中学数学和高等数学的关系

1、高等数学在中学数学中的应用摘要高等数学是在中学数学基础上发展起来的与中学数学有着紧密的联系许多中学数学无法解答的问题高等数学都给出了解答还可从另一更高的角度重新认识中学数学中的重要概念、理论实质及其背景，可以借助高等数学来统一处理和解决中学数学中的一些或一类问题等等本论文主要论述高等数学的导数、积分、级数在中学数学中的应用论文选择了一些题目，说明高等数学在解决中学数学的相关问题上，具有明显的作用同时，本论文在借鉴前人所撰文章的基础之上，将高等数学的知识在中学数学中的应用论述得更加详细，全面关键词：高等数学，中学数学，导数，积分，级数The Higher Mathematics is in th

2、e Middle School of ApplicationAbstractHigher mathematics is developed on the basis of in the middle school mathematics .And the middle school mathematics are closely linked.Many middle school mathematics cannot answer questions higher mathematics are presented on the answer.Also available from anoth

3、er higher Angle reknow middle school mathematics the important concept, theory essence and its background, can use the higher mathematics to unified handling and solve some of the middle school mathematics problems, etc. This thesis mainly discusses higher mathematics derivative, integration, series

4、 in the middle shool of application. The thesis selected a little of examination, elucidation higher mathematics in solving a middle school mathematics of related problem have obvious of function. In the meantime, this thesis is draw lessons from people of the past the foundation of spirit which wri

5、te a chapter on.Higher mathematics is in the middle school of application write Be getting more detailed,overall.Key words: Gao Deng mathematics, high school mathematics, derivative, integration, series 目 录引言11 中学数学和高等数学的关系111 中学数学、高等数学的概念界定112 中学数学和高等数学的关系22 导数在中学数学中的应用32.1 利用导数讨论函数的单调性32.2 利用导数求函数

6、的极值、最值42.3 利用导数作函数的图象63 积分在中学数学中的应用83.1 利用积分证明球的体积和表面积公式83.2 利用积分求曲边图形的面积103.3 利用积分证明椭圆的面积113.4 利用积分证明圆锥体的体积公式124 级数在中学数学中的应用1341 三角函数表的构造1342 常用对数表的构造15小结18致谢19参考文献19引言人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用然而在改革后的中学数学里面已经出现了一些高等数学的基础知识，可以说这是数学发展的必然我们必须掌握高等数学的基础知识，以适应数学的发展和教材的改革，而高等数学知识在开阔视野，指导中学数学解题等方面

7、的作用就尤为突出 本论文主要论述导数、积分、级数等高等数学的知识在中学数学中的应用论文选择了一些中学题目，说明高等数学在解决中学数学的相关问题上，具有明显的作用同时，本论文在借鉴前人所撰文章的基础之上，将高等数学的知识在中学数学中的应用论述得更加详细，全面 1中学数学和高等数学的关系11 中学数学、高等数学的概念界定111 中学数学 中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学中学数学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法表层知识是深层知识的基础，是教学大纲

8、中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识.同时，领悟到深层知识，才能使表层知识达到一个质的“飞跃”，从而超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性112 高等数学 作为基础课的高等数学，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分内容组成一个有机的统一体.其中极限论是基础，是高等数学活动的“舞台”；微分、积分是高等数学的核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，

9、积分则是从宏观上揭示函数的有关整体性质，牛顿的微积分基本定理，在微分和积分之间起了桥梁作用；级数理论是研究解析函数的主要手段，无穷级数是从离散的侧面去揭示函数的有关性质，它既是表现函数的工具，又是用来进行计算的工具，广义积分又把无穷级数与积分的内容沟通起来了；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性状提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系随着专业的不同，高等数学的内容将向不同的方向延拓，也将随着时代的发展和数学的发展而不断地注入新的数学思想、方法，如非标准分析、离散数学基本理论、模型思担等，使得高等数学的内容更具魅力

10、要全面掌握高等数学的基本概念、基本原理、基本方法、就必须强化其逻辑结构的分析，由于高等数学中引进了极限思想，又因论域的无限性，就使它的逻辑结构更加复杂，特别是逻辑中的特称肯定、特称否定、全称肯定、全称否定等概念之间的内在逻辑关系在高等数学教材中没有明确指出，致使对收敛、发散;连续、不连续；可积、不可积;有界、无界等矛盾概念理解不深12 中学数学和高等数学的关系尽管高等数学的高度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，高等数学是多级抽象的结果它的原型和特例大都来自变量数学，变量数学的原型和特例又来自常量数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中中学数学的内容

