自动控制原理第七章课件

1、自动控制原理第七章课件 7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持 7-3 Z7-3 Z变换理论变换理论 7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 第七章第七章 线性离散系统的分析与线性离散系统的分析与 校正校正 自动控制原理第七章课件 本章主要内容本章主要内容 本章首先给出信号采样和保持的数学描本章首先给出信号采样和保持的数学描 述，然后介绍述，然后介绍z z变换理论和脉冲传递函数，变换理论和脉冲传递函数， 最后研究线性离散系统稳定性和稳态误差最后研究

2、线性离散系统稳定性和稳态误差 的分析。的分析。 本章重点本章重点 学习本章，需要掌握离散系统的相关基学习本章，需要掌握离散系统的相关基 本概念，特别是采样过程和采样定理、本概念，特别是采样过程和采样定理、z z变变 换和换和z z反变换及其性质、脉冲传递函数等概反变换及其性质、脉冲传递函数等概 念。要求掌握离散系统稳定性分析和稳态念。要求掌握离散系统稳定性分析和稳态 性能计算。性能计算。 自动控制原理第七章课件 7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 前面我们介绍的系统中，所有的物理变量都是时前面我们介绍的系统中，所有的物理变量都是时 间间t 的连续函数，这种在时间上和幅值上都连

3、续的信的连续函数，这种在时间上和幅值上都连续的信 号通常称为模拟信号或连续信号，由此构成的系统称号通常称为模拟信号或连续信号，由此构成的系统称 为模拟控制系统或连续控制系统。为模拟控制系统或连续控制系统。 如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间t 的连续函数，而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列的连续函数，而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列 形式出现，这样的系统则称为离散控制系统。形式出现，这样的系统则称为离散控制系统。 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称 为采样控制系统或脉冲控制系统。为采样控制系统或脉

4、冲控制系统。 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称 为数字控制系统或计算机控制系统。为数字控制系统或计算机控制系统。 自动控制原理第七章课件 一、采样控制系统一、采样控制系统 例例 一炉温采样控制系统一炉温采样控制系统 自动控制原理第七章课件 当炉温连续变化时，电位器的输出是一串宽度当炉温连续变化时，电位器的输出是一串宽度 为为的脉冲电压信号。的脉冲电压信号。 自动控制原理第七章课件 典型采样系统结构图如下图所示。典型采样系统结构图如下图所示。 自动控制原理第七章课件 二、数字控制系统二、数字控制系统 数字控制系统如图示。数字控制系统如图示。 三

5、、离散控制系统的研究方法三、离散控制系统的研究方法 离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列 或数码，控制的过程是不连续的，不能沿用连续系统或数码，控制的过程是不连续的，不能沿用连续系统 的研究方法。的研究方法。 研究离散系统的工具是研究离散系统的工具是z变换，通过变换，通过z变换，可以变换，可以 把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念 应用于离散系统。应用于离散系统。 自动控制原理第七章课件 7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持 采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，采样器与保持器

6、是离散系统的两个基本环节， 为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的 采样过程和保持过程加以描述。采样过程和保持过程加以描述。 一、采样过程一、采样过程 按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将 其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称为采样其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称为采样 过程。用来实现采样过程的装置称为采样器（采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器（采样 开关）。开关）。 自动控制原理第七章课件 1 1采样信号的数学表示采样信号的数学表示 采样过程可以看成一个幅值调制过程，采样器采样过程可

7、以看成一个幅值调制过程，采样器 相当于一个载波为相当于一个载波为 的幅值调制器。的幅值调制器。 是调制器的载波为一以是调制器的载波为一以T为周期的单位理想为周期的单位理想 脉冲序列。采样器的输出信号脉冲序列。采样器的输出信号 为输入信号为输入信号 强强 制在载波制在载波 上的结果。上的结果。 )(t T )( * te)(te )(t T )(t T 自动控制原理第七章课件 用数学形式描述强制过程为：用数学形式描述强制过程为： 单位理想脉冲序列表示为：单位理想脉冲序列表示为： 综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程， 输出信号输出信号 可表示为两个函

8、数的乘积。其中载波可表示为两个函数的乘积。其中载波 信号决定采样时间，即输出函数存在的时刻，而采信号决定采样时间，即输出函数存在的时刻，而采 样信号的幅值则由输入信号样信号的幅值则由输入信号 决定。决定。 )()()( * ttete T n T nTtt)()( )()()()()( 00 nTtnTenTttete nn * )(t T )( * te )(nTe 自动控制原理第七章课件 )( * te 2 2采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换 对采样信号对采样信号 进行拉氏变换，可得进行拉氏变换，可得 根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变 换

