三角恒等变换

1、三、三角恒等变换变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在基本初等函数（）中，我们接触了同角三角函数式的变换，在三角恒等变换中，我们将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。 三角函数的建立和它的变换经历了漫长的发展过程，从17世纪至今，经过众多数学家的充实和发展，成为数学的一个重要分支三角学，为大自然、实际生活和其它学科（如物理学）的解决和学习提供理论依据和方法。数学史话数学的十大伟人

2、黄友初1.伯特兰罗素伯特兰罗素（B.Russell，18721970，英国哲学家、数学家、社会学家，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和社会活动家。生于英国威尔士莫矛斯郡。罗素幼时很孤寂，对数学的迷恋，成为他的主要兴趣。罗素一生以追求真理和正义为终生职志，积极参加社会、政治活动，追求并自由，和平。作为哲学家，他的思想大致经历了绝对唯心主义、逻辑原子论、新实在论、中立一无论等几个阶段。他的主要贡献首先是在数理逻辑方面，他由数理逻辑出发，建立起来的逻辑原子论和新实在论，使他成为现代分析哲学的创始人之一。1950年诺贝尔文学奖。罗素留给世人的名言很多，例如：（1）自由必须以平等为前提。而绝对的平等

3、是不存在的，只能是“引起最少嫉妒的安排”。（2）自由之路上有两大障碍：物质的和社会的。（3）自由的实现有些需要是基本和必须的，如：食物、饮料、衣物、健康、性、关怀等。这些基本需要中有一种得不到满足，自由就不可能真正实现。（4）爱能使人的欲望变得协调，而非冲突。两个相爱的人可以成败与共，而相恨的人，一方的失败则是另一方的成功。2哥德巴赫哥德巴赫(C.Goldbach，16901764)，德国数学家。生于格奥尼格斯别尔格；曾在英国牛津大学学习；原学法学，曾担任中学教师。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科。1729年-17

4、64年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来，其中便有著名的哥德巴赫猜想。3.怀尔德怀尔德(Roymond Louis Wilder,1896-1982)，美国数学家。1896年11月3日出生于美国马萨诸塞州，1982年7月7日卒于加利福尼亚州圣巴巴拉。1923年获得得克萨斯大学博士学位。19501951任美国数学会副主席，19551956任主席，19651966任美国数学协会主席，1973年美国数学协会福特奖和杰出服务奖。1963年被选为美国全国科学院院士。主要研究拓扑学，著有流形的拓扑，对数学史与数学基础也做过研究，著有数学基础引论、数学概念演变初探、作为一种文化体系的数学等著作。在

5、作为一种文化体系的数学书中，怀尔德从人类学的角度提出了“数学一种文化体系”的数学哲学观，被后人给予很高的评价，被认为是“自1931年以来出现的第一个成熟的数学哲学观”。4. M克莱因M克莱因（Morris Kline，19081992），美国数学史家、数学教育家与应用数学家，1908年5月1日生于美国纽约市布鲁克林。毕业于纽约大学，l936年获得博士学位后在普林斯顿高等研究院研究拓扑学，1938年回纽约大学任文理学院教授，并在著名数学家库朗指导下研究应用数学。l976年他被纽约布鲁克林大学任命为荣誉教授。M克莱因关于数学史的代表作是古今数学思想，它不同于一般数学史的著作，而主要“从历史角度来讲

6、解的数学入门书”，突出了数学发展的思想方法，论述了数学思想的古往今来，被誉为“我们现有的数学史中最好的一书”。5.赫尔曼汉克尔赫尔曼汉克尔（德语：Hermann Hankel，1839.2.141873.8.29），德国数学家，生于萨克森-安哈尔特州哈雷市。汉克尔曾与莫比乌斯、黎曼、维尔斯特拉斯和克罗内克尔等数学家共同学习和工作。汉克尔著名的贡献包括他提出的贝塞尔方程的一类特殊函数解（称为“第三类贝塞尔函数”或汉克尔函数），和线性代数中的汉克尔矩阵。6.阿基米德阿基米德(Archimedes，约公元前287212)是古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。公元前287年，阿基米德诞

