11. 与动点有关的探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破

1、类型二 与动点有关的探究题【典例1】【问题情境】已知RtABC中，BAC90，ABAC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作RtDCE，使DCE90，且CDCA.沿CA方向平移CDE，使点C移动到点A，得到ABF.过点F作FGBC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图，当点E在线段AC上时，小文猜想GCGF，请你帮他证明这一结论；(2)如图，当点E在线段AC的延长线上，且CECA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图，将(2)中的“CECA”改为“CECA”，若设CDE，请用含的式子表示CGE的度数(直接回

2、答即可，不必证明)第1题图【答案】(1)证明：在RtBAC中，BAC90，ABAC，BCAABC45，FGBC，FGC90，GFC90GCF45，GFCGCF，GCGF；(2)解：DGEG，DGEG；证明：同(1)可证GCGF，DCE90，BCA45，DCG45，GFC45，DCGEFG，CDE平移得到ABF，CEAF，CECFAFCF，即EFAC，ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)，DGEG，DGCEGF，DGCEGCEGFEGC，即DGECGF90，DGEG；(3)解：CGE180.【典例2】综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与

3、轴交于点，点的坐标为（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标【答案】（1），直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或【解析】【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，

4、结合勾股定理可得答案，如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案【详解】解：（1）令 ，设直线的函数表达式为：，把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，分两种情况：当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当点是线段的三等分点时，点的坐标为或（3）解：直线与轴交于点，点坐标为分两种情况：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为则，即又，连接，点的坐标为，点的坐标为，轴，点的坐标为如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为

5、，则，即又，由可知，点的坐标为 点的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键【典例3】如图，ABC中，ABBC，BDAC于点D，FACABC，且FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PECQ于点E，连接DE.(1)若ABC60，BPAQ.如图，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

6、如图，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；(2)若ABC260，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成立(用含的三角函数表示)【答案】解：(1)DEAQ，DEAQ；成立；【解法提示】如解图，连接PC、PQ，BABC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，ACQACPBCPACP60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；成立理由如下：如解图，连接PC、PQ.BABC，AB

7、C60，ABC是等边三角形，BCAC，BCAC，FACPBC30，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，PCQBCA60，PCQ是等边三角形，又PEQC，E为QC的中点，ABBC，BDAC，D为AC的中点，DEAQ，DEAQ；(2)如解图，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N，PDC90，MDPC，同理MEPC，即MPMCMDME，P、D、E、C四点共圆，NCENPD，EDCNPC，DEAQ，QACEDC，又QACPBC，NPCPBC，EPDNPCPBCBCP，EPDBCP，NCEBCP.由NCEBCP，QACPBC，得QACPBC，2sinDBC2

8、sin，即 2sin.【典例4】如图，等边ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形(1)如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由【答案】解：(1)ENMF；【解法提示】如解图，连接DE、DF，D、E、F是等边ABC三边中点，DEF是等边三角形，DEDF，ED

9、F60，DMN为等边三角形，DMDN，MDN60，MDFNDE60NDF，DMFDNE(SAS)，ENMF. 图 图(2)成立证明：如解图，连接DE、DF和EF，ABC是等边三角形，ABACBC.又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线，DEDFEF，FDE60.又MDFFDN60， NDEFDN60， MDFNDE. 在DMF和DNE中，DMFDNE(SAS)，ENFM；(3)画出图形如解图，MF与EN相等的结论仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解图，连接DE、EF、DF.D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且ABC是等边三角形，DEF是等边三角形，DEDF，E

10、DF60.DMN是等边三角形，DMDN，MDN60，MDFMDEMDENDE，MDFNDE，MDFNDE(SAS)，MFNE.【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作EPF90，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为_；(2)解决问题如图，当点P运动过程中PBA与PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若

11、BEAF23，EF，求DG的长【答案】解：(1)BEMFAB；【解法提示】如解图，取AB的中点N，连接PN、PM.PBA与PAB互余，PBAPAB90，APB90，APD90，N是AB的中点，M是AD的中点，PNBNANAB，AMDMPMAD，NAPNPA，MAPMPA.四边形ABCD是矩形，BAD90，ABCD，ADBC.BC2AB，AD2AB，而NAPMAPBAD90，NPAMPA90，即NPM90.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.ABPBAP90，BAPDAP90，ABPDAP.PNBN，AMPM，ABPBPN，DAPMPA，ENPFMP，PNEPMF，

