25多边形与平行四边形

1、多边形与平行四边形一.选择题1. （ 2018湖北省孝感市，第 2题3分）已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边形是A .正五边形B .正六边形C.正七边形D .正八边形考点：多边形内角与外角.分析：多边形的外角和等于360因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60n,列方程可求解.解答：解：设所求正 n边形边数为n,则 60 n=360 ,解得n=6.故正多边形的边数是 6.故选B .点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.2. （2018?江苏南昌 第5题3分）如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用 钉子

2、钉成一个矩形框架 ABCD ,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B . BD的长度变大C.四边形ABCD的面积不变D .四边形ABCD的周长不变答案：解析：选C. 向右扭动框架，矩形变为平行四边形，底长不变，高变小，所以面积变小.选C.3（2018?江苏无锡 ，第 8 题 2分）八边形的内角和为（）A 180B 360 C 1080D 1440 考点：多边形内角与外角分析：根据多边形的内角和公式（n- 2） ?180进行计算即可得解解答：解：（8 - 2） ?180 =6X 180 =1080故

3、选：C点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键4（ 2018?广东广州 ,第 8题 3 分）下列命题中，真命题的个数有（） 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A 3 个B 2个C 1个D 0 个考点：命题与定理；平行四边形的判定分析：分别利用平行四边形的判定方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可解答： 解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；

4、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等.故选：B.点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键.5. （ 2018?浙江衢州，第4题3分）如图，在ABCD中，已知 AD-2cm,AE平分/匸交，于点丄，则的长等于【】A.B.注c. 4企D.二匸【答案】C.【考点】平行线分线段成比例的性质.【分析】四边形ABCD是平行四边形， 也盟 AD m如AE 二上AEE.又平分4工，-V二用；_二二二云.疋司,IS J.J-覚;丁匸宀了 十.故选C.6. （ 2018?浙江丽水，第5题3分）一个多边形的每个内角均为120。

5、，则这个多边形是 【】A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】C.【考点】多边形的外角性质.【分析】多边形的每个内角均为 120 A外角的度数是：180。-120。=60。.多边形的外角和是 360, 这个多边形的边数是：36050=6 .故选C.7.（2018?浙江宁波，第7题4分）如图, ABCD中，E, F是对角线 BD上的两点，如果添加一个条件，使 ABE CDF，则添加的条件不能为【】A. BE=DFB. BF=DEC. AE=CF【答案】C.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断:四边形是平行四边形

6、， AB/ CD , AB=CD ./ ABE=Z CDF.若添加BE=DF，则根据SAS可判定 ABE CDF ;若添加BF=DE，由等量减等量差相等得 BE=DF ,则根据SAS可判定 ABE6 CDF ；若添加AE=CF，是AAS不可判定 ABE CDF ;若添加/仁/2，则根据 ASA可判定 ABEBA CDF.故选C.8. （2018?绵阳第7题，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E，/CBD=90 BC=4, BE=ED=3，AC=10，则四边形 ABCD 的面积为（）UL_CA .6 B. 12 C. 20 D. 24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形

7、的判定与性质；勾股定理.分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定， 可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案.解答： 解：在RtA BCE中，由勾股定理，得CE= |=.广7 -=5./ BE=DE=3, AE=CE=5,四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC?3D=4X （ 3+3） =24,故选：D.点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式.9. （ 2018?四川凉山州，第17题4 分）在？ABCD中，M , N是AD边上的三等分点，连接B

8、D,MC 相交于 O 点，贝U Sa mod : Sacob=【解析】试题分析= 如图，TU工是舶边上的三等分V 空空丄,四边形J3C3是平Q）1行四边形丄Q7号&AaQsZB（?O,二 一=CO Bi（2）若* T交换位置，同样可亀 J5_”日竺CO故答案为；丄或土99考点：1相似三角形的判定与性质；2 平行四边形的性质.10. （2018南宁，第9题3分）一个正多边形的内角和为540 则这个正多边形的每一个外角等于（）（A）60 （ B）72 （ C） 90 （ D）108 考点：多边形内角与外角.分析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180 （ n - 2） =540,即可求得n=5