7、生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去学习。公元前240年，阿基米德回叙古拉，当了赫农王的顾问，帮助国王解决生产实践、军事技术和日常生活中的各种科学技术问题。公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究科学问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。他被认为是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复

8、兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。还被认为是历史上最伟大的数学家。7.牛顿牛顿（S. I. Newton，16431727），英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士，生于英国林肯郡小镇沃尔索浦。幼时成绩一般，喜欢制作些奇奇怪怪的小玩意。后就读于剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得者，被选为巴罗的助手，1665年获学士学位。16651666年学校因伦敦的鼠疫而停课，牛顿于1665年6月离校返乡。16651666年这段短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，他的三大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想都是在这时孕育成形的。他在1687年发表的论文自然哲学的数学

9、原理里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。牛顿在光学、天体力学、望远镜等方面都有重要贡献，他不愧是一位科学上的巨人，但是他在与人相处中，却有不同的说法。牛顿剥夺了胡克在万有引力上的成果，被选为英国皇家学会的主席，就下令在皇家学会除去所有的胡克的肖像。引用弗拉姆斯蒂德观测数据却因私人矛盾，在原理的第二版将弗拉姆斯蒂德的名字删去。在微积分发明权上导演对莱布尼兹的指控

10、。牛顿曾经谦逊地评价他自己：“我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。”他留给世人的名言是：“如果说我比别人看得更远些,那是因为我站在了巨人的肩上。”8.莱布尼茨莱布尼茨（G. W. von Leibniz，16461716），德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。莱布尼茨出生于德国东部莱比锡，家学渊源，15岁

11、进入莱比锡大学学习法律，1666年以论身份获阿尔特多夫大学博士学位，被聘为法学教授。1682年，创办了近代科学史上卓有影响的拉丁文科学杂志学术纪事(又称教师学报)。莱布尼茨推动建立了柏林科学院，出任首任院长。当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员。莱布尼茨1684年10月在教师学报上发表的论文一种求极大极小的奇妙类型的计算，是最早的微积分文献。莱布尼茨运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号。莱布尼茨在1674年造出一台机械计算机“乘法器”，系统提

12、出了二进制的运算法则，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。莱布尼茨留给世人的名言是： “世界上没有两片完全相同的树叶”9. 高斯高斯（J. C .F. Gauss，17771855），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。1792年发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、质数分布定理、及算术几何平均。1796年发现正十七边形尺规作图之理论与方法，并为欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或

13、者复数解。高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。高斯亦从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础。高斯和韦伯19世纪的30年代，高斯发明了磁强计，1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置，并于次年得到美国科学家的证实。高斯留给世人的名言有：（1）“数学是科学之王。”（2）“数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深。”10.约瑟夫路易斯拉格朗日约瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）法国数

14、学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文论分析方法的优点后，迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公

15、认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。1766应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了分析力学一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。1783年，拉格朗日的

16、故乡建立了都灵科学院，他被任命为名誉院长。1786年接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：论任意阶数值方程的解法、解析函数论和函数计算讲义，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。三角函数符号的来历和读法古印度数学家阿耶波多Aryabhat

17、a最初研究正弦函数时，因该函数图酷似半张弓弦，命名其为ardha-jya（半弦）。这是一个非常传神的定义。这个名称也可写成“jya-ardha”，有时还简写成jya或jiva。Arayabhata的Arayabhatiya是第一本明确提出正弦函数的著作。 阿耶波多(Aryabhata)（476550）相当于中国南北朝的祖冲之（429500）那个年代。1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。 阿拉伯人继承和发扬了印度的数学成就 ，他们保留了“jiva”单词，却没有翻译出它的意思，由于阿拉伯语发音的原因，该词转写为jiba（请不要笑）。并且被读作jib