12、.NEMF，BENEBN，BEMFBN，又BNAB，BEMFAB.(2)不成立；理由如下：如解图，取AB的中点N，连接PN、PM，四边形ABCD是矩形，BADABC90，ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，PBAPAB，PAPB，N是AB的中点，PNAB，ANP90，PABPAD90，PBAPBC90，PADPBC，PADPDA，PAPD.M是AD的中点，PMAD，PMA90，四边形PMAN是矩形，NPM90，ANPM，PNAM.EPF90，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.PNEPMF90，PNEPMF，.AD2AB，NE2MF.BENEBN，BE2MFBN，N是

13、AB的中点，BNAB，BE2MFAB，故(1)中结论不成立；(3) 如解图，延长CD交FG于点H，设BE2a，则AF3a.BE2MFAB，BE2(AFAM)AB.AMAB，2a2(3aAB)AB，ABa，ADa，AEa，FDa.AE2AF2EF2，(a)2(3a)2()2，解得a13，a23(舍去)AE2，BE6，AF9，DF7，BD8.HDAB，AEFDHF，DH.四边形ABCD是矩形，ABCD，即HDBE.GDHGBE，DG.【典例6】已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是

14、线段AF上一点(1)初步尝试如图，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DGBC交AC于点G，则GH与AH的数量关系是_，GF与FC的数量关系是_，的值是_；(2)类比探究如图，若在ABC中，ABC90，ADHA30，且点D，E的运动速度之比是1，求的值；(3)延伸拓展如图，若在ABC中，ABAC，ADHA36，记m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示.(直接写出结果，不必写出解答过程)【答案】解：(1)GHAH，GFFC，2；【解法提示】DGBC，ADGB，AGDACB，ABC是等边三角形，ABACB60，ADGAGDA，ADG是等边三角形，GDADC

15、E，DHAC，GHAH，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2.(2)如解图，过点D作DGBC，交AC于点G，则ADGB90，AADH30，HGDHDG60，DHG是等边三角形，AHGHGD，ADGD，根据题意得ADCE，GDCE，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2；(3).【解法提示】如解图，过点D作DGBC，交AC于点G，则ADGB，AGDACB，ADEC，ABAC，A36，ACBBADGAGD72，ADHA36，A

16、HDH，DHG72AGD，DGDHAH，ADGABC，ADGDGH，DGHABC，m，m，DGBC，DFGEFC，又CEAD，m，m，m，1.【典例7】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；CPQBAMN（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围【解析】：（1）过点作，垂足为则，CPQBAMN当

17、运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，四边形是矩形，秒时，四边形是矩形，CPQBAMN（2）当时， 当时， 当时， 点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。图（15）CcDcAcBcQcPcEc【典例8】如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形

18、又2分在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分由则是平行四边形（此时在上）即解得即秒时，与相互平分（3）当在上，即时，作于，则即=当秒时，有最大值为当在上，即时，=易知随的增大而减小故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为 【典例9】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点AQCDBP（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点

19、B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？【解析】：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇【典例10】在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长 （2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形【解析】：（1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形在中，在，中，由勾股定理得，（

20、图）ADCBKH（图）ADCBGMN（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形由题意知，当、运动到秒时，又ADCBMN（图）（图）ADCBMNHE即解得，（3）分三种情况讨论：当时，如图，即当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，解得即（图）ADCBHNMF当时，如图，过作于点.解法一：（方法同中解法一）解得解法二：即综上所述，当、或时，为等腰三角形ABOCDPQ【典例11】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90o，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与O相切？【解析】：(1)直角梯形当时，四边形为平行四边形由题意可知：，当时，四边形为平行四边形 OAPDBQCHEOAPDBQC（2）解：设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知：为的直径，为的切线在中，即：，7分因为在边运动的时