9、,再再由多边形的外角和等于 360即可求得答案.解答：解：设此多边形为 n边形，根据题意得：180 （ n- 2） =540,解得：n=5,这个正多边形的每一个外角等于：一=72 .5故选B .点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识注意掌握多边形内角和定理：（n-2）?180：外角和等于 360 ,11. （2018河南，第7题3分）如图，在口 ABCD中，用直尺和圆规作 / BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6 , AB=5，则AE的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 10C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图设AE与1BF 交于点 O, / A

10、F=AB, / BAE= / FAE , AE 丄BF , OB=BF=3 在 RtAAOB 中，2AO= J52-32 =4，T 四边形 ABCD 是平行四边形， AD / BCZ FAE= / BEA, / BAE=Z BEA , AB=BE, AE=2AO=8.12. （2018黑龙江绥化，第10题 分）如图口 ABCD的对角线 ACBD交于点O ,平分Z BAD交1BC于点E,且/ADC =60, AB= BC连接OE .下列 结论：/ CAD=3021SD ABCD=AB?AC OB=AB OE = BC 成立的个数有（）4A.1个 B.2个C.3个D.4个考点：平行四边形的性质；等

11、腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.分析：由四边形 ABCD是平行四边形，得到 / ABC= / ADC =60, / BAD=120 ,根据AE平分/ BAD，得到/ BAE=Z EAD=60推出 ABE是等边三角形，由于AB= BC，得至U AE=BC,得到 ABC是直角三角形，于是得到 / CAD=30故正确；由于 AC丄AB,得到S?abcd=AB?AC,故正确，根据 AB= ,BC, OB= ,BD，且BD BC,得到AB幻B,故错 误；根据三角形的中位线定理得到OE= ,AB，于是得到OE=_BC，故正确.解答：解：/四边形ABCD是平行四边形，/

12、 ABC=Z ADC=60 / BAD =120 ,/ AE 平分 / BAD,/ BAE=Z EAD=60 ABE是等边三角形, AE=AB = BE, / AB= BC,2AE= BC,2/ BAC=90 ,/ CAD=30,故正确;/ AC 丄AB, S? ABCD =AB?AC，故正确,AB=】BC,OB=】BD/ BD BC, AB OB，故错误;/ CE=BE, CO=OA,-OE= AB, OE=，BC,故正确.4故选c .点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.13、（2018?

13、山东临沂，第17题3分）如图，在 Y ABCD中，连接BD，丄蜜丄型，朋-4,3，则丫 ABCD的面积是 .4（第IT题團）【答案】3J【解析】试題分析:根幄AD丄珈辭=4, sxniF扌可求珈=山然后根捋勾股定理可求得AD= 4居_曲 =J7 ,因此可求4BD的面积为工远= 1x3x=|/7 .再哦平行四边那的对角线分平行四边形得到的三角 形全等可求 5,abcd = 2x-7=3-考点：勾股定理，平行四边形的面积14. （2018?安徽省,第8题，4分）在四边形ABCD 中，/ A= Z B= Z C,点 E 在边 AB 上,/ AED = 60 则一定有（）A . Z ADE = 20

14、B . Z ADE = 30 丄C. Z ADE = 2 Z ADC丄D . Z ADE = y Z ADC考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理分析：利用三角形的内角和为180四边形的内角和为 360分别表示出Z A, Z B, Z C,根据 Z A= Z B= Z C,得到 Z ADE= ,Z EDC，因为131Z ADC = Z ADE+Z EDC= ,Z EDC + Z EDC= ,Z EDC，所以 Z ADC= Z ADC，即可解答.EO解答：解：如图,BC在厶 AED 中，/ AED=60/ A=180 - / AED - / ADE=120 - / ADE ,在四边形 DEBC

15、 中，/ DEB=180 - / AED=180 - 60=120 ,/ B= / C= ( 360- / DEB - / EDC)弋=120 -Z EDC ,/ A= / B=Z C, 120 EDC ,ADE=f EDC3/ADC = / ADE+ / EDC= / EDC+ / EDC=, / EDC，ADE=/ ADC180故选：D.点评：本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为四边形的内角和为 360，分别表示出/ A, / B, / C.填空题1. （2018?广东梅州 第15题5分）如图，在？ABCD中，BE平分/ ABC, BC=6 , DE=2，则A