18、a或jaib（因我不识阿拉伯语，不知其详），而恰好“jaib”在阿拉伯语中的意思是“胸部、海湾或曲线”。当欧洲人将阿拉伯人的作品翻译成拉丁文时，就用拉丁文中表示“胸部、海湾或曲线的单词“sinus”替代了阿拉伯语的“jaib”，sinus这个词在欧洲就被广泛采用，简写符号“sin”最初由冈特开始采用，冈特还发明了“tan”符号。 弦的简写sin是英国天文学教授冈特Edmund Gunter所率先使用的，他还率先将余弦写作cosinus，后者是对拉丁语comlementi sinus（正弦的补）的简写。 与此相似，余切cotangent是正切tangent的补，符号为cot；余割cosecant

19、是正割secant的补，符号位csc。之所以是补，因为他们每对之间角度和都是直角。正切函数起源于古代的日影测量，其主要作用是天文计时。早先人们用日晷的投影和晷长之比来判定时间 ，而这个比值即为正切函数的雏形。人们将直立杆在地面的投影称之为umbra recta（直立杆之投影），将垂直于墙面的水平杆在墙面的投影称为umbra versa（倒杆之投影），这二者分别演变成后来的正切函数和余切函数 。最早的正切和余切表建立于公元860年天文学家al-Battani(美索不达米亚人),他得出垂直日晷的影子与日晷高度之比。但未用cot这个符号。1583年，丹麦数学家Thomas Fincke,使用术语um

20、bra recta(直影），来描述垂直日晷的水平投影的大小。1620年，Edmund Gunter首先使用cotangents这个词。现代的正切函数是1573年丹麦数学家芬克Thomas Fincke命名的，他将这个函数称为tangens，后者是拉丁语动词tangere （to touch）的现在分词形式，字面意思为（touching）。英语的tangent由该词演变而来。（如今英语有词语，tangible可触知的 ,intangible不可触知的)。 正割函数在拉丁语中称为secans，该词为拉丁语动词secare的现在分词形式，字母意思为（cutting）。先做一个半径为1的单位圆 O，然

21、后以此圆心为原心建立直角坐标系，由单位圆与任意角的交点D向横坐标引垂线，交OA也就是横坐标于点C。同时，我们在横坐标右侧与单位圆交点A处作圆的切线，与角相交于B点。 我们看到图中 sin就是线段CD之长，也就是上文所说的ardha-jya（半只弓弦）。而角的正切值tan则为线段AB之长，正切值sec为线段OB之长。注意到角的正弦值对应线段AB，而AB所在直线与这个圆正好紧紧的挨着，这形象的说明正切tangens（touching）一名的来历。正割函数所对应的线段OB正像一把刀一样，将圆O割裂成为了两部分，这也是对正割函数secans非常形象的解释思维导航将数学史如何渗透到三角函数学习中三角函数

22、的学习中，要渗透或了解三角函数发展史，否则会缺乏学习的积极性和系统性。在历史的观点下能够开阔学生的眼界，促使他们把现今知识同往日的轮廓结合起来。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识，因毕业了进入社会后，几乎没有机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年就忘记了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻在脑海中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点，使他们终身受益。”因此，学习时我们应该更加积极、系统的使用数学史。三角函数学习中数学史的渗透可以按以下三个方面进行：（1）生活实际融入数学史：知识产生有它的必然，知识来源于实际生活。新课

23、程标准中提到，“在三角函数的学习中，应根据自己的生活经验和实际，使我们体会三角函数模型的意义。”建构主义的学习理论强调情境创设要尽可能的真实，数学史实是真实的。因此，情境创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展的历史，用数学史实作为素材创设问题情境，这不仅有助于数学知识的学习和提高我们的学习兴趣，也是对我们的一种文化熏陶。（2）数学知识融入数学史：数学史不仅可以给出确定的数学知识，同时还可以给出知识的创造过程。对这种创造过程的再现，不仅可以使我们体会到数学家的思维过程，培养其探索精神，还可以形成探索与研究的学习气氛，使得我们在学习中不再是单纯地学习知识。主动地、自主地探索三角函数的有关性质，培