11、，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多(不是全部)概念和理论的原型和特例所在因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键高等数学研究问题的深度和广度极大丰富了学生的认识视野，不论是从有限还是从无限，从局部还是从整体，从近似还是从精确等方面都渗透着丰富的辩证思想例如曲边梯形面积、曲顶柱体体积问题在分割、求和、取极限过程中的以直代曲、以规则代替不规则的思想方法正是精确与不精确，有限与无限辩证关系的一种体现.其次，对于中学数学中某些

12、不易交待清楚的问题，要了解其在数学史上产生和解决的过程，弄清楚它们在高等数学里的背景第三，用高等数学指导中学数学更容易把问题解决总之，要力求将高等数学全面渗透入中学数学，要在高等数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找高等数学与中学数学的结合点以下各章，就是这种努力的一些初步结果2 导数在中学数学中的应用2.1 利用导数讨论函数的单调性在高中阶段，判断函数的单调性的方法：利用定义，利用已知函数的单调性，利用函数图象，根据复合函数单调性的有关结论：同增异减，利用二次函数的性质等利用这些方法可以解决一些比较简单的基本函数经过几次基本运算后所得函数的单调性但是对于一元三次（或更高

13、次）函数的单调性问题，用这些方法就显得力不从心，甚至不能求解相反，用导数就可以很容易解决了运用高等数学中的导数来判断就显得容易了它是这样判断的：只需求出再考虑的正负就可以了一般的，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数 例2.1.1 设,试讨论函数的单调区间 解 由于 因此当时, 0, 递增;当时, 0, 递减;当时, 0, 递增这是用导数法讨论函数y的单调性，这种方法简单易理解，无需多大的技巧但若用中学的方法讨论，不仅需要一些技巧，而且比较繁难一些对于,令则有 （）（） （）（） （）此时就不容易判断单调性了它需要很多的技巧才能把这道题解答出来从这里就可以看出用导数的方法

14、讨论函数的单调性的优越之处了2.2 利用导数求函数的极值、最值在中学数学里求函数的极值和最值是一项重要的内容，简单的一元函数极值可以通过初等方法解决，而较复杂的一元高次函数，或者多元函数的极值就需要导数来求 中学数学中，求极值的方法有：分析法、配方法、换元法、判别式法、图象法、均值不等式法、利用函数单调性法这些方法的优点是容易熟悉，易于掌握但这些方法往往有三个缺点：一是技巧要求高，特别是较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值用导数求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分 令，有 0，解得 (,2)

15、2（2，2） 2（2，） 0 0 y 极大值 极小值 因此，当=2时，y有极大值，并且，而当=2时，y有极小值，并且，可以得出求可导函数的极值的步骤如下：（1） 求导数（2） 求方程的根（3） 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值例2.2.2 求函数在区间-2,3上的最大值与最小值 函数在区间上是连续的, 令0，有 0,解得 当变化时，y的变化情况如下表：2（2，2）2（2，3）300y3227从上表可知，最大值是32，最小值是22.3 利用导数作函数的图象 在中学数学中，应用描点法描绘了一些简单函数的图象但是，描点法有缺陷这

16、是因为，描点法所选取的点不可能很多，而一些关键性的点，如局部极值点、拐点等常常可能漏掉；曲线的单调性、凹凸性等重要的性态也没有因此，用描点法所描绘的函数图象常常不能比较真实地表现出函数的图象的性态如果利用高等数学中的导数知识就能容易地研究函数的单调性、凹凸性、局部极值点、拐点等，再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识，就能比较准确地描绘函数的图象下面介绍一下作函数图象的一般程序作函数图象的一般程序是：1、求函数的定义域；2、考察函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、综合以上讨论

17、结果画出函数图象根据以上的步骤就很容易画出函数的图象我们来看下面的例子 例2.3.1 讨论函数的性态 解 定义域是，令0，有 0，解得 代入 得到稳定点为（1，28）和（5，70）所以极大值点为，极小值点为求二阶导数得：令0，有 0，解得 代入 ，得 26所以拐点为（2，26）21000凹减极小值 70凸减 拐点凸减极大值28凸增这样就可以作出函数的图象了通过这个例子就很容易掌握了画图的方法，遇到再复杂的函数只要根据这些步骤就能画出它的图象 3 积分在中学数学中的应用3.1 利用积分证明球的体积和表面积公式在中学球的体积公式和表面积公式都是这样推导的：“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”