16、BCD的周长等于 20 .考点：平行四边形的性质.分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得 AE / BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出 / ABE=Z AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果.解答： 解：T四边形ABCD为平行四边形， AE / BC, AD=BC, AD = BC,/ AEB=Z EBC,/ BE 平分/ ABC,/ ABE=Z EBC,/ ABE=Z AEB, AB=AE, AE+DE=AD=BC=6 , AE+2=6, AE=4, AB=CD=4, ? ABCD 的周长=4+4+6+6=20 ,故答案为：20.点评：本题考查了平行四边形的性质，解答

17、本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出 / ABE=Z AEB .2. （2018湖南岳阳第15题4分）一个n边形的内角和是180 则n= 3考点：多边形内角与外角.分析：根据多边形内角和定理即可列方程求解.解答：解：根据题意得180 ( n - 2) =180 ,解得：n=3.故答案是：3.点评：本题考查了多边形的内角和定理，题目较简单，只要结合多边形的内角关系来寻求等量关系，构建方程即可求解.3,( 2018湖南邵阳第12题3分)如图，在？ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE/ DF , 请从图中找出一对全等三角形： ADF BEC .考点：全等三角形的判定；平行四边形的

18、性质.专题：开放型.分析：由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形.解答：解：T四边形ABCD是平行四边形， AD = BC, / DAC = Z BCA ,/ BE / DF ,/ DFC = / BEA,/ AFD = Z BEC, 在厶ADF与厶CEB中,ZDAC=ZBCA它 ZAFD-ZBEC,.AD 二 BC ADF BEC (AAS),故答案为： ADF BEC .点评：本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边 形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键.4. （ 2018湖南邵阳第15题3分）某正n边形的一个内角

19、为 108 贝U n= 5 .考点：多边形内角与外角.分析： 易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为 360。，那么，边数n=360 个外角的度数.解答： 解：正n边形的一个内角为108正n边形的一个外角为 180 - 108 =72, n=360 -72 =5.故答案为：5.点评：考查了多边形内角与外角， 用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为180正多边形的边数等于 360FE多边形的一个外角度数.5. （2018?四川省内江市，第 24题，6分）如图，正方形 ABCD的边CD在正方形ECGF的 边CE 上, O是EG的中点，/ EGC的平分线GH过点D，交

20、BE于点H,连接OH , FH ,EG与FH交于点 M，对于下面四个结论：CH丄BE ；HO丄BG；S正方形abcd : S正方形ecgf=1 : 2;EM : MG=1： （1 +迈）,其中正确结论的序号为 .考点：四边形综合题.分析：证明 BCE DCG，即可证得/ BEC=Z DGC，然后根据三角形的内角和定理证得/EHG=90，则HG丄BE，然后证明 BGH EGH，则H是BE的中点，则OH是厶BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断.根据 DHNDGC求得两个三角形的边长的比，则即可判断.解答： 解：四边形ABCD是正方形， BC=DC , / BCE=90同理可得 CE =C

21、G , / DCG =90 ,在厶BCE和厶DCG中，rBC=DC“ ZBCE=ZDCG=90,lce=cg BCE DCG ,/ BEC=Z DGC ,/ EDH = / CDG , / DGC + / CDG=90/ EDH + / BEC=90 ,/ EHD=90 , HG丄BE,贝U CH丄BE错误，则故错误；(ZEHG=ZBHG在 BGH 和厶 EGH 中，円 HG二HGlZEGH=ZBGH BGH EGH ,BH=EH,又TO是EG的中点，故正确；设EC和OH相交于点N.设HN = a，贝U BC=2a，设正方形 ECGF的边长是2b，贝U NC=b, CD=2a,/ OH / B

22、C, DHN DGC ,2 2 =，即=二，即 a+2ab- b=,解得：a= 或a=：舍去），贝y S正方形ABCD : S正方形ECGF= ( ) 2=丄一，故错误;24/ EF / OH ,即二生 二b0Ea+3b? EGa+3bEM_b_=-=：故错误.故正确的是.故答案是：.点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键.6. （2018?江苏徐州，第12题3分）若正多边形的一个内角等于140。，则这个正多边形的边数是 9.考点：多边形内角与外角.分析：首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数.解