24、养我们分析问题和解决问题的能力。”（3）解答历史名题：历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的真实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于我们理解数学内容和方法都是重要的。通过对历史名题的解答和探究，可以使枯燥乏味的解题变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动我们学习的积极性，提高我们的兴趣。卡茨在他的数学史通论序言部分写到，“根据MAA观点，数学史的知识能向学生表明，数学是一项非常重要的人类活动。数学不是一产生就像我们教科书中那样完美形式，它常常是处于解决问题的需要，以一种直观的和实验性的形式发展起来的。数学思想的发展历程能有效的被用来激励和启迪今天的学生”。美

25、国数学史家卡约黎也曾说，“在历史的解说中，教师可以让学生明白：数学不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科”。因此，注意数学史中知识产生过程与学习相结合，并引用历史名题的证明，希望能起到以下作用：（1）激发数学学习兴趣，数学是一门逻辑严格的科学或艺术，三角函数又有思考性、方法性、技巧性和目标性都较强的特点，数学史在教学中的应用可以为三角函数的学习增添色彩；（2）提高数学文化素养，三角学起源于天文学，对天文观测、物理应用等的发展起了推动作用，数学史的相关学习亦是文化上的学习；（3）加强数学与现实生活联系的了解，增强数学应用能力，数学史是真实的，它提供的问题往往来源于实际，如三角学

26、最开始是用来解决实际天文测算、天气预报、方向的学问，与日常生活息息相关；（4）培养克服困难信心和独立研究精神，数学史提供重要问题的背景和解决的过程，往往激励学生克服困难，独立寻求答案。在解决问题过程中，得到分析问题和解决问题能力的提高。参考文献王素红谈数学教学中学生学习兴趣的激发三角恒等变换的技巧三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而

27、且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。常用的数学思想方法技巧如下：一、知角求值一般所给出的角都是非特殊角。当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；当“已知角”

28、有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式。例1：已知，则（ ）ABCD解析：两边平方，再同时除以，得，或，代入，得到。选C。变式：已知向量与互相垂直，其中。（1）求和的值；（2）若，求的值。解析:（1）由，即，又，所以。（2）因为。点评：已知非特殊角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，一般用同角三角函数的关系式来解，它分为两种情况：（1）一个角的某一个三角函数和这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解；（2）一个角的某一个三角函数值是已知的，但角的范围不确定，那么要根据已知的三角函数值确定这个角的值的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况

29、来解。例1通过化简后，求出的正切值，再直接用的二倍角的正切值得解，也可利用同角的三角函数基本关系式分别求出的值后求得，不过此时要注意角所在的象限。其实还可用猜想法，由于给出的数据及选项的唯一性，记这时符合要求，此时，代入可得选项C。变式中的第（2）小题用到了“凑角法”。它是三角恒等变换中十分经典的一种方法，常见的凑角技巧。，。二、逆用公式运用两角和与差的正弦、余弦公式常能将有些三角式化简，但深入观察三角式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且回味无穷。例2：若，则 。解析：由已知得所以， 即。变式：（2013新课标全国II理）设为第二象限角，若，则 。解析： 由在第二象限，

30、且，所以。所以。点评： 逆用公式常见的一些变形：逆用两角和与差的正弦公式可求得，如例1，逆用两角和与差的余弦公式可求得。形如；。三、化简求值无条件的三角函数式的化简求值问题是三角函数中的重要内容，对于这类非特殊角的三角函数式，要求出具体数值，一般有以下三种途径：（1）化为特殊角的三角函数值；（2）化为正、负相消的项，先消去，再求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值。例3：求的值。解析：原式=。变式：解析：原式=。点评：三角函数式的化简求值，题型灵活多样，生动有趣，例3应用了变角技巧“”，一般这类题化简往往把其中一个角表示成一个特殊角与另一个角的和或差的形式。化简过程采用的手段常有化切为弦

31、、配凑公式等重要方法。为了达到化简的目的，将变成，这也是解决变式题的关键一步，这种“以退为进”的策略，常常有效。四、在解三角形中的运用高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换主要是“变角、变函数名和变运算公式”，其中核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。例4：（2013江西卷理）在中，角A,B,C所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围。解析：（1）由已知得即有，因为，所以，又，可得。（2）由余弦定理有，因为，有点评：在三角形中考查三角函数式的变换是近年来高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换。

