圆锥曲线离心率问题

1、圆 锥 曲 线 的 离 心 率 问 题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另 一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：e C （其中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e 0,1（2）双曲线：e 1,+ 2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系(1)椭圆：a2 b2 c2， 2a :长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1 PF2 2a 2b :短轴长 2c:椭圆的焦距（2）双曲线：c2 b2 a2 2a :实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：|PF1 PF2 2a 2b :虚轴长 2c:椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离

2、心率主要围绕寻找参数 a,b,c的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组 成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 a有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）禾U用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对 横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐

3、标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从 而求该函数的值域即可(3) 通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆:e 0,1，双曲线：e 1,+2?19 b 0的左、右焦点，点P在椭圆C、典型例题:上，线段PF1的中点在y轴上，若 PF1F230，则椭圆的离心率为()AJ57511A.也 B.也 C. - D.-36369F丿”例1:设Fi,F2分别是椭圆C：2 x2 a思路：本题存在焦点三角形VPF1F2，由线段PFi的中点

4、在y轴上，0为F1F2中点可得PF?/ y轴，从而PF2，又因为PF1F2 30o，则直角三角形 VPF1F2 中，IPFJJPF2IJF1F2I 2:1:73，且2a |PFj |PF2,2c，所以 e E 迢一1 11a 2a I PFj |PF2|3答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意0为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与0搭配形成三角形的中位线。2 2例2:椭圆 每1 0 b 2刁 与渐近线为x 2y 0的双曲线有相同的焦点12 bRE, P为它们的一个公共点,且F1PF290,则椭圆的离心率为 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点， 设F1F2

5、 2c，在双曲线中,?2 a：b：c 2：1：5，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得:PF1 PF2 4.3，由双曲线定义可得：PF1 PF2 2a 4 c ,因为 RPF? 90，V5PF12 PF22 4c2 而 PF22“ 2 PF1 PF2 PF1PF2 =L代入可得：48曲8c2 c .10 e C旦5a 6答案：仝06小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接 这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。2 2例3 :如图所示，已知双曲线笃爲1 a b 0的右焦点为F ,过F的直线Ia2 b2交双曲线的渐近线于A,B两点，且直线I的倾斜角是渐

6、近线0A倾斜角的2倍,uuu uu若AF 2FB，则该双曲线的离心率为（）A. 泄B.C旦D.4352力用a,b,c表示，再寻找一个等量关系解出a,b,c的关系。双曲线的渐近线方程为由直线l的倾斜角是渐近线OA思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽2b倾斜角的2倍可得：kOA 4， .b a ba确定直线l的方程为y2ab2以x c，与a b2aby x c a bbya2abc3a2 b2Ory渐近线联立方程得2abcuuu uuu2冷将AF 2FB转化为坐标语言，则yA2yB，即-p笔2 -譽2.，解得a:b:c V3:1: 2，从而a b 3a be空3答

7、案：B2 2例4:设F1, F2分别为双曲线 笃 爲1(a0,b 0)的左、右焦点，双曲线上存a b在一点P使得| PFi | | PF? | 3b,| PR | IPF21 9 ab,则该双曲线的离心率为4459A. B.C. D.3334思路：条件与焦半径相关，所以联想到| PR |PF2| 2a，进而与9| PFi | | PF21 3b,|PFi| IPF2I -ab,找到联系，计算出a,b的比例，从而求得e 4解：Q|PF,PF2| 2aoooo即-b 4a -ab -b -ab 4a 02-bb4 0 解得：b1(舍)或 b-aaa3a3答案：Bx2 v2例5:如图，在平面直角坐标

8、系xOy中，A,A2,Bi,B2为椭圆二 J 1(a b 0)a b的四个顶点，F为其右焦点，直线AiB2与直线BiF相交于点T,线段0T与椭圆的交点M恰为线段0T的中点，则该椭圆的离心率为. 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线 AiB2,BiF的方程含a,b,c,联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示2ac b a c丽 1 CT 由片 R”ac b ac再利用M占在椭圆上),2 11IVIj，再利用IVI点在椭圆丄a c a ca c 2 ac即可求出离心率e解：直线AB?的方程为：x y

9、彳i ；a b直线BiF的方程为：xV i，联立方程可得：bxay abcbcybx bc解得：丁严c)a c a c则M （一a解得：eac b(a c)在椭圆写ac 2(a2/7c)52書1(ab0)上,答案：e2/7例6:已知F是双曲线x2 a2 b2y2 =1 a 0,b的左焦点，E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心 率e的取值范围为（）A.1, B.1,2 C.1,1 D.2,1.2思路：从图中可观察到若VABE为锐角三角形, 只需要AEB为锐角由对称性可得只需AEF 0,即可。4且AF,FE均可用a,b,c表

10、示,AF是通径的一半，得:tan AEF，FEc,所以AFFEb2a a cI 1 e 2，即 e 1,2 a答案：B（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数小炼有话说：值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，E a,0 ,A c苴,利用kAE1,0即a可求出离心率2例7:已知椭圆仔a2占1 a b 0的左、右焦点分别为 F|c,0 ,F2 c,0，若椭圆上存在点P使sin PF1F2,则该椭圆的离心率的取值范围sin PF2F1为（）A. 021B.f1 C.0,宁 D. 2 1,1思路：PF1F2, PF2F1为焦点三角形VPFE的内角，且

