抛物线及其性质知识点大全.

1、抛物线及其性质1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质：图形井参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔开口方向右左上下标准方程2y =2px(p0)y2 = _2px(pA0)2x =2py(p0)2x =2py(p0)焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标吟0)2(p,0)2(0占2(0, p)2准线方程px =2px =2ppr范围x 工0, y Rx兰0,严Ry K0,x Ry 兰 0,x R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e = 1通径2p焦半径A(x,yJAF =为 +R2AF =-为

2、+R2AF号焦点弦长AB|(为 X) + p(X1 +X2)十 p(% +y2)+ p(m + y2)+ p焦点弦长AB 的补充A(Xi，yi)B(x2,y2)以AB为直径的圆必与准线 丨相切若AB的倾斜角为a , |ab|_ 2psin2 a若AB的倾斜角为a ,贝U AB2p_ 2 cos a2p2)X2 = %y2 = p41 丄 1AF + BFAB2AF BF AF *BF AF *BF p3 抛物线y2 =2px(p 0)的几何性质：(1) 范围：因为p0,由方程可知x 0,所以抛物线在 y轴的右侧，当x的值增大时，| y |也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性

3、：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0，0)，离心率：小，焦点F丐,。)，准线x七，焦准距p. 焦点弦：抛物线 y2 =2px(p 0)的焦点弦 AB , A(xi, yj , B(X2, y2),则 | AB |= Xi x? p .弦长|AB|=x 1+X2+P，当Xi=X2时，通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质：焦点弦AB , A(xi,yi), B(X2,y2)，焦点F(-,0)22(1)若AB是抛物线y2 =2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(x),yi), B(X2,y2)，则：泌=巴,42yy2=p。若AB是抛物线y2=2p(p 0)的焦点弦，且直线已知直线A

4、B是过抛物线y2 = 2 px( p 0)焦点AB的倾斜角为a，则 AB2 P( a 工 0)。1 1sin11AF BFAB2F ,+=AFBFAF *BFAF * BFp9焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5.弦长公式： A(xi,yi), B(x2,y2)是抛物线上两点，则AB|=J(Xi X2)2+(% y2)2 =Vi+k2 区-x?巳；i + 厶 I % - y? IV k6. 直线与抛物线的位置关系直线厂仁一；，抛物线

5、Jiy = 2px 消 y 得:+2(幼-p)x+护二0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时， 0，直线I与抛物线相交，两个不同交点； =0，直线I与抛物线相切，一个切点； v 0，直线I与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l : y 二 kx b 抛物线 |? -匚二，(p 0)联立方程法:y = kx +by2 =2pxk2x2 2(kb-p)x b2 = 0设交点坐标为A（xi, yi） , B（X2, y2）,则有:0 ,以及Xi

6、X2, X1X2 ,还可进一步求出y1ykx1b kx2b = k（xx2） 2b ,y1y2= （kxib）（kx2b） =k2XX2kb（Nx2）b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦长AB = v+k2 x1 -x2二 1 k2、（为x2）24为x2 二 1 k22 :% -y2 - i ；y?）2= i kb.中点& 二宁点差法：yiy22i k设交点坐标为A（xi，yi），B（X2,y2），代入抛物线方程，得2 2yi =2pxiy2 =2px2将两式相减，可得（yi -丫2）（% y2）=2p（xi X2）yi -2 pXi -X2yiy2a.

7、在涉及斜率问题时,kAB2pyi y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M （x0, y0），yi - y2 _ 2p _ 2p _ pXi X2 yi y2 2yo y即 kAB ：yo同理，对于抛物线x2=2py（p = 0），若直线I与抛物线相交于A、B两点，点M（Xo,y。）是弦AB的中点，则有kAB二乞也二纽二“2p 2p p（注意能用这个公式的条件：i）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在， 且不等于零）【经典例题】(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合其离心率e=1，这使

8、它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章PF为直径的圆与y轴( )【例1】P为抛物线y? =2px上任一点，F为焦点，则以A相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为F卫,012丿，准线是I : x =二作PFU l于H,交y轴于Q那么PF = PH ,且 QH =0F中位线,MNp作MNUy轴于N则MN是梯形PQOF的2J OF2PQ=-|ph2= Z|PF .故以2PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.D.位置由P确定(1) AB =% +x2 + p(

9、2)1AFBF【证明】(1)如图设抛物线的准线为 I，作AA 丄 I A,BB,丄1 于B,贝V AF =|AApBF =BB1 =X2+两式相加即得:2AB(2)当AB丄x轴时，有AFAFBF当AB与x轴不垂直时，设焦点弦成立;pAB的方程为:代入抛物线方程:(2) 焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的A %, % ,B X2,y2 两点，求证:【例2】过抛物线y2 =2px p 0的焦点F作直线交抛物线于2:送=2px.化简得:22 22P 2kxpk 2x k=04方程（1）之二根为k2X1 , X2,xX2