32、作为三角形问题，必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路。但它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都适用。此题中先将转化为再展开求出角B，在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，只有唯一解。例5（2013四川卷理）在中，角的对边分别为，且。（1）求的值；解析：（1）由已知得。则则 点评 （1）将题目中的等式转化为只含有角度A的三角函数，即减少角的个数，可求出，此题主要体现了公式的应用熟悉程度，以及

33、在化解转化过程中观察角度实现转化的过程。 参考文献: 毛昌强巧用三角恒等变换数学应用托勒密定理与三角函数表什么是三角函数表？简单来说，就是把不同角度和它对应的三角函数值放在一起，制作成表，以便随时查阅。三角函数表的出现是自然的，对一个函数来说，任意一个自变量都有唯一一个值与之对应。我们已经学习过的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，常用的三角函数表一般都包括这三种函数。三角函数起源和天文学密切相关，它是一种对天文观察结果进行推算的方法。希腊天文学家希帕克（Hipparchus，约公元前180公元前125年）制作了一张全弦表，这是古代的“三角函数表”。我们今天知道希帕克是靠计算，而不是靠工具

34、量出弦长来制表的，这是他的卓越之处。他的工作现在已经无法找到原稿，我们是从托勒密（Ptolemy）的著作中知道他的贡献，但大部分人认为这是托勒密自己或者部分是托勒密完成的。不管怎样，按照托勒密的说法，制作弦表可以这样进行：把一个圆周分为360度，把直径分为120份，然后把圆周和直径的每一分度再分成60份，每一小份再分成60更小份（1度等于60分，1分等于60秒）。于是对于有一定度数给定的弧AB，我们得到相应弦的长度数。给定度数的弧所对应的弦的长度数目相当于今日的正弦函数。若弧AB所对应的圆心角是，则按我们的说法有，托勒密的方法是给出OA分成60份时所含的长度数。例如，的弦含40份，则照我们的说

35、法是，或更为一般的形式：下面我们要知道的是托勒密如何求对应一给定度数的弧的弦长。他先计算的是36度弧和72度弧所对应弦长。如图二：ADC是以D为中心的圆的直径，BD垂直于ADC，E是DC的中点，并取F使EF=BE。托勒密用几何的方法证明FD等于圆内接正十边形的一边，BF等于圆内接正五边形的一边。但ED含30份，BD含60份。由于于是（67份又4小份55更小份，后面的数据与之类同，不作另外解释）。现因，我们就得到。于是，。由于FD是正十边形的一边，它是36度所对应弦长。但从FD以及直角三角形FDB可算出但BF是正五边形的一边，所以它是72度弧所对应的弦长。正六边形边长等于半径，所以60度所对应弦

36、长为60份。又因内接正四边形的边长可由半径算出，他得到90度所对应的弦长为。其次内接正三角形的边长也可由半径求出，故120度弧所对应弦长为。利用直径AC上的直角三角形，若知弧AB的弦，则立刻能知道其补弧的弦长。例如，如图3，托勒密由36度弧对应弦长求出144度弧对应弦长为。这里，运用了勾股定理，可表示为根据前面的公式可知带入得亦即或者接着，托勒密证明一个引理，我们今天称为托勒密定理。给定圆的任一内接四边形，如图4，他证明。证明是直截了当的。在任意凸四边形ABCD中(如下图)，作ABE使BAE=CAD，ABE=ACD，连接DE。则ABEACD，所以，即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得，

37、又BAC=EAD，所以ABCAED.，即EDAC=BCAD (2)(1)+(2)，得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+EDBD，仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”。托勒密如何用这一引理来计算已知弦长的两弧和差所对应的弦长呢？他采用了AD为直径的特殊圆内接四边形ABCD。设已知AB和AC，托勒密指出如何求BC。BD是AB补弧的弦，CD是AC补弧的弦，因此运用上面公式可以求出。现在运用托勒密定理，则可以看成是六个长度中的五个已知，故这里的第六个长度可以算出。但，故若两弧的弦长已知，则可以算出两弧之差的弦。用现代术语即是已知sinA和sinB，就可算出

