06.材料力学-扭转

1、1 2 目目 录录 6.1 6.1 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图 6.2 6.2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 6.3 6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算圆轴扭转时的应力和强度计算 6.4 6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 3 1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me 主动力偶主动力偶 阻抗力偶阻抗力偶 扭转的工程实例扭转的工程实例 4 2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。 5 3 3、机器中的传动轴工作时受扭。、机器中的传动轴工作时受扭。 6 7 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：

2、机器中的传动轴、工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。 扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。 扭转角（扭转角（ ）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。 A B O mm O B A 6. .1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 8 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数

3、与外力偶矩的关系传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系： m)(kN9.549 m)(N9549 k k n P n P m m)(kN024. 7 m)(N7024 PS PS n P n P m 其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm） 其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm） 1PS=735.5Nm/s，1kW=1.36PS m)(N P m 9 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩： 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩 mm m

4、T mT mT mx 0 0 x 按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断：右手的四指代表扭矩的旋转方向，右手的四指代表扭矩的旋转方向， 大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向 相同，则扭矩规定为正值，反之为负值相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。 10 T + T - - 11 4 扭矩图：扭矩图： 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 目 的的 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算(危险截面) x T m 12 例例1 已知一传动轴， n =300r/min

5、，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 n A B C D m2 m3 m1 m4解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 m)15.93(kN 300 500 9.5555. 9 1 1 n P m m)(kN 784 300 150 9.55559 2 32 . n P .mm m)(kN 376 300 200 9.55559 4 4 . n P .m 13 n A B C D m2 m3 m1 m4 1 1 2 2 3 3 求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设） mkN78. 4 0 , 0 21 21 m

6、T mTm x x T1 1 1 x M2 A 分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩 14 mkN37. 6 , 0- 42 43 mT mT T2 A M2 B M3 2 2 x mkN569784784( , 0 322 322 .).mmT mmT 3 3 D M4 x T3 15 绘制扭矩图绘制扭矩图 mkN 569 max .TBC段为危险截面。段为危险截面。 x T n A B C D m2 m3 m1 m4 4.78 9.56 6.37 m)(kN 16 6. .2 薄壁圆筒的剪切薄壁圆筒的剪切 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚 0 10 1 rt （r0：为平均半径） 一、实验：一、实

7、验： 1.实验前：实验前： 绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。 17 2.实验后：实验后： 圆周线不变；圆周线不变； 纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。 3.结论：结论： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动。绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 18 a cd dx b dy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产横截面上各点处，只产 生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半

8、径的均匀分布的剪 应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方 向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。 4. 与与 的关系：的关系： l R Rl 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示： 19 二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tA T tr T TtrrAr TrA A A 2 2 2d d 0 2 0 000 0 A0：平均半径所作圆的面积。 20 三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0 故 dxdytdxdyt mz 上式称为剪应力互等定理剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力在单元体相互垂直的两个平面上，

9、剪应力 必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。其方向则共同指向或共同背离该交线。 a cd dx b dy t z 21 四、剪切胡克定律：四、剪切胡克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种 应力状态称为应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。 l 22 T=m 剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 ( P)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。

10、t A2T 0 Rlr/ 23 G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定， 钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。 弹性模量、剪切弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的弹性模量、剪切弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的 三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关 系（推导详见后面章节）：系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个可

11、见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个 量就可以推算出来。量就可以推算出来。 )1 ( 2 E G 24 6. .3 圆轴扭转时的应力和强度计算圆轴扭转时的应力和强度计算 等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力 变形几何方面变形几何方面 物理关系方面物理关系方面 静力学方面静力学方面 25 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察： 26 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：变形几何关系：

12、xx GG d d d tg 1 xd d 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。 xd d 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。 27 2. 物理关系：物理关系： 胡克定律： 代入上式得： G x G x GG d d d d x G d d 28 3. 静力学关系：静力学关系： A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI A d 2 P 令 x GI T d d P P d d GI T x 代入物理关系式 得： x G d d O p dA P I T 29 P I T 横截面上距

13、圆心为 处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 IP截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 30 单位：mm4，m4。AI A d 2 P 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是IP值不同。 32 d2 d 4 2 0 2 2 P D AI D A a. 对于实心圆截面： D d O 31 b. 对于空心圆截面： )1 ( 32 )( 32 d2 d 4 4 44 2 2 2 2 P D dD AI D d A )( D d d D