9、为换为 2 2采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换 对采样信号对采样信号 进行拉氏变换，可得进行拉氏变换，可得 根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变 换为换为 )()( * teLsE )()( 0 n nTtnTeL )()( 0 nTtLnTe n 0 * )()( n nTs enTesE )( * te 自动控制原理第七章课件 二、采样定理二、采样定理 连续信号连续信号 在其有定义的时域内任何时刻都在其有定义的时域内任何时刻都 是有确切值的。而是有确切值的。而 经过采样后，只能给出采样经过采样后，只能给出采样 时刻的数值时刻的数值 。从时域上

10、看，在采样间隔内连。从时域上看，在采样间隔内连 续信号的信息丢失了。续信号的信息丢失了。 下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。 设连续信号设连续信号 的频谱的频谱 为有限带宽，其最大角为有限带宽，其最大角 频率为频率为 。 )(te )(te )(nTe )(te)( jE h 自动控制原理第七章课件 下面分析一下采样后下面分析一下采样后 的频谱。的频谱。 理想单位脉冲序列理想单位脉冲序列 是一个以是一个以T为周期的周期函数，为周期的周期函数， 可以展开成傅氏级数形式：可以展开成傅氏级数形式： 为采样角频率为采样角频率 为傅氏系数为傅氏系数 采样信号

11、采样信号 )( * te n T * nTttettete)()()()()( )(t T n tjn nT s eCt )( T s /2 2 2 )( 1 T T tjn Tn dtet T C s T dtt T Cn 1 )( 1 0 0 n tjn T s e T t 1 )( n tjn n tjn ss ete T e T tete )( 11 )()( * 自动控制原理第七章课件 采样信号采样信号 对等式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定对等式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定 理得到：理得到： 令令 ，得到采样信号的傅氏变换：，得到采样信号的傅氏变换： 研究采样信号的

12、频谱，目的是找出研究采样信号的频谱，目的是找出e*(t)和和e(t)之之 间的相互联系，上式就反映了采样后离散信号的频间的相互联系，上式就反映了采样后离散信号的频 谱与连续信号的频谱之间的关系。谱与连续信号的频谱之间的关系。 n tjn n tjn ss ete T e T tete )( 11 )()( * n s jnsE T sE)( 1 )( * js )( 1 )( 1 )( * n s n s njE T jnjE T jE 自动控制原理第七章课件 连续信号的频谱，为一个单一的连续频谱，其连续信号的频谱，为一个单一的连续频谱，其 最大角频率为最大角频率为 。信号采样后的频谱，为一以

13、采样。信号采样后的频谱，为一以采样 角频率角频率 为周期的无限多个频谱之和。为周期的无限多个频谱之和。 h s )( 1 )( 1 )( * n s n s njE T jnjE T jE 自动控制原理第七章课件 当当n=0时，时， 叫做采样信号的主频谱叫做采样信号的主频谱(采样频谱的主分量采样频谱的主分量) ，它与，它与 连续信号的频谱形状一致，只是幅值上变换了连续信号的频谱形状一致，只是幅值上变换了1/T倍。倍。 除了主频谱之外，采样信号的频谱中还包含除了主频谱之外，采样信号的频谱中还包含|n|0的的 无穷多个附加的高频频谱（采样频谱的补分量）。无穷多个附加的高频频谱（采样频谱的补分量）。

14、 为了复现采样前的原有信号，则要求采样后的为了复现采样前的原有信号，则要求采样后的 频谱彼此不重合。出现重叠，致使采样后的信号发频谱彼此不重合。出现重叠，致使采样后的信号发 生畸变，因而不可能复现出采样前的原有信号。生畸变，因而不可能复现出采样前的原有信号。 n jE T jE)( 1 )( * )( 1 )( 1 )( * n s n s njE T jnjE T jE 采样角频率高采样角频率高采样角频率低采样角频率低 自动控制原理第七章课件 由以上分析可知，要想使采样信号能够复现出由以上分析可知，要想使采样信号能够复现出 原连续信号，则要求离散频谱彼此互不重叠，即要原连续信号，则要求离散频

