去）或x=4，x=1（舍去）；M点的坐标为：M（，）或（4，15）；当x1时，AN=1x，MN=x21；x21=（x1）或x21=3（x1）解得x=，x=1（两个都不合题意，舍去）或x=2，x=1（舍去）；M（2，3）；故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，）或（4，15）或（2，3）点评：此题主要考查了二次函数解析

50、式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想9、（2010丽水）ABC中，A=B=30，AB=2，把ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），ABC可以绕点O作任意角度的旋转（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴经过点C，请你探究：当a=，b=，c=时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；设b=2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1

51、）由于O是AB的中点，则OA=OB=；可设出点B的横坐标，结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标；（2）已知了抛物线的解析式，即可得到抛物线的对称轴方程，也就得到了C点的横坐标；此时发现C点横坐标为正数，所以分两种情况讨论：一、点C在第一象限；在RtOBC中，根据OB的长及B的度数，可求出OC的长，参照（1）的方法即可求出C点的坐标；若分别过A、C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标，A、B关于原点对称，即可得到B点的坐标；将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；二、点D在第四象限；方法同一；若b=2am，则函数的解析式为：y=ax22amx+c=a（xm）2a

52、m2+c；由此可得C点的横坐标为m；在ABC旋转的过程中，C点横坐标的取值范围在区间1，1之间，由于当m=1或1时，C点在x轴上，A、B同时处在y轴，所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点解答：解：（1）点O是AB的中点，OB=AB=；（1分）设点B的横坐标是x（x0），则x2+（）2=（）2，（1分）解得x1=，x2=（舍去）；点B在第一象限，点B的横坐标是；（2分）（2） 当a=，b=，c=时，得y=（*）y=；（1分）以下分两种情况讨论；情况1：设点C在第一象限（如图），则点C的横坐标为，OC=OBtan30=1；（1分）由此，可求得点C的坐标为（，），根据A=30，OCAB，过C做X轴

53、的垂线交X轴于N，过点A做垂线交X轴于点M，则AOMCONOA：OC=OM：CN=AM：ON=：1点A（，），A，B两点关于原点对称，点B的坐标为（，），将点A的横坐标代入解析式的右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入解析式的右边，计算得，即等于点B的纵坐标；在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；情况2：设点C在第四象限（如图），则点C的坐标为（，），点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）；经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；存在，m的值是1或1y=a（xm）2am+c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以1m1；当m=1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上因此当m=1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上点评：此题是二次函数的综合题型，主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股