偏微分方程数值解 引论

1、1 学习和了解科学计算的桥梁 2 偏微分方程数值解 能够做什么？ 序言 3 计算机解决实际问题的步骤 建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算 4 研究偏微分方程的研究偏微分方程的数值实现数值实现、分析分析和和 有关理论有关理论基础与基础与软件实现。软件实现。 5 F 连续系统的离散化连续系统的离散化 F 离散性方程的数值求解离散性方程的数值求解 随着计算机软件硬件的不断更新和计算方法的迅速发展， 科学计算与实验以及理论研究成为现代科学研究的三大主 要手段。科学计算还能解决实验及理论无法解决的问题， 并由此发现一些新的物理现象，加深人们对物理机理的理 解和认识，促进科学的发展。 第一章第

2、一章 引引 论论 本章主要引入微分方程的概念 及数值求解微分方程的意义及其数 值求解方法概述. 1 1 微分方程微分方程 数学来源人类的社会生产活动。现代数学的产生和发展与力学、物理学、天 文学等应用学科的发展相辅相成的：它们为数学提出问题，而数学在解决这些 问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果反过来推动这些学科的发展。 现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复杂的，其状态随着时间、地点、 条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中找出其 状态和状态的变化规律之间的关系，也即一个或一些函数与它们的导数之间的 关系，这种关系的数学表达就是微分方程。 8 一、偏微分方程简介

3、： 1、偏微分方程： 偏微分方程是指从物理问题中导出的反映客观物理量在各个地点、 时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。偏微分方程分为线性 和非线性，这一篇主要讨论二阶线性方程。 2、发展史： (1)十八世纪初, Taylor: (2)十九世纪中期，三类偏微分方程： (3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程： 高阶方程： KDV方程： 薛定厄方程： fuau 22 t fu 2 fuau xx 2 tt fuau 22 tt fuau xxxx 2 tt 0uuuu xxxxt U(r) 2t i 2 2 )( )()( ),( , ),( , ),( , ),( xu dx xdu x xu

4、uxuif z tzyxu z u y tzyxu u t tzyxu u xzzyt )1(),( 2 22 2 2 yxgfu y u e x u d y u c xy u b x u a 考考虑虑二二阶阶偏偏微微分分方方程程下下偏偏微微分分方方程程的的分分类类。 为为例例，简简单单回回顾顾一一以以线线性性二二阶阶偏偏微微分分方方程程 注意 .)1(, )1(, 是是拟拟线线性性的的的的函函数数，称称方方程程和和是是和和如如果果系系数数 是是线线性性的的。的的函函数数，即即方方程程和和设设为为和和其其中中系系数数 y u x u uyxcba yxfedcba 10 四、建立方程的步骤：

5、当确定了研究的是那一类物理量时，建立方程的步骤为： 1、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系； 2、根据物理学规律，表示出此关系； 如：牛顿运动定律、能量守恒定律、麦克斯韦方程等。 3、化简、整理，即得偏微分方程。 xx 2 t uau fuu yyxx xx 2 tt uau 这里主要讨论三类方程，弦振动方程、热传导方程、泊松方 程。此三类方程并不包括所有物理问题，如：量子力学中的 薛定谔方程，KDV方程等。 uuu yyxx 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2定解问题 满足方程的函数u(x,t)称为方程的

6、解，对于微分方程，仅仅有方 程还不够。无论从数学上，还是物理上都可以来理解。需要有 变量的初始条件。 如牛顿力学方程 ,是位移的时间二次导数方程，若要 求解以后的位移情况，需要知道某个时刻（初始时刻）的位移 、速度（位移一阶导数）。 对于具体的上述弦振动方程（称为泛定方程），x,t有其确定的 物理意义，为空间、时间。 30 31 32 33 34 35 36 2 2 数值求解微分方程的意义数值求解微分方程的意义 如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解 析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组） 的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的 解析解（也称古典解）。“微

7、分方程的真解”或“微分方程 的解”就是指解析解。寻找解析解的过程称为求解微分方程。 微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的 条件下得到证明，这已有许多重要的结论。但从实际上讲， 人们需要并不是解在数学中的存在性，而是关心某个定义范 围内，对应某些特定的自变量的解的取值或是近似值-这样 一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值 解的过程称为数值求解微分方程。 2 2 为什么要研究数值求解方法呢？为什么要研究数值求解方法呢？ 1）在实际问题中我们所能获取的或感兴趣的，往往只是一个特 定点上的数据。如空间的温度分布只能一个点一个点地测定，火箭升空 传回的控制信息只能以某个确定的