15、谱彼此互不重叠，即要 求采样角频率必须满足：求采样角频率必须满足： 这就是香农采样定理，它是分析和设计采样控制系统这就是香农采样定理，它是分析和设计采样控制系统 的理论依据。的理论依据。 三、信号保持三、信号保持 实现采样控制的另一个重要的问题是如何将采实现采样控制的另一个重要的问题是如何将采 样信号准确地恢复为连续信号。样信号准确地恢复为连续信号。 hs 2 自动控制原理第七章课件 理想滤波器理想滤波器 理想滤波器在实际中是难以实现的，因此必须寻理想滤波器在实际中是难以实现的，因此必须寻 找在特性上比较接近理想滤波器而且又能够实现的滤找在特性上比较接近理想滤波器而且又能够实现的滤 波器，保持

16、器就是这种实际的滤波器。波器，保持器就是这种实际的滤波器。 保持器是一种采用时域外推原理的装置，通常采保持器是一种采用时域外推原理的装置，通常采 用恒值外推规律的保持器称为零阶保持器，把采用线用恒值外推规律的保持器称为零阶保持器，把采用线 性外推规律的保持器称为一阶保持器。在工程实践中，性外推规律的保持器称为一阶保持器。在工程实践中， 普遍采用零阶保持器。普遍采用零阶保持器。 2 0 22 1 )( s ss jF 自动控制原理第七章课件 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，它将零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，它将 前一采样时刻前一采样时刻nT的采样值的采样值e(nT)不增不减地一直保

17、持不增不减地一直保持 到下一采样时刻到下一采样时刻(n+1)T。 零阶保持器使采样信号变成阶梯信号，如果把零阶保持器使采样信号变成阶梯信号，如果把 阶梯信号的中点连接起来，则可以得到与连续信号阶梯信号的中点连接起来，则可以得到与连续信号 形状一致但在时间上落后形状一致但在时间上落后T/2的响应的响应e(t-T/2)，这反映，这反映 出零阶保持器的相角滞后特性。出零阶保持器的相角滞后特性。 自动控制原理第七章课件 推导零阶保持器的传递函数和频率特性推导零阶保持器的传递函数和频率特性 单位脉冲响应函数可分解为两单位脉冲响应函数可分解为两 个单位阶跃函数的和个单位阶跃函数的和 对脉冲响应函数取拉氏变

18、换，可得零阶保持器的传对脉冲响应函数取拉氏变换，可得零阶保持器的传 递函数递函数 令令 ，得零阶保持器的频率特性，得零阶保持器的频率特性 若以采样角频率若以采样角频率 来表示，则上式可表示为来表示，则上式可表示为 j e jG Tj h 1 )( )( 1)( 1)(Ttttgh s e s e s sG TsTs h 11 )( js j eee TjTjTj 2 )(2 2/2/2/ 2/ 2 )2sin( Tj e T T T T s /2 )( )( )(sin2 )( s j s s s h ejG 自动控制原理第七章课件 零阶保持器具有如下特性：零阶保持器具有如下特性： 1)低通特

19、性：由于幅频特性的幅低通特性：由于幅频特性的幅 值随频率值的增大而迅速衰减，值随频率值的增大而迅速衰减， 说明零阶保持器基本上是一个低说明零阶保持器基本上是一个低 通滤波器，通滤波器， 但与理想滤波器特性相比，零阶保持器除但与理想滤波器特性相比，零阶保持器除 允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频频谱分量允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频频谱分量 通过，从而造成数字控制系统的输出频谱在高频段存通过，从而造成数字控制系统的输出频谱在高频段存 在纹波。在纹波。 2)相角滞后特性：由相频特性可见，零阶保持器要产相角滞后特性：由相频特性可见，零阶保持器要产 生相角滞后，且随生相角滞后，且随 的增大

20、而加大，在的增大而加大，在 处，相处，相 角滞后可达角滞后可达-180，从而使系统的稳定性变差。，从而使系统的稳定性变差。 )( )( )(sin2 )( s j s s s h ejG s 自动控制原理第七章课件 7-3 7-3 z 变换理论变换理论 z变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法，是变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法，是 研究线性离散系统的重要数学工具。研究线性离散系统的重要数学工具。 一、一、z 变换定义变换定义 采样信号采样信号e*(t)的拉氏变换的拉氏变换 因为因为 为为s的超越函数不便于计算，因此引入一个的超越函数不便于计算，因此引入一个 复变量复变量 代入上式，采样