14、O d 32 应力分布 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件： 提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 33 确定最大剪应力： P I T 由 知：当 max , 2 D R ) 2 ( 2 2 PP P P P max D IW W T D I T I D T 令 P max W T WP 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3 。 对于实心圆截面：16 3 pP DRIW 对于空心圆截面：16)1 ( 43 PP DRIW 34 三三 、圆轴扭转时的强度计算、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：强度条件： 对于等截面圆轴：对于等截面圆轴： max P

15、 max W T ( 称为许用剪应力。) 强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max P T W Pmax WT ）（空： 实： 4 3 3 P 1 16 16 D D W P max W T 35 例例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。 n N mTBC 2 10 3 m)(kN551 m)(N 4151432 10150 3 . . T m 解：解：求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求。 D3 =135 D2=75 D1

16、=70 AB C m m x MPa23 1607. 0 1055. 1 3 3 P max W T 36 例例3 图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为 D=60mm，小端直径为d=40mm，材料的许用应力为 ，试校核该轴的强度。 解解：1内力分析：画扭矩图如图所示。 MPa100 37 2应力分析及强度条件： 故强度不够。 )(23.159 (MPa)23.159 1056.12 102 (MPa)17.47 104 .42 102 (MPa)3 .94 104 .42 104 )(m1056.12 16 104014. 3 16 )(m104 .42 16 106014. 3 16

17、3max 6 3 2 3 3 6 3 1 2 2 6 3 1 1 1 36 933 2 36 933 1 MPa W T W T W T d W D W P P P P P 38 例例4 横截面相等的两根圆轴，一根为实心，许用切应力为 ，另一根为空心，内外直径比 ，许用切应 力为 ，若仅从强度条件考虑，哪一根圆轴能承受 较大的扭矩。 解解：两根圆轴横截面相等，即 (1) MPa80 1 6 .0 MPa50 2 )1 ()1 ( 44 22 2 2 1 2 2 2 2 1 dd dd 2 222 2 2 2 1111 1 1 1 P P P P WT W T WT W T 39 联合(1)、(

18、2)式得： 说明第二根圆轴能承受较大的扭矩。 若两轴的材料也相同，即许用切应力相同，则： 说明第二根圆轴能比第一能根圆轴承受较大的扭矩。 1 17 16 )1 (5 )1 (8 2 2 1 2 2 1 T T )1 (5 8 )1 ( 16 5 16 8 43 2 3 1 4 3 2 3 1 22 11 2 1 d d d d W W T T P P (2) 1 17 10 )1 ( )1 ( 2 2 1 2 2 1 T T 40 6. .4 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 一、扭转时的变形一、扭转时的变形 由公式 P d d GI T x 知：长为 l一段杆两截面间相对

19、扭转角为 l x GI T 0 P d d 值不变，则若 T P GI Tl 41 二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ： (rad/m) d d P GI T x /m)( 180 d d P GI T x 或 三、刚度条件三、刚度条件 或 GPP 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称 为圆轴的为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。 称为许用单位长度扭转角。 (rad/m) P max max GI T /m)( 180 P max max GI T 42 刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算

20、许可载荷： max max P G T I P max GIT 有时，还可依据此条件进行选材。 43 例例5 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用， 如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚 度，并求右端面转角。 解：解：设计杆的外径设计杆的外径 由 知 max P T W 1 16 D 4 3 P ）（ W 3 1 4 max 1 16 ）（ T D P max W T 而 得： 44 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 40Nm x T 代入数值得： D 0.0226m。 由

21、扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度 180 P max max GI T 45 40Nm x T 180 P max max GI T /m89. 1 )1 (1080 1804032 0 4429 D 右端面转角右端面转角为：为： ）(rad 033. 0 )4( 10 d 2040 d 2 0 2 P 2 0 P 0 P xx GI x GI x x GI T L 代入数值得： 46 例例66 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已 知：G=80GPa ， =70MPa，

22、=1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？ 解解：图示状态下，扭矩 如图，由强度条件 知： 500400 N 1 N3N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm) P max W T 16 3 1 P Td W 47 mm467 1070143 42101616 3 6 3 2 . . T d 32 4 P G Td I mm80 1070143 70241616 3 6 3 1 . T d 500400 N1 N3N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm) 由刚度条件 知： 180 P m