8、时间为间隔，一个个地发送和接受， 如此等等。这些离散点上的函数值对于解决实际问题，已经足够了，寻 找解析解的一般形式未必必要。 2）在很多情况下，寻找解析解也并无可能。现实问题中归结的微分 方程不满足解析解的存在条件的比比皆是，方程中出现的有些函数 连续性都无法保证，它们并不存在前述意义的解析解。于是，求数 值解便成了在这种情况下解决问题的重要手段了。 3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以将它表示为初等函数， 如多项式、对数函数、指数函数三角函数及它们的不定积分的有限组合 形式显式解。 事实上，有显式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的 一部分。 t t deetu 0 2

9、2 )( 0,u(0) 2tu-1u )4 它它的的解解可可以以表表示示成成 例例如如对对于于方方程程 方方法法来来解解呢呢？ 值值么么不不一一开开始始直直接接使使用用数数计计算算。既既然然如如此此，为为什什 需需要要用用插插值值等等方方法法来来数数值值去去计计算算一一积积分分值值， ，还还是是必必须须用用时时刻刻的的值值因因此此要要确确定定在在某某个个 函函数数表表示示的的，的的原原函函数数是是无无法法用用初初等等我我们们知知道道 2 0 2 )( , 00 t x e tut e 3 3 数值求解方法概述数值求解方法概述 1）区域剖分 把整个定义域分成若干个小块，以便对每小块上的点或片求出

10、近似 值，这样按一定规律对定义域分切的过程称为区域剖分。 2）微分方程的离散 区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些离散点或片 的函数值的递推公式或方程。这是它们的未知量已不是一个连续函数， 而成了若干个离散的未知值的某种组合了，这个步骤称为微分方程离散。 3）初始和边界条件处理 离散后系统是一个递推公式，那它需要若干个初值才能启动。若是一 个方程组，那它所含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还需 要补充若干个方程。这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程 的初始条件和边界条件来得到，这就是初始和边界条件处理过程。 4）离散系统的性态研究 我们主要研究：这个系统是否可解，即

11、解的存在性、唯一性问题； 它与精确解的差距有多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，是否 也会趋于零，趋于零的速度多快，即解的收敛性和收敛速度问题；当外 界对数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固有的解， 即解的稳定性问题。 上述问题说道底是一个上述问题说道底是一个误差分析误差分析问题，因为如果问题，因为如果 从实际问题到得出数值解的每一步都没有任何误从实际问题到得出数值解的每一步都没有任何误 差的话（当然，这是不可能的），那么数值解就差的话（当然，这是不可能的），那么数值解就 应该是离散点上的精确值，也就不用煞费苦心去应该是离散点上的精确值，也就不用煞费苦心去 讨论上面的问题了。

12、讨论上面的问题了。 45 1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差 1）模型误差 在将实际问题归结为数学模型时需要对问题作一定的简化和假设，由 此产生的误差叫模型误差。 2）观测误差 数学模型中需要用到的一些系数，初值等常数来自于测量仪器或统 计资料，由于客观条件和仪器精度的限制不可避免有误差，这被称为观 测误差。 3）截断误差 将数学模型离散化时由于舍弃一些次要的项而导致的模型问题真解 与离散问题真解的误差称为截断误差。 4）舍入误差 在上机实际计算中，由于计算机对所运算的对象按计算机字长四舍 五入而产生的最终计算解与离散问题真解的误差是舍入误差。 * 本书主要研究截断误差。一

13、般来说，一个可用方法的截断误差不应该 超过模型误差和观测误差 最后，我们可以将离散系统送到计算机上去实际计算了。 49 数值求解微分方程过程示意数值求解微分方程过程示意 微 分 方 程 区域剖分 离散系统的 性态研究 递推计算或解线 性代数方程组 微分方程离散 初始和边界条件处理 解的存在性、唯一性 解的收敛性和收敛速度 解的稳定性 得到数值解 求解过程中产生的误差求解过程中产生的误差 现实问题数学模型 离散格式 模型误 差 建模 离散 舍入误 差 观测模 型 截断误差 数值解 计算 51 参考书 1. 微分方程数值解，李荣华等编，高等教育出版社，1996 2.偏微分方程差分方法，陆金甫等编，高等教育出版社，1988 3.微分方程数值解，李立康等编，复旦大学出版社，1999年 4.微分方程数值解，余德浩等编，科学出版社，2003年