21、信号代入上式，采样信号 的的z变换为变换为 0 * )()( n nsT enTesE sT ez 变变换换算算子子为为zz 0 * )()()( n n znTezEteZ )()()()( * sEZteZteZzE )( * sE )( * te 自动控制原理第七章课件 （1） E(z)和和 E*(s)之间的关系之间的关系 上式说明上式说明 z 变换变换E(z)是拉氏变换是拉氏变换E*(s) 的另一种表的另一种表 达形式。达形式。 （2） 代表时序变量代表时序变量 因此因此 这说明这说明 代表一个时序变量。代表一个时序变量。 sT ez z T sln 1 z T s sEzE ln 1

22、 * )()( 因因此此 n z 21 0 0 )2()()0()()(zTezTezeznTezE n n )2()2()()()()0()()()( 0 * TtTeTtTetenTtnTete n )( 0 tz )( 1 Ttz )( nTtz n n z 自动控制原理第七章课件 （3）对应关系）对应关系 E(z)是是e*(t)的的z 变换，不是变换，不是e(t)的的z 变换，但是在采变换，但是在采 样点上样点上e*(t)和和e(t)的值是相等的。的值是相等的。 e(t)和和E(s)是一一对应，是一一对应， e*(t)和和E*(s)是一一对应，是一一对应， 但是但是E*(s)和和e(t

23、)并非是一一对应的，可能有无穷多个并非是一一对应的，可能有无穷多个 e(t) ，只是在采样点上和，只是在采样点上和e*(t)相等，在采样点之间是相等，在采样点之间是 不相等的。不相等的。 二、二、z 变换方法变换方法 由前面介绍可知，求取采样信号的由前面介绍可知，求取采样信号的z 变换可以由：变换可以由： 但是这种方法太繁。但是这种方法太繁。 常用的常用的 z 变换方法有级数求和法和部分分式法。变换方法有级数求和法和部分分式法。 )()()()( * zEsEtete 自动控制原理第七章课件 1 1级数求和法级数求和法 级数求和法是直接根据级数求和法是直接根据 z 变换定义，将变换定义，将E(

24、z)写成写成 展开形式：展开形式： 只要知道连续函数只要知道连续函数e(t)在各个采样时刻的数值在各个采样时刻的数值 e(nT) ，即可按上式求得，即可按上式求得E(z) 。 这种级数展开式是开放形式有无穷多项，但是常这种级数展开式是开放形式有无穷多项，但是常 用函数的用函数的z 变换式通常可以写出其闭合形式。变换式通常可以写出其闭合形式。 n n n znTezTezTezeznTezE)()2()()0()()( 21 0 0 自动控制原理第七章课件 例例 求求1(t)的的 z 变换变换 解解 因为因为1(t)在各个采样时刻的数值均为在各个采样时刻的数值均为1，因此，因此 ，则无穷级数是收

25、敛的，利用等比级数，则无穷级数是收敛的，利用等比级数 求和公式，可得闭合形式为求和公式，可得闭合形式为 n n n zzzznTezE 21 0 1)()( 1 1 z若若 11 1 )( 1 z z z zE 自动控制原理第七章课件 例例 求求 的的 z 变换变换 解解 上式两边同乘以上式两边同乘以 ，得到，得到 （1）减去（）减去（2）得）得 如已知：如已知：a=1，T=0.5，则，则 at ete )( anT enTe )( (1) 1)( 221 0 nnaTaTaT n nanT zezezezezE 1 ze aT (2) )( 2211 nnaTaTaTaT zezezezEz

26、e 1)1)( 1 zezE aT aTaT ez z ze zE 1 1 1 )( 0 )()( n n znTezE 606. 0 )( 5 . 0 z z ez z zE 自动控制原理第七章课件 2 2部分分式法（查表法）部分分式法（查表法） 已知连续信号已知连续信号e(t)的拉氏变换的拉氏变换E(s)，可将，可将E(s)展开展开 成部分分式之和形式。即成部分分式之和形式。即 且每一个部分分式且每一个部分分式 都是都是z 变换表中所变换表中所 对应的标准函数，其对应的标准函数，其z 变换可查表得出：变换可查表得出： 例例 已知一连续函数的拉氏变换为已知一连续函数的拉氏变换为 ，试求，试求

27、 相应的相应的z 变换变换E(z) 。 解解 将将E(s)展成部分分式：展成部分分式： 逐项查逐项查z 变换表，可得变换表，可得 n i i n i i i sE ss A sE 11 )()( ), 2, 1()(nisEi )()()()( 21 zEzEzEzE n )1( 2 )( 2 ss s sE 1 112 )( 2 sss sE )()1( )12(1 )12( 1)1( 2 )( 2 2 2T TT T ezz zTezeT ez z z z z Tz zE 自动控制原理第七章课件 三、三、z 变换性质变换性质 应用应用z 变换的基本定理，可以使变换的基本定理，可以使z 变换