23、答：解：正多边形的一个内角是 140它的外角是：180 - 140=40 ,360 40 9.故答案为：9.点评：此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数,再利用外角和定理求出求边数.7. （2018?四川成都，第14题4分）如图，在平行四边形 ABCD中，AB =13，AD = 4 ,将平行四边形 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为.【答案】：3【解析】：点B恰好与点C重合，且四边形 ABCD是平行四边形,根据翻折的性质，则AE _ BC，BE二CE = 2，在RUABE中，由勾股定理得AE = , AB2 -BE2二= 38. （ 2

24、018?四川眉山，第18题3分）如图，以厶ABC的三边为边分别作等边 ACD、 ABE、 BCF，则下列结论： 厶EBF DFC ；四边形AEFD为平行四边形； 当AB=AC, / BAC=120时，四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 .（请写出正确结论的 番号）.考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定.专题：计算题.分析： 由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边 相等，/ ABE= / CBF=60，禾U用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=A

25、C，再由三角形 ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD, AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若 AB=AC, / BAC=120 只能得到 AEFD为菱形，不能为正方形, 即可得到正确的选项.解答： 解： ABE、 BCF为等边三角形， AB=BE=AE, BC=CF=FB , / ABE= / CBF=60/ ABE - / ABF= / FBC - / ABF，即 / CBA= / FBE ,在厶ABC和厶EBF中，“ ZCBA=ZFBE ,lbc=bf ABC EBF （SAS）,选项正确； EF=AC ,又 ADC为等边三角形，CD=

26、AD=AC, EF=AD ,同理可得AE=DF ,四边形AEFD是平行四边形，选项 正确；若AB=AC, / BAC=120 ,则有AE=AD , / EAD=120 ,此时AEFD为菱形，选项 错误， 故答案为：.点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， 平行四边形的判定， 以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.9. （ 2018?广东省，第11题，4分）正五边形的外角和等于 （度）.【答案】360.【考点】多边形外角性质【分析】根据 n边形的外角和都等于 360度”的性质，正五边形的外角和等于360度.10. （2018?北京市,第 12题，3分

27、）右图是由射线 AB, BC, CD , DE，组成的平面图形，则/ 1+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5=.【考点】多边形【难度】容易【答案】360【点评】本题考查多边形的基本概念。11.（2018?广东梅州,第13题，3分）如图，在 口 ABCD中，BE平分/ABC, BC=6, DE=2,则口 ABCD的周长等于 考点：平行四边形的性质. 分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得 AE / BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出 / ABE= / AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果.解答：解：/四边形ABCD为平行四边形, AE / BC, AD=BC, AD

28、 = BC,/ AEB=Z EBC,/ BE 平分/ ABC,/ ABE=Z EBC,/ ABE=Z AEB, AB=AE, AE+DE=AD=BC=6 , AE+2=6, AE=4,/ AB=CD=4, ? ABCD 的周长=4+4+6+6=20 ,故答案为： 20点评：本题考查了平行四边形的性质， 解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出 / ABE=Z AEB .12(2018?四川资阳 ,第 12 题 3 分)一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是 考点：多边形内角与外角 .分析：任何多边形的外角和是360即这个多边形的内角和是3X360. n边形的内角和

29、是(n - 2) ?180如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以 求出多边形的边数.解答：解：设多边形的边数为n,根据题意，得(n - 2) ?180=3X 360解得 n=8.则这个多边形的边数是 8.点评：已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决.考查了相似形综合题， 涉及的知识点有： 等腰直角三角形的判定和性质， 平行线的判定和性质， 矩形的判定和性质， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质， 勾股定理， 相似三角形的判定和性质，综 合性较强，有一定的难度.13.（2018辽宁大连，14, 3分）在口 ABCD中，点O是对角线 AC、BD的交点

30、，AC垂直于 BC,且 AB=10cm, AD=8cm，贝U OB=cm.（第14题）【答案】、73 cm.【解析】解：因为 AC垂直于BC,AB=10cm, BC=AD=8cm, 1所以 AC= . AB2 _ BC2 ；102 _82 =6，所以 OC=?AC=m.所以 OB= OC2 BC2 = 32 82 二 73 cm.故答案为,73 cm.（2018 山东潍坊第 14 题 3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD / BC ,BC=50 ,AB=20, Z B=60考点：等腰梯形的性质.分析：首先作辅助线：过点 A作AE/ CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD

31、是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=AB=20 , AD=EC,易得 ABE是等边三角形，即可求得 AD的长.解答：解：过点A作AE / CD交BC于点E,/ AD / BC,四边形AECD是平行四边形， AE=CD=AB=20, AD=EC,/ B=60 , BE=AB=AE=20, AD = BC- CE=50 - 20=30 .故答案为：30点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质.解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线.14. （2018山东威海，第18题3分）如图，用一种大小相等的正多边形密铺成 一个环”我们称之

32、为环形密铺.但图 ，不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形：正十二边形考点：平面镶嵌（密铺）.分析：根据环形密铺的定义，所用多边形的外角的2倍是正多边形的内角即可.解答：解：正十二边形的外角是 360 ：12=30 ,/ 30 X2=60是正三角形，正十二边形可以进行环形密铺.故答案为：正十二边形.点评：本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键.三解答题1. (2018?江苏徐州，第23题8分)如图，点A, B, C, D在同一条直线上，点 E, F分别在直线 AD 的两侧，且 AE=DF , / A= / D,

33、AB=DC.(1) 求证：四边形BFCE是平行四边形；(2) 若 AD=10, DC=3, / EBD=60 则 BE= 4 时，四边形 BFCE 是菱形.考点：平行四边形的判定；菱形的判定.分析： (1 )由 AE=DF , / A= / D , AB=DC，易证得 AEC DFB，即可得 BF=EC ,/ ACE = Z DBF ,且EC / BF,即可判定四边形 BFCE是平行四边形；(2)当四边形BFCE是菱形时，BE=CE ,根据菱形的性质即可得到结果.解答： (1)证明：/ AB=DC , AC=DF ,在厶AEC和厶DFB中fAC=DB ZA=ZD ,AE=DF AEC DFB

34、( SAS), BF =EC , / ACE= / DBF EC / BF ,四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE,/AD=10, DC=3, AB=CD=3, BC=10 - 3 - 3=4,/ EBD=60 , BE=BC=4,当BE=4时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质、平行四边形的判 定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.2. （ 2018?四川广安，第19题6分）在平行四边形 ABCD中，将 BCD沿BD

35、翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点 O,求证：OA=OE.考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题） 专题：证明题.分析：由在平行四边形 ABCD中，将 BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得/ DBE = Z ADB，得出OB = OD，再由/ A= / C,证明三角形全等，利用全等三角形的性质证 明即可.解答：证明：平行四边形 ABCD中，将 BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得/ DBE= / ADB , / A= / C, OB = OD,在厶AOB和厶EOD中，rZA=ZCZACB-ZEOD,lob=od AOB EOD (AAS),OA=OE

36、.点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质.此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用.3. (2018?北京市，第22题，5分)在平行四边形 ABCD中，过点D作DE _ AB于点E,点F 在边 CD 上，DF =BE，连接 AF , BF。(1) 求证：四边形 BFDE是矩形；(2) 若 CF =3 , BF =4 , DF =5，求证：AF 平分.DAB。【考点】平行四边形的性质【难度】中等【答案】:.DC .*3* * A245：vHF-5c二二 XgfniHm 云叮a.*45.苏工5 =能 二；:二今DE5F二唱宅AZBFr

37、KrVCF-3. Sr-4./.SC-777-5二Q咒时 SDE 二 QiF - JF.7 jlDFA*Z/iiB:、ZH5 * ZFAS： .tF ZDiiS【点评】本题考查了平行四边形的性质与矩形的判定.4. （2018贵州六盘水，第20题8分）如图11,已知，li l2, Ci在h上，并且CiA丄12, A为垂足，C2, C3是li上任意两点，点 B在12上，设 ABCi的面积为Si, ABC2的面积为S2, ABC3的面积为S3,小颖认为Si= S2= S3,请帮小颖说明理由.考点：平行线之间的距离；三角形的面积.分析：根据两平行线间的距离相等，即可解答.解答：解：直线li/ l2,