10、-141AF1BB11 1+ppX1X+ x2 + p2PPx1x2x1x224X1X2p2pp2 X1X2:故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 1_心1=-成立.AF BF p（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 基本功.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的【例3】证明：过抛物线2y =2px上一点M（x0，y0）的切线方程是:y0y=p ( x+x0)【证明】对方程y2 =2px两边取导数：2y V = 2p，.切线的斜率yk = yxN=R.由点斜式方程：yy0=E(x x 戸 yy = px+ y(1)y。y。y =2卩心 代入（1即得：y 0y=p

11、（ x+x。）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现, 到的收获却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2 =8x上，且动圆恒与直线 x 2=0相切，则此动圆必过定点A. 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0,-2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线y2 =2px的通径长为2p；3.设抛物线y2 =2px过焦点的弦两端分别为 A Xp% , B x2, y2，那么：yyp2以下再举一例【例4】设抛物线y2 =2px的焦点弦AB在其准线上的射影是 AB,证明：以 AB1为直径的圆必过_jh定点【

12、分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 必过抛物线的焦点由此我们猜想：明AB=AB=2p而A1B1与AB的距离为p,可知该圆一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证【证明】如图设焦点两端分别为A Xi,y ,B X2,y2 ,那么：y1 y - = CAj |CB-i2= p2.设抛物线的准线交 x轴于C,那么CF = p.AFBi中 CF =|CA CBi 故ZAFBi =90。.这就说明：以 AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点 通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题 等）

13、.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线x+y=0对称的相异两点）y=-x2+3上存在关于直线 A、B,则|AB|等于（A.3B.4C.3 、2D.4 . 2【分析】直线AB的中点必在直线【解析】点AB必与直线x+y=0垂直，且线段 x+y=0上，因得解法如下.A、B关于直线 x+y=0对称，设直线AB的方程为:_L y 二 x m 由 ly 一x2 +3设方程（1）之两根为Xi,X2，贝V x1x -1设AB的中点为M（ X。，y。），则x0 = % * x22!代入1 i 1x+y=0 : yo=.故有 M -2 -从而m = y - x = 1.直线AB的方程为：y = x 1.

14、方程（1）成为：x2亠x - 2 = 0 .解得:x = -2,1，从而 y = -1,2，故得：A (-2 , -1 ), B (1, 2) 二 AB| =3血，选 C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线y2 =4x的焦点为F，准线为丨，经过F且斜L:x为 3的直线与抛物线在 X轴上方的部分相交于点 A , AK丄l，垂足为K，则AAKF的面积(A . 4B. 3 3C

15、.纸3【解析】如图直线 AF的斜率为 3时/ AFX=60 . AFK为正三角形.设准线丨交x轴于M则FM =p=2.且/ KFM=60 ,KF =4, S/kfX442 =4.3.选 C.15【评注】(1平面几何知识：边长为 a的正三角形的面积用公式Sa2计算.厶4(2)本题如果用解析法， 需先列方程组求点 A的坐标，再计算正三角形的边长和面积 .虽不是很 难，但决没有如上的几何法简单(3) 定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线2占=1(a 0, b 0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为

16、F,和F2 ；抛物线C2的线为bl，焦点为f2；A .-1【分析】Cl与C2的一个交点为M,则证-晒等于(MF1 MF21 1c.d .-2 2这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从 最原始的定义方面去寻找出路吧如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作 MH _ I于H，令MFi二ri, MF2二d.t点M在抛物线上,=M故兽=啊|mh| |mf2|MFi |这就是说：u的实质是离心率|MF21e.其次，时2与离心率e有什么关系？注意到:|MFi|也=2=ejg=e(宀2)=加仝一1MR 口 *e这样，最后的答案就自然浮出水面了：由

17、于|肝2|MR|FMFT|=e1，e=-1.选 a.(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名 同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例8】(09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过物线y2 =8x的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点。(I)求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程；(H)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交 x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点

18、F (2, 0),准线l;x = 2.(n)直线 AB : y 二 tax -2 1 .2x =代入(1),整理得：y2 tana -8y -16tan a = 0 8畅+ y2设方程(2)之二根为y1, y2,则吕 8tan：y1 y -16i y ”y2设AB中点为M (x,y )，则彳244cot:tan工2、x0 = cot。y0 + 2 = 4cot +2,2AB的垂直平分线方程是：y4cot二-cot二i x4cot - 2 .令 y=0，则 x =4cot2 ：6,有 P 4cot2 ：6, 0故 FP = OP - OF =4cot 2o+6-2 =4(cot2 +1 )= 4cos2。2工22于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc :门1-cos2：= 4csc : 2sin ： =8，故为定值.(5)消去法一一合理减负的常用方法 .避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l : (1) l与抛物线y2 = 8x有两个不同的交点 A和B； （ 2）线段AB被直线l1 : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 丨