28、的变换的 应用变得简单方便。应用变得简单方便。 z 变换性质变换性质在许多方面与在许多方面与 拉氏变换的基本拉氏变换的基本性质性质有许多相似之处。有许多相似之处。常用的常用的z 变换有：变换有： 1线性定理；线性定理； 2实数位移定理；实数位移定理； 3复数位移定理；复数位移定理； 4终值定理；终值定理； 5卷积定理。卷积定理。 自动控制原理第七章课件 四、四、z 反变换反变换 已知已知z 变换表达式变换表达式E(z) ，求相应离散序列，求相应离散序列e(nT)的的 过程过程, 称为称为z 反变换，记作：反变换，记作： 1 1部分分式法（查表法）部分分式法（查表法） 部分分式法又称查表法，根据

29、已知的部分分式法又称查表法，根据已知的E(z) ，通过，通过 查查z 变换表找出相应的变换表找出相应的e*(t) ，或者，或者e(nT) 。 考虑到考虑到z 变换表中，所有变换表中，所有z 变换函数变换函数E(z)在其分子在其分子 上都有因子上都有因子z ，所以，通常先将，所以，通常先将E(z)/ z展成部分分式展成部分分式 之和，然后将分母中的之和，然后将分母中的z 乘到各分式中，再逐项查表乘到各分式中，再逐项查表 反变换。反变换。 )()( 1 zEZnTe 0 * )()()( n nTtnTete 自动控制原理第七章课件 例例 设设 ，试用部分分式法求其，试用部分分式法求其z 反变反变

30、 换。换。 解解 首先将首先将 展开成部分分式，即：展开成部分分式，即： 把部分分式中的每一项乘上因子把部分分式中的每一项乘上因子z 后，得：后，得： 查查z变换表得：变换表得： 最后可得：最后可得： )2)(1( 10 )( zz z zE z zE)( 2 10 1 10 )2)(1( 10)( zzzzz zE 2 10 1 10 )( z z z z zE 1 1 1 z z Z n z z Z2 2 1 2, 1, 0)()21(10)()()( 0 nnTtnTtnTete n n 自动控制原理第七章课件 2 2幂级数法（综合除法）幂级数法（综合除法） 若若E(z)是一个有理分式，

31、则可以直接通过长除法，是一个有理分式，则可以直接通过长除法， 得到一个无穷项幂级数的展开式，并且按得到一个无穷项幂级数的展开式，并且按 降幂形降幂形 式排列，根据式排列，根据 的系数便可以得出的系数便可以得出e(nT)的值。即：的值。即： 分子除以分母，将商按分子除以分母，将商按 降幂形式排列降幂形式排列 对应的采样信号：对应的采样信号： 其结果经常为开放形式。其结果经常为开放形式。 n z n z n z mn azaza bzbzb zE n nn m mm )( 1 10 1 10 n nz czczcczE 2 2 1 10 )( 0 210 * )()2()()()( n n nTt

32、cTtcTtctcte 0n n nz c 自动控制原理第七章课件 例例 设设 ，试用幂级数法求其，试用幂级数法求其z 反变换。反变换。 解解 应用长除法，用分母去除分子，即应用长除法，用分母去除分子，即 所以所以 )2)(1( 10 )( zz z zE 23 10 )2)(1( 10 )( 2 zz z zz z zE 43210 1507030100)(zzzzzzE )4(150)3(70)2(30)(10)( * TtTtTtTtte 自动控制原理第七章课件 7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数为研究离散系统的性能，需要建立

33、离散系统的数 学模型。线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲学模型。线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲 传递函数和离散状态空间表达式三种。本节重点介绍传递函数和离散状态空间表达式三种。本节重点介绍 脉冲传递函数的定义，以及求取开环脉冲传递函数和脉冲传递函数的定义，以及求取开环脉冲传递函数和 闭环脉冲传递函数的方法。闭环脉冲传递函数的方法。 一、脉冲传递函数一、脉冲传递函数 设离散系统如图所示。设离散系统如图所示。 线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：在零在零 初始条件下，系统输出采样信号的初始条件下，系统输出采样信号的z 变换变换C(z)与输入与输入