38、ABCi, ABC2, ABC3的底边 AB上的高相等, ABCi, ABC2, ABC3这3个三角形同底，等高， ABCi, ABC2, ABC3这些三角形的面积相等.即 Si=S2=S3.点评：本题考查了平行线之间的距离，解集本题本题的关键是明确两平行线间的距离相等.5.（ 2018 辽宁大连，19，9 分）在 口 ABCD中，点 E、F 在 AC 上，且 / ABE = Z CDF ,求证：BE=DF.（第 19 题）【答案】证明 ABECDF。【解析】证明：因为四边形 ABCD是平行四边形所以 AB / CD , AB=CD，因为 AB / CD，所以 / BAE= / DCF.ABE

39、 = . CDF所以在 ABE和厶CDF中,AB=CD所以 ABE CDF，所以 BE=DF.NBAE =NDCF6. （2018呼和浩特，18,6分）.（6分）如图，QABCD的对角线 AC、BD相交于点 O,AE=CF.(1) 求证： BOE DOF ;若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形 EBFD的形状，无需说明理由考点分析：全等平行四边形性质特殊四边形判定 推理能力解析：在考前所写的考点重点突破中讲到：现在要证的全等基本上没有直接具 备条件的，目前呼市的难度是二次全等，或者通过加减等线段（共线段）或加减等角（同角） 来证全等，且今年的必考特殊四边形判定。喜欢做几何题，因为好的几何题

40、是靠逻辑推理来进行证算的，学习数学的一大目的是培养人A的逻辑推理能力，所以认为在几何知识考查方面应该更重视逻辑推理能力的考查。证三角形全等，首先至少一组对应边相等，所以在证明三角形全等时先找一 组对应边。如右图所示，一般先把题问在图上标出来，即两个红色三角形。首先看看BE和FD是否相等？ AEBCFD （SAS）,你能找到为什么吗？其次看看BO和DO是否相等？可以相等，为什么，平行四边形性质：对角线互相平分。那么AO也就是等于 CO,又从已知可知，AE=CF，所以EO=FO,这就是说的等长减去等长。轻松通过一个平行四边形的性质找到两组对应边相等，之后我们看他们的夹角，是对顶角，所以SAS第二问

41、更简单，你已经可以看出貌似是个矩形，因为本问不要求过程，所以只要在草稿划拉出来就可以直接写你判定的结论。证明过程也很简单，一起给出过程。证明： (1)：四边形ABCD为平行四边形 BO=DO , AO=OC/ AE=CF AO AE=OC CF即 OE=OF在厶BOE和厶DOF中，OB =0D/BOE 二.DOFOE =0F BOE DOF (SAS)(2) / BOE 也厶 DOF BE=FD , / OFD=Z OEB/ OFD = / OEB BE/ FD四边形BEDF为平行四边形又 BD=EF四边形BEDF为矩形7. (2018?四川泸州，第24题12分)如图， ABC内接于O O,

42、AB=AC, BD为O O的弦， 且AB / CD，过点A作O O的切线AE与DC的延长线交于点 E, AD与BC交于点F。(1) 求证：四边形 ABCE 是平行四边形；(2) 若 AE=6, CD=5，求 OF 的长。考点：切线的性质；平行四边形的判定 .分析：(1)根据切线的性质证明 / EAC=Z ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量 代得到/ EAC= / ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE / BC,结合已知AB/ CD 即可判定四边形 ABCD 是平行四边形；(2)作辅助线，连接 AO,交BC于点H，双向延长OF分别交AB, CD于点N, M，根据 切割线定

43、理求得 EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定 理的综合应用证明 OFHDMFBFN，并由勾股定理列式求解即可.解答：(1)证明：/ AE与O O相切于点A,/ EAC=Z ABC,/ AB=AC/ ABC=Z ACB,/ EAC=Z ACB, AE / BC,/ AB / CD ,四边形ABCE是平行四边形;(2)解：如图，连接 A0,交BC于点H，双向延长OF分别交AB, CD与点N, M , AE是O 0的切线，由切割线定理得，AE2=EC?DE ,AE =6, CD =5,26=CE ( CE+5),解得：CE=4,(已舍去负数)，由圆的对称性，知四边形

