6.3-分数巧求和

1、03分数巧求和学习目标：1、使学生够熟练掌握应用裂项法给分数求和。2、让学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项法求和）的形式，即什么时候用。3、掌握如何拆项，能判断所处题LI的运用的形式，并用其对应的方法进行解答, 即怎么用。教学重点：经历裂项的探究过程，观察裂项的规律。教学难点：能判断所处题LI的运用的形式，并用其对应的方法进行解答.教学过程：一、情景体验1、创设情境师：同学们听说过阿凡提吗？他是个非常聪明的人，有一天，阿凡提骑着自己的 小毛驴来到田边。他四处欣赏着美丽的田园风光。突然，听到有人叫他，回头一 看，原来是两位给地主巴依老爷干活的佃农。阿凡提忙问：“两位朋友有什么事 吗？ ”其中一

2、位农民说：“阿凡提，我们遇到一个难题，想来请教你。”然后这 位农民就把这个难题的山来讲了一遍。原来，这两位农民被地主巴依老爷雇佣干 活，眼看到发工钱的时候了，地主却打起了坏主意。他和账房先生一计算，要给 这两位农民各20块银元。地主心里非常不乐意，仿佛拿走他的钱就像割他的肉 一样。于是和老婆一起想出了个主意，要两个农民明天早晨割 -丄-丄亩麦子，一点不能多，一点也不能少。明早八点之前，2 61220 30 42巴依老爷要亲自检查。如果严格按要求完成了任务，就发工钱，而且还给回家的 路费。如果完不成任务，工钱就一分不给。两位农民没有上过学，自然不知道 -丄-丄-丄-丄亩麦子到底是多少，正在发愁的

3、时候，正好碰见了阿凡2 612 20 30 42提，才有了开头那一幕。阿凡提听完，笑了笑说：“两位朋友不用担心，你们只要按我说的去办，保 证能拿到丄钱，而且还能赚取路费。”阿凡提讲完，把两位农民叫到眼前。悄悄 地把解难题的办法告诉了两位农民。两位农民听了以后，非常高兴，对阿凡提千 恩万谢。第二天早晨，巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。 巴依老爷以为两位农民这次肯定一分钱都拿不到，所以脸上带着得意的笑容。可 是走到地边却发现麦子正好割了m亩。两位农民说：“老爷，你的任务我们已经 按时完成了，你也该给我们工钱了吧！”巴依老爷没办法，只得叫账房先生给了 农民工钱。同学们，你知道丄

4、丄丄一丄一丄丄有什么简便方法计算吗？我2 6 12 20 30 42 们今天就一起来研究这一类算式的简便方法。二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：计算。丄+丄+丄+丄+丄1x22x3 3x4 4x55x6师：谁来展示一下你的做法？根据学生的情况，师板书各种情况。（逐一相加）师：还有不同的做法吗？生：没有了。师：我们观察一下题中的数有什么特点？（提示学生分别观察分子分母）生：分子为1,分母是两个连续自然数相乘。师：我们能不能把一个分数如丄改写成两个分数？（提示：把分子1改写成 2x33-2）13-2 32 1 1: = = = o2x3 2x3 2x3 2x3 2 3师：依次类推，其他分

5、数都能拆成这样的形式？生改写其他项。师：我们按照刚刚的结论把题LI改写后，你能发现什么？生：一个分数可以拆成两个分数的差，中间的都可以抵消掉。生独立完成，指名学生说算理和计算过程，师评价。师：很好，这里我们发现，拆项后，前一个分数的第二项和后一个分数的第一项是可以抵消的。我们什么时候可以用这个方法拆数呢？（引导学生了解特点） 生：分子为1,分母是两个连续自然数相乘。师：那我们就来用公式总结一下。学生尝试小结1 1 1小结：公式1 7 =_ mx（刃+ 1） n n + 展示例题:例2：计算1111 111111x4 4x77x1010x1313x16师：你能发现它和上一题有什么区别吗？生：分母

6、两个因数不是连续自然数。师：同学们，拿到这道题你们该如何思考呢？生：裂项变成1一丄+丄丄+丄一丄+丄_丄+丄_丄，然后中间抵消掉。4 4 771010 1313 16师：那同学们观察一下，丄与1_丄是不是相等的呢？1x44生：不相等。师：为什么呢？（再次利用公式，引导孩子们，裂项时需要注意哪些问题）生：分子为1,分母中相乘两个因数要是连续数才能成立。师：这里我们观察到相乘的两个分母差是3,所以要怎么样？生：乘以丄。3师：非常好，大家能自己做出来吗？指名演板，师评价小结。1 1 （ 1 ）小结：公式2=三、思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例3：计算。111111111+ H1HHHH12 6