34、 采样信号的采样信号的z 变换变换R(z)之比。之比。记作记作 0 0 )( )( )( )( )( n n n n znTr znTc zR zC zG 自动控制原理第七章课件 上式表明，如果已知上式表明，如果已知R(z)和和G(z) ，则在零初始条，则在零初始条 件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：件下，线性定常离散系统的输出采样信号为： 在实际中许多系统的输出是连续信号在实际中许多系统的输出是连续信号c(t) ，如图，如图 所示。所示。 在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念， 可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示。可以在系统输出端

35、虚设一个开关，如图中虚线所示。 它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。 必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了 脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数c(t)在采在采 样时刻的离散值样时刻的离散值c*(t) 。 )()()()( 11* zRzGZzCZtc 自动控制原理第七章课件 2 2由传递函数求脉冲传递函数由传递函数求脉冲传递函数 传递函数传递函数 的拉式反变换是脉冲响应函数的拉式反变换是脉冲响应函数 ， 将将 离散化得到脉冲响应序列离散化得到

36、脉冲响应序列 ，将，将 进行进行z 变换可得到变换可得到 ，这一变换过程可表示如下：，这一变换过程可表示如下： 上述变换过程表明，只要将上述变换过程表明，只要将G(s)表示成表示成 z 变换表变换表 中的标准形式，直接查表可得中的标准形式，直接查表可得G(z) 。 由于利用由于利用 z 变换表可以直接从变换表可以直接从G(s)得到得到G(z) ，而，而 不必逐步推导，所以常把上述过程表示为不必逐步推导，所以常把上述过程表示为 G(z)=ZG(s) 并称之为并称之为G(s)的的z 变换变换 这一表示应理解为根据上述过程求出这一表示应理解为根据上述过程求出G(s)所对应所对应 的的G(z) ，而不

37、能理解为，而不能理解为G(z)是对是对G(s)直接进行直接进行z 变换的变换的 结果。结果。 )(sG)(tg )(tg)(nTg)(nTg )(zG )()()()()()( 1 zGnTgZnTgtgsGLsG 离离散散化化 自动控制原理第七章课件 二、开环系统脉冲传递函数二、开环系统脉冲传递函数 1 1串联环节之间有采样开关时串联环节之间有采样开关时 由脉冲传递函数定义由脉冲传递函数定义 其中，其中， 和和 分别为分别为 和和 的脉冲传递函数。的脉冲传递函数。 于是有于是有 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数 上式表明，由理想采样开关隔开的两个线性连续上式表明，由理想采样开关隔开的

38、两个线性连续 环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的 脉冲传递函数的乘积。脉冲传递函数的乘积。 , )()()( 1 zRzGzD )()()( 2 zDzGzC )( 1 zG)( 2 zG)( 1 sG)( 2 sG )()()()( 12 zRzGzGzC )()( )( )( )( 21 zGzG zR zC zG 自动控制原理第七章课件 2 2串联环节之间无采样开关时串联环节之间无采样开关时 系统的传递函数为：系统的传递函数为： 将它当作一个整体一起进行变换，由脉冲传递函数定义将它当作一个整体一起进行变换，由脉冲传递函数定义 上式

39、表明，没有理想采样开关隔开的两个线性连续上式表明，没有理想采样开关隔开的两个线性连续 环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数 乘积后的相应乘积后的相应z变换。这一结论也可以推广到类似的变换。这一结论也可以推广到类似的n个个 环节相串联时的情形。环节相串联时的情形。 )()()( 21 sGsGsG )()()( )( )( )( 2121 zGGsGsGZ zR zC zG )()()( 2121 zGGzGzG 注意注意 自动控制原理第七章课件 3 3有零阶保持器的开环脉冲传递函数有零阶保持器的开环脉冲传递函数 于是有零阶保持器时，开

40、环系统脉冲传递函数于是有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数 等效开环系统等效开环系统 根据根据z变换的实数位移定理，上式的第二项可写为：变换的实数位移定理，上式的第二项可写为： )( )( )( Ts pp e s sG Z s sG ZzG )( )( 1 s sG Zze s sG Z p Ts p )( )1( )( )( )( 1 s sG Zz zR zC zG p 自动控制原理第七章课件 三、闭环系统脉冲传递函数三、闭环系统脉冲传递函数 由于采样器在闭环系统中可以有多种配置，因此由于采样器在闭环系统中可以有多种配置，因此 闭环离散系统结构图形式并不唯一。下面介绍一种比闭环离散系统结