18、的方法.1、球的体积公式的推导即先将半球分割成n部分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后通过考虑n变到无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积.教材给出了证明，但是过程很复杂，根本就不能理解.所以在中学里面并没有要求掌握，只是要求记得球的体积公式就可以了.如果运用高等数学里的知识就很容易解决了.运用二重积分就很容易证明球的体积公式.例3.1.1 求球体的体积解 由球的对称性知，其体积是第一卦限部分体积的8倍这一部分是以为曲顶，为底的曲顶柱体.故球体体积由变换将D化为则所以，球体体积为 也可以运用三重积分来证明设球的半径为R，求球的体积V. 解 根据球坐标

19、变换得则所以V=2、球的表面积公式的推导如果运用中学的方法来推导的公式是很复杂的，也不容易理解，但是依据高等数学中的旋转曲面的面积公式就能很容易的推导出球的表面积的公式了 设平面光滑曲线C的方程为，（不访设）这段曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面的面积公式为： (3.1) 例3.1.2 计算圆在上的弧段绕轴旋转所得球带的面积 解 对曲线在区间上应用公式(3.1)，得到当，时，则得球的表面积通过这例题知道用高等数学的知识推导球的表面积公式比用中学的知识容易理解且推导过程也很简单 例3.1.3 求球体的表面积 解 利用第一型曲面积分可得：3.2 利用积分求曲边图形的面积在几何问题中，面积始终占有重要的

20、角色.但在初中，面积计算只限在那些规则的图形或者可以分割成规则图形三角形、平行四边形、梯形.在高中，学过海伦公式、解三角形的知识后，我们求面积的方法就更加多样，平面基本图形也更加一般化，但是无论怎样一般化，我们所求的面积都有一个共同的特点直边.一旦需要计算曲边图形的面积，我们就需要化曲为直.这种方法理论上是可行，但是真正做起来并不简单.它里面需要很多的技巧，而且计算量也比较大，很容易出错，也没有那么多的时间去讨论，去计算.在中学是很难掌握的，因为我们的主要目的是高考，所以老师并不要求我们去证明，如果习题中出现这样的题目老师只是写过程，要求去记忆就可以了，并不把这类题归为重点，所以也不要浪费太多

21、的时间去记忆.一旦高考遇上了这类题，也只能放弃，因为我们根本没有把握基本的知识，根本就不知道怎样下手.如果运用高等数学中的积分知识就很容易解答了.也很容易理解.一般地，由上、下两条连续曲线与以及两条直线与（ab）所围的平面图形，它的面积计算公式为 (3.2) 解 先求出这两条方程的交点，即为：利用积分可得面积为分析：这道题如果用中学的知识来解，是很复杂无法理解的但是如果用高等数学中的积分去解就显得很简单了，也很容易接受3.3 利用积分证明椭圆的面积在中学里面并没有给出椭圆的面积公式，教材也没有给出证明当时我读中学的时候也不知道它的面积可以计算，上了大学才知道它的面积不但可以计算，而且用高等数学

22、的知识证明非常的简单，易懂 设曲线C由参数方程 ， 给出，在上连续，连续可微且（对于连续可微且的情形可类似地讨论）记，（ab或ba），则由曲线C及直线,和轴所围的图形，其面积计算公式为 (3.3)如果由参数方程所表示的曲线是封闭的,即有,且在内曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围图形的面积为 (3.4)此公式可由公式(3.2)和(3.3)推出,绝对值内的积分,其正、负由曲线C的旋转方向所确定 例3.3.1 求椭圆所围的面积 解 化椭圆为参数方程 ,由公式(3.3),求得椭圆所围面积为 显然，当a=b=r时，这就等于圆面积3.4 利用积分证明圆锥体的体积公式在中学里面锥体的体积公式只做为阅读材料

23、出现，不要求去理解，只要记得公式就可以了它的推导过程比较复杂而用高等数学的知识就容易推导了 依据旋转体的体积公式推导圆锥体的体积公式 设是上的连续函数，是由平面图形，绕轴旋转一周所得的旋转体那么易知截面面积函数为，由平行截面面积求体积的公式 (3.5)所以得到旋转体的体积公式为 (3.6)例3.4.1 用公式(3.6)导出圆锥体的体积公式解 设正圆锥的高为，底圆半径为这圆锥体可由平面图形， 绕轴旋转一周而得所以其体积为这个结果我们在中学里已熟知了又因同底同高的两个圆锥，在相同高程处的截面为相同的圆，即截面面积函数相同，所以任一高为，底半径为的圆锥（正或斜），其体积恒为4 级数在中学数学中的应用