38、sin（A-B）。具体公式和证明过程请同学们自己给出。托勒密指出他已经知道72度和60度弧所对应的弦，所以可以算出12度弧所对应的弦。其次，他指出如何从圆的任一给定弦，求出所对应半弧所对应弦。用现代术语即是已知sinA，可以求出，托勒密指出这样的结果是很有用的。因为我们可以从弦已知的弧出发，不断求其一半弧所对应的弦。然后，他又指出若已知AB弧的弦和BC弧的弦，则我们可以求出AC弧的弦。用现代术语即是说已知sinA和sinB，可以求出sin（A+B）。作为特例，他从sinA求出了sin2A的结果。由于托勒密能从12度弦平分数次得到的弦，故他能求任意弧加上或减去3/4度弧的弧所对应弦。这样进行下去

39、，他就能求每两个相差弧的弦。但他还想求出每步相差的弦，按照上面方法，他无法直接求出。于是，他使用不等式推出的弦为。于是他能把到所有相差的弧所对应的弦求出并列成表。参考文献：1.莫里斯克莱因 著，张理京，张锦炎，江泽涵 译；2.古今数学思想第一册. 上海科学技术出版社. 2002. 参考网站：双曲函数 1.双曲函数双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义：双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割 双曲余割 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。2.双曲函数的性质y=sinhx，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点

40、并且穿越、象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。y=coshx，定义域：R，值域：1，+)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。y=tanhx，定义域：R，值域：(-1，1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越、象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y= -1之间。y=cothx，定义域：x|x0，值域：x|x|1，奇函数，函数图像分为两支，分别在、象限，函数在(-，0)和(0，+)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。y=sechx，定义域：R，值域：(0，1，偶函数，最高点是(

41、0，1)，函数在(0，+)严格单调递减，(-，0)严格单调递增。x轴是其渐近线。y=cschx，定义域：x|x0，值域：x|x0，奇函数，函数图像分为两支，分别在、象限，函数在(-，0)和(0，+)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴。3.双曲函数与三角函数的关系双曲函数与三角函数有如下的关系：4.与双曲函数有关的公式， ， ，；.;5.双曲函数的导数公式（sinh x)=cosh x； （cosh x)=sinh x； （tanh x)=sech2x；（coth x)= -csch2x； （sech x)= -sech x*tanh x； （csch x)= -cschx*co

42、th x.6.双曲函数的不定积分公式三角函数与双曲函数基本公式对照表圆函数（三角函数） 双曲函数1.基本性质： 1.基本性质：, , , , ， , 2.奇偶性： 2.奇偶性： 3.两角和差公式 3.两角和差公式 4.二倍角公式 4.二倍角公式 5.半角公式 5.半角公式, , , ,6.万能公式 6.万能公式, , 7.三倍角公式 7.三倍角公式 8.积化和差公式 8.积化和差公式 9.和差化积公式 9.和差化积公式 参考网站：数学欣赏三角级数、傅里叶级数对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，coxnx，s

43、innx，.显然，这组基在-pi,pi上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0，an，bn，.一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。1.傅里叶级数的复数形式根据欧拉公式ejx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(ejx+e-jx)/2，sinx=(ejx-e-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，ejx，ejnx

44、上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数ejnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示一条二维曲线，而ejx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。2.傅里叶变换周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数ejt为核来求，我们将得到双边频谱.以角频率为的余弦信号为例，它有具有位于两处的，幅度各为0.5，相角为

45、零的频率特性.实际上，COSt就是ejt与ej-t两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部.1与2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度1+2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系.这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线，而复频率表示一条整体改变相位的螺旋线，它们分别与正频率，实频相对应，都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义.3.连续频谱周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSt对应与-处两根谱线.困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对：由于存在关系式：ej-wt=cos-wt+j*sin-wt，再联想一个信号