41、构图形式并不唯一。下面介绍一种比 较常见的误差采样闭环离散系统。图中虚线所示的理较常见的误差采样闭环离散系统。图中虚线所示的理 想采样开关是为了便于分析而设的，所有理想采样开想采样开关是为了便于分析而设的，所有理想采样开 关都同步工作，采样周期为关都同步工作，采样周期为T。 闭环离散系统脉冲传递函数闭环离散系统脉冲传递函数 闭环离散系统的误差脉冲传递函数闭环离散系统的误差脉冲传递函数 闭环离散系统的特征方程闭环离散系统的特征方程 式中，式中， 为开环离散系统脉冲传递函数。为开环离散系统脉冲传递函数。 )()()( )()()( )()()( zEzGHzB zBzRzE zEzGzC )(1

42、)( )( )( )( zGH zG zR zC z )(1 1 )( )( )( zGHzR zE z e 0)(1)( zGHzD )(zGH 自动控制原理第七章课件 需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能直接从需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能直接从 和和 求求z 变换得来，即变换得来，即 这是由于采样器在闭环系统中有多种配置的缘故。这是由于采样器在闭环系统中有多种配置的缘故。 用与上面类似的方法，还可以推导出采样器为不用与上面类似的方法，还可以推导出采样器为不 同配置形式的闭环系统的脉冲传递函数。但是，只要同配置形式的闭环系统的脉冲传递函数。但是，只要 误差信号误差信号e(t)处没

43、有采样开关，输入采样信号处没有采样开关，输入采样信号r*(t)便不便不 存在，此时不可能求出闭环离散系统的脉冲传递函数，存在，此时不可能求出闭环离散系统的脉冲传递函数， 而只能求出输出采样信号的而只能求出输出采样信号的z 变换函数变换函数C(z)。 )(s )(s e )()(),()(sZzsZz ee 自动控制原理第七章课件 例例 设闭环离散系统结构图如图所示，试证其闭环脉设闭环离散系统结构图如图所示，试证其闭环脉 冲传递函数为冲传递函数为 证明证明 由图得由图得 求解上面联立方程，消去中间变量求解上面联立方程，消去中间变量 、 后即可后即可 得证。得证。 )()(1 )()( )( 21

44、 21 zHGzG zGzG z )()()()( )()()( )()()( 12 11 12 zEzHGzRzE zEzGzE zEzGzC )( 1 zE)( 2 zE 自动控制原理第七章课件 例例 设闭环离散系统结构图如图所示，试证其输出采设闭环离散系统结构图如图所示，试证其输出采 样信号的样信号的z变换为变换为 证明证明 证毕证毕 )(1 )( )( zGH zGR zC )()()()(zCzGHzGRzC )()()(1zGRzCzGH )(1 )( )( zGH zGR zC 自动控制原理第七章课件 与线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳与线性连续系统分析中的情况一样，稳定

45、性和稳 态误差是线性定常离散系统分析的重要内容。本节主态误差是线性定常离散系统分析的重要内容。本节主 要讨论如何在要讨论如何在 z 域和域和 w 域中分析离散系统的稳定性，域中分析离散系统的稳定性， 同时给出计算离散系统稳态误差的方法。同时给出计算离散系统稳态误差的方法。 一、离散系统的稳定性分析一、离散系统的稳定性分析 为了将线性连续系统在为了将线性连续系统在s平面上分析稳定性的结平面上分析稳定性的结 果移植到果移植到z平面上分析离散系统的稳定性，首先需要平面上分析离散系统的稳定性，首先需要 研究研究s平面与平面与z平面的映射关系。平面的映射关系。 1 1s域到域到z域的映射域的映射 在在z

46、变换定义中，变换定义中， （T为采样周期）给出了为采样周期）给出了s 域到域到z域的映射关系。域的映射关系。 7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 sT ez 自动控制原理第七章课件 s 域中的任意点可表示为域中的任意点可表示为 映射到映射到z 域则为域则为 z 的模和幅角分别为的模和幅角分别为 s 平面上的虚轴平面上的虚轴 在在z 平面上为平面上为 上式表明，上式表明， s 平面上的虚轴映射到平面上的虚轴映射到z 平面上为圆心在平面上为圆心在 原点的单位圆，当原点的单位圆，当从从-变化至变化至+时，时， z 平面上的轨平面上的轨 迹已经沿着单位圆转过了无限多圈