24、中学数学用表，是中学生不可缺少的工具. 级数是制作中学数学用表的理论基础.而在中学里面并不要求去理解它的由来，只是懂得查表就可以了.而做为即将毕业的我来说就要懂得去推理它了.这表的推理过程确实复杂，不过运用我学过的高等数学里面的知识去推理就容易明白了.在数学分析的课本中，关于无穷级数的章节里，都很详细地介绍了无穷级数的有关概念、性质和计算.通过学习这章内容我知道了中学数学用表的构造.现将中学数学用表中几种主要函数表的构造，作简单的介绍.41 三角函数表的构造三角知识在中学数学中占有相当比重，而三角函数用表又是学好这部分知识的一把钥匙但三角函数表是如何制作的，这是中学生很感兴趣的问题，在高等数学

25、中，运用幂级数展开的知识，便很容易得到解答三角函数中已知一函数的值，通过变换可以求出其他各函数的值，所以只要把正弦函数展成无穷级数，其余诸函数的值可由它推出来那么如何把正弦函数表造出来?下面是一种方法.1、 正弦函数表的构造我们知道，内可以展开成麦克劳林级数，即： (4.1)这就是我们造正弦函数表的理论依据可按下面的步骤做出来第一步：任意给出一个角，依据(4.1)可以求出任意精确度的正弦值设，试求出精确至四位小数的值要求达到取把代入(4.1)得： 即 得的值精确至四位小数即取第二步：把从到每隔的角度全部化为弧度数，（精确度要达到）然后按第一步的方法，把它们的函数值全部求出来第三步：为了求出自变

26、量每增加（或减少）时其所对应的函数所增加（或减少）的数值，一般都采用线性插值法2、 余弦、正切、余切函数表的构造前面已经造出了正弦函数表，根据三角函数的诱导公式：便可求出余弦函数当自变量从开始每隔的函数值，其对应的修正值也相同其实余弦函数和正弦函数可共一表查正弦函数时看表的上方和左方，查余弦函数时看表的下方和右方有了正弦和余弦的函数表，由公式原则上便可造出正切和余切函数表，根据近似计算的原则，为了得到和正弦、余弦函数值相同的精确度，在利用正弦值、余弦值求正切值和余切值时，一般都要求正弦值，余弦值取到小数点后的第五位42 常用对数表的构造对数也是中学数学用表的重要一部分，中学生也是不理解到底怎么

27、得出来的，当时读中学老师并没有要求我们去理解，只是要求记得一些基本的对数值就可以了，如果不是特别的对数，那就把它化为特殊的对数才能去解答有时挺繁杂的，它里面也需要一定的技巧，所以很多时候是无法解答的更不用说去理解它的由来了，其实有时候理解了比去死记硬背好很多，而且也不容易忘记这就需要用高等数学中的知识去证明它的由来了先把展开成麦克劳林级数： (4.2)在(4.2)式中，以代替得： (4.3) 于是 (4.4) 令（为自然数）（4.4）得 ) (4.5)比较(4.2)式和(4.5)，显然(4.5)式的收敛速度比(4.2)式要快得多而，把它代入(4.5)式得：）所以 (4.6)其中为了利用(4.6

28、)式来计算对数值，先要计算出的值M称为对数的模由(4.5)式，取得： (4.7)为了使M达到的精确度，对(4.7)式中的每一项都应取到小数后的第六位即若取前面六项来计算(4.7)式，由级数(4.7)本身所产生的截断误差为： 这是小数后第七位的数，可以忽略不计所以依(4.7)式的前六项来计算，只有舍入误差0693146 0693149即 =069315又当时，代入(4.5)式有类似计算的方法，可求得=160944=069315+160944=230259求出之后，利用（4.6）式以100开始，一直999，每相隔1求出其对应的函数值已知200000把100代入（4.6）式得200000000432

29、00000000420043很显然，在这种情况下，级数收敛很快，只须考虑舍入误差，其余的误差均可忽略不计同理，可求出20086，20128一直到29996，这就是对数尾数的主要部分有了上述两种函数表，至于其它的一些函数表，如反函数表，三角函数对数表，根据对数函数的性质，利用上述的两个函数表就可以造出来小结高等数学的其他知识对中学数学的解题也能起到潜移默化的作用，这里就不一一列举高等数学解决了许多中学数学根本不能解决的问题了解了高等数学在中学数学中的作用之后，就可以利用高等数学解答中学数学的问题本论文主要论述导数、积分、级数等高等数学的知识在中学数学中的应用某些问题可以用高等数学的知识来解也可以用中学数学的知识来解，但是通过用两种方法比较就可以发现用高等数学解答远远比用中学里面的知识解答容易很多，而且也没有那么复杂，也比较容易理解，掌握还可以提高解决和分析问题的能力利用高等数学解决中学数学的问题，还可以把中学生从烦琐的题海中解放出来致谢四年的大学生活即将结束，其中经历了很多的艰苦，同时也对人生有了更深的感悟教师的