7、1220 30 42 56 72 90师：这种题L1我们该怎么做呢？它和我们上面的例题一样吗？生：（各抒己见）不一样，分母不是2个连续数相乘的形式。师：有同学已经想到了，这一题是例题一的变型。师：大家可以思考一下，怎么样运用刚才的方法解决呢？生：把分母写成2个连续数相乘的形式。师：很好，看来同学们都会基本的裂项方法。接下来，同学们自己完成例题3。生独立完成，师评价小结展示例题:例4：计算。】+岀畤+7茅哙+哙+哙+15茅哙师：例4和之前的例题有什么区别？还能用之询的裂项法吗？生：例4中出现带分数，不能直接裂项。师：我们怎么解决这个问题呢？需要把代分数化成假分数吗？引导学生发现分数部分符合裂项的

8、条件。生：我们可以把把整数部分相加，分数部分相加，分数部分可以用裂项法计算。 师：我们把分数部分和整数部分分别相加再看看算式中各部分的数有什么特点？ 生：整数部分是首项为1,末项为17,公差为2的等差数列，分数部分和例3 类似师：那大家能否自己完成这道题呢？学生尝试独立完成，教师评价小结。小结：分组法展示例题:2 2 2 2 2 2 例5：计算。13 + 35 + 57 + 79 + 9x11 +11x13师：观察算式，跟我们前面的例题有什么不一样?生：分子为2,分母相乘的2个因数也相差2。师：我们能直接用裂项法吗？如果可以裂项丄 =?（提示学生2=5-3） 3x5z. 25-3531 1生：

9、=一= -3x5 3x5 3x5 3x5 3 5师：其他部分大家能都改写成这种形式吗？你能发现什么呢？ 生：当分母相乘的2个因数的差等于分子也可以直接裂项。 师：说得很好！你们就用这种方式求出结果。生自主完成，师评价小结k _ 1_1_小结：公式3 n（n + k） n n + k 四、融汇贯通（知识模型的运用） 展示例题：例6：计算。I丄1x44x729+ 5+ 197x1028x31师：大家观察例6和我们之前哪个例题比较类似？是用什么方法解决呢?生:跟例4类似，把整数和分数分开计算。师：大家尝试自己完成，看看是不是跟例4 一样呢？学生尝试完成发现问题。生：分数部分分子为2分母中两个因数相差

10、3。师：能直接用裂项法吗？（不能）我们能不能把它变成我们能用裂项法的形式呢？（提示分子要么为1,要么等于分母两因数差）生：我们把分子里的2作为公因数提出来，分子就为1 了，再根据裂项公式2 就可以解决了。师：很好，接下来大家自己完成这道题。生自主完成，师评价小结展示例题：例7：在下面括号内填上适当的自然数，使等号成立:小111(1)1,12 ()()小 111112 ()()()师：要把丄拆成2个分子为1的分数怎么做呢？(让学生尝试)12生：丄表示12份中的一份，所以我们可以把分子扩大后写成2个数相加的形式, 12r 11x31 + 21211UII = = 1 = 1 1212x336363

11、6361811x52 + 323U-1 1 1212x56060十-6030 20师:这个方法的确可以解决我们这个问题，但这个方法是不是很好用呢?生：不是，因为到底要扩大儿倍我们不是很确定，要尝试，而且如果如(2)题 要分成3个数就更麻烦。师：那么我们一起来观察总结一下扩大的倍数要满足什么条件？引导学生发现扩大的倍数要分成2个数的和，并且这两个数都要与后来的分母约 分成1,即都是分母的因数。师：所以我们在扩大倍数时，直接扩大分母两个因数之和的倍数就可以了，大家 能不能尝试把(1)题所有的可能性列出来。引导生先找出12的所有因数：1.2. 3.4.6. 121 lx(l + 2)121112 12x(l + 2)3636 36181 _ lx(l + 3)12 12x(l + 3)4848481+ 16师：第(2)题要求分成三个数怎么办呢？生：就将分子分母扩大三个分母因数之和。师：大家能把(2)题所有的可能性