44、 ABDC是等腰梯形，且 AB=AC=BD=CE=4,又根据对称性和垂径定理，得A0垂直平分BC , MN垂直平分AB, DC ,设 OF=x, OH=Y, FH=z,/AB =4, BC=6, CD=5, BF=BC - FH=3 - z DF=CF=丄BC+FH=3+z2 ， 2 ，易得 OFHDMF BFN , DF二 DM BF_BN ：l， :l，_5即二二,电得:3+e 5j - -_，x-2y3+z.2 2 2.x =y +Z ,16xOF=21CD点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边 形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相

45、似判定和性质，勾股定理，正确得 作出辅助线是解题的关键.8. （2018?四川凉山州，第24题8分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行 的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边， 不平行的两边叫梯形的底边， 不平行的两 边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线具有以下性质： 梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半.如图（1）:在梯形 ABCD中：AD / BC,/ E、F 是 AB、CD 的中点， EF / AD / BC , EF=(AD + BC)ffl材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）:在厶ABC中：/ E

46、是AB的中点，EF / BC F是AC的中点图请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.如图（3）在梯形ABCD中，AD / BC,AC丄BD于O,E、F分别为AB、CD的中点，/ DBC=30 .（1）求证：EF=AC ；(2)若 OD=3 彳,OC=5，求 MN 的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2） 2.【解析】试题分折：由直角三角形中拧的锐角所对的直:边是斜边的一半，可得处4 处4眈即 可证明】（2）直角三角形中乂产的锐角所对的MSifi是斜边的一半，得出O.m利用平行践得出C： = - .?.；再 棍据丄让+且O 得出（?-=4 - 2=1，进而得出出的值试题解析：门）二厶山

47、4ND占O覚卢，二在乂込丄笳和玉山 中，O.-AD, 0C= 丸、 二加+0U 丄（MZXSC ：EF- BC .ACEF,T*=止厂iy：AD/BC ADO=DSC-3，二在沁,8 和左広召丸中，0上一工d 0C 吕心 T 4 3 J3 , （70=5,/AD/EFr Z.ADO=r /.2a=：考点：四边形综合题.9. （2018湖南邵阳第21题8分）如图，等边 ABC的边长是2, D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF .（1）求证：DE=CF ；（2）求EF的长.考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.分析：(1)直接利用

48、三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC ；(2) 利用平行四边形的判定与性质得出DC = EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理解答：(1)证明：TD、E分别为AB、AC的中点， DEBC,得出EF的长.=2延长BC至点F，使CF= BC, DE FC,即 DE=CF；(2)解：DEFC,四边形DEFC是平行四边形，DC=EF,/ D为AB的中点，等边 ABC的边长是2, AD = BD=1 , CD丄AB, BC=2, DC = EF=二.点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出 DE ； BC是解题关键.210. (2018

49、湖南邵阳第25题8分)已知在 RtA ABC中，/ ACB=90 现按如下步骤作图: 分别以A，C为圆心，a为半径(a AC)作弧，两弧分别交于 M , N两点；ti 过M , N两点作直线 MN交AB于点D，交AC于点E;将 ADE绕点E顺时针旋转180设点D的像为点F.(1)请在图中直线标出点 F并连接CF ;(2) 求证：四边形 BCFD是平行四边形；(3) 当/ B为多少度时，四边形 BCFD是菱形.考点： 菱形的判定；平行四边形的判定；作图一旋转变换.分析： (1)根据题意作出图形即可；(2) 首先根据作图得到 MN是AC的垂直平分线，然后得到 DE等于BC的一半，从而得到DE=EF

50、，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；(3) 得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.解答：解：(1)如图所示:(2) 根据作图可知：MN垂直平分线段 AC, D、E为线段AB和AC的中点， DE是厶ABC的中位线， DE=BC,将 ADE绕点E顺时针旋转180点D的像为点F,EF=ED, DF = BC,/ DE / BC,四边形BCFD是平行四边形；(3)当/ B=60时，四边形BCFD是菱形；/ B=60 , BC= AB,2 ，DB七AB, DB = CB ,四边形BCFD是平行四边形，四边形BCFD是菱形.解题的关键是能够点评：本题考查了菱形的判定、 平行四边形的判定及基本作图的知识,了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大.11.