47、。迹已经沿着单位圆转过了无限多圈。 js TjTTj eeez )( Tzez T 0 js Tzez T 1 自动控制原理第七章课件 由由s 域到域到z 域的映射关系可知：域的映射关系可知： s左半平面映射为左半平面映射为z平面单位圆内的区域（平面单位圆内的区域（ ， ）。）。 s右半平面映射为右半平面映射为z平面单位圆外的区域（平面单位圆外的区域（ ， ）。）。 s平面上的虚轴，映射为平面上的虚轴，映射为z平面的单位圆周。平面的单位圆周。 0 1 T ez 0 1 T ez 自动控制原理第七章课件 2 2离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件 由由s 域到域到z 域的映射关系

48、及连续系统的稳定判据可域的映射关系及连续系统的稳定判据可 以得出离散系统稳定的充分必要条件是：以得出离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当离当且仅当离 散系统特征方程的全部特征根均分布在散系统特征方程的全部特征根均分布在 z 平面上的单平面上的单 位圆内，或者系统所有特征根的模均小于位圆内，或者系统所有特征根的模均小于1 1。 例例 设离散系统如图所示，其中设离散系统如图所示，其中 试分析系统的稳定性。试分析系统的稳定性。 解解 由由 可求出开环脉冲传递函数可求出开环脉冲传递函数 系统闭环特征方程系统闭环特征方程 解出特征方程的根解出特征方程的根 该离散系统稳定该离散系统稳定 1, 1)(),

49、1(1)( TsHsssG )(sG )(1( )1( )( 1 1 ezz ze zG 0368. 0736. 0 2 zz 48. 037. 0,48. 037. 0 21 jzjz 1606. 048. 037. 0 22 21 zz 自动控制原理第七章课件 3 3劳斯稳定判据劳斯稳定判据 连续系统中的劳斯稳定判据，实质上是用来判断连续系统中的劳斯稳定判据，实质上是用来判断 系统特征方程的根是否都在左半系统特征方程的根是否都在左半s 平面。平面。 在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都 在在z 平面的单位圆内。平面的单位圆内。 引入引入z 域

50、到域到w 域的线性变换，使域的线性变换，使z 平面单位圆内的平面单位圆内的 区域，映射成区域，映射成w 平面上的左半平面，这种新的坐标变平面上的左半平面，这种新的坐标变 换，称为双线性变换，或也称为换，称为双线性变换，或也称为w 变换。变换。 复变量复变量z 与与w 互为线性变换，故互为线性变换，故w变换又称双线性变换。变换又称双线性变换。 令复变量令复变量 1 1 w w z若若令令 1 1 z z w则则有有 jyxz jvuw 自动控制原理第七章课件 显然显然 由于上式的分母由于上式的分母 始终为正，因此可得始终为正，因此可得 等价为等价为 ，表明，表明w平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于

51、z 平面的单位圆周；平面的单位圆周； 等价为等价为 ，表明，表明w左半平面对应于左半平面对应于z平平 面单位圆内的区域；面单位圆内的区域； 等价为等价为 ，表明，表明w右半平面对应于右半平面对应于z平平 面单位圆外的区域。面单位圆外的区域。 2222 22 )1( 2 )1( 1)( yx y j yx yx jvuw 22 22 )1( 1)( yx yx u 22 )1(yx 0 u1 22 yx 0 u1 22 yx 0 u1 22 yx 自动控制原理第七章课件 例例 设离散系统如图所示。其中采样周期设离散系统如图所示。其中采样周期T=0.1s，试，试 求系统稳定时求系统稳定时K的临界值

52、。的临界值。 解解 求出求出G(s)的的z变换变换 闭环特征方程为闭环特征方程为 令令 得得 368. 0368. 1 632. 0 )11 . 0( )( 2 zz Kz ss K ZzG 0368. 0)368. 1632. 0()(1 2 zKzzG 1 1 w w z 0368. 0 1 1 )368. 1632. 0( 1 1 2 w w K w w 自动控制原理第七章课件 化简后，得化简后，得w域特征方程域特征方程 列出劳斯表列出劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定， 必须有必须有 。 故系统稳定的临界增益故系统稳定的临界增益 0)632. 0736. 2(264. 1632. 0 2 KwKw Kw w KKw 632. 0736. 2 0264. 1 632. 0736. 2632. 0 0 1 2 33. 40 K 33. 4 K 自动控制原理第七章课件 二、离散系统的稳态误差二、离散系统的稳态误差