11、对边为焦半径 PF2 , PF1，所以利用正弦定理对等式变形:sin PF2F|csin PF1F2 sin PF2F1sin PF1F2a得:PF2，再利用焦半径的范围为a cPF1PF2a c, a，再由PF2PF1可得(由于依题意,2a解左右顶点，所以焦半径取不到边界值a c,a2a2a ca ca2 c2 2a22a2 a2 2acc22 a2 ec2，解得e22e 101,1答案：D2 2例&已知F1,F2是椭圆E : x2笃1a ba b0的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF,PF2，则椭圆离心率的取值范围是()B. 三 1 C. 0二 D. 0三2 52思路一：考虑在椭圆上的点

12、P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位 置时，F1PF2达到最大值。所以若椭圆上存在 PF1 PF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的角90，考虑该角与a,b,c的关系，由椭圆对称性可知,OPF22 45，所以 tan OPF2c2 b2p211c2a2 c2，进而孑2即e2 2，解得e1，再由e o,1可得e思路二：由PF1PF2可得 F1PF290，进而想到焦点三角形F,PF2的面积:F1PF2s/f1pf2b tan 2F1PF21b2，另一方面：S/F1PF2 - F1F2 yP c yP，从而F1PF2c yP b2ypb2bcyp因为P在椭圆上，所以ypc，再同思路一可解得

13、：e 1b,b，即思路三：PFi程。设P x, yuu UULT 2PFi PF2 X2uuu uuurPF2可想到PFi PF2 0，进而通过向量坐标化，将数量积转为方uuuuuir,F1c,0 ,F2 c,0，则有 PFic x, y PF?c x, y，则 yb2 c2 y2 a2y2 a2b2，整理后可得：c2y2 b4 c2 0,即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以c b，同思路一可解得e 2,12注：本题对P在圆上也可由PFi PF2判定出P在以F1F2为直径的圆上，进而写 出圆方程所以联立圆和椭圆方程

14、:b2x2a2b2x2y2c2代入消去x可得:思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为x2 y2 c2，因为P在椭圆上,b,b可得:b4b2c b，同思路一即可解得：e答案：e ,i2小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质 与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点 数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解2 20的左右焦点，若在椭圆上存在例9:设点Ai,A2分别为椭圆占i a ba b异于点A,A2的点P，使得PO PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的 取值范围是（）A172 小 1f 72A. 0, B. 0, C

15、. -,1 D. ,12 2 2 2思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P的横纵坐标分别位于a,a , b,b中，所以致力于计算P的坐标，设P心丫。，题目中A2 a,0，由PA2可得P也在以OA2为直径的圆上。即2ax22，所以联立方422a2axy2程：24彳b 212 x2x2y 1a2 ab2 1PO2cax b20，即x2 ax b20，由已a知可得A a,0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得:ax2以 a b2cx。 abb，再根据x。的范围可得：caab22 cab2c2 a2 c2c2e2-，解得 e222答案:D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：

16、即已知一个交点，可利用韦达 定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标2 2例10：如图，已知双曲线七Ka 0，b 0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF则该双曲线离心率e的取值范围为（）A. 、3,2,3B. 、2 .3 1C. 、一2,2,3D. ,3, ,3 1思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义,2c2a1cos sin，即关于的函数，在、2 cos且AB 2 OF 2c，结合 ABF 可得AF 于原点对称，所以 AF即为B的左焦半径。所以有2a BF AF 2c cos sin4312cos-6云os4所以 e , 2,

17、. 3 1答案：B三、历年好题精选20,b 0） , M , N是双曲线上关于原点对称的两点,1、已知双曲线笃aP是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2（k1 k2 0），若匕 k2 的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A.2b. -C. -D. 32 2 22、（ 2016,新余一中模拟）已知点 A是抛物线x 23、已知R,F2分别是双曲线 笃 与1 a b 0的左、右焦点，过点F1且垂直 a b于x轴的直线与双曲线交于 A,B两点，若VABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） 4y的对称轴与准线的交点， 点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA mPB，当

18、m取最大值时，点P 恰好在以A,B为焦点的双曲线上，贝U双曲线的离心率为（）A.2 1B.dc.dD.、51A.2 1,B.2 1,C.1,1224、设F1,F2分别是双曲线X2【2 1 aabLLUJUTuuuuUULT在一点 M，使得 F1M OM OF1 0，、2 D.3 1,0,b0的左右焦点，若双曲线左支上存uuuu J3 I ULULTO为坐标原点，且MF1|mF2，则3该双曲线的离心率为（）A.3 1B亠22 2c.、6 迈d.I 225、2（2016四川高三第一次联考）椭圆 冷ab 0和圆2 bty2圆的离心率e的取值范围为4 f 4而A. 0, B. ,1 c. 0, 一5

19、51722c ，（ c为椭圆的半焦距）对任意t1,2恒有四个交点，则椭()D.41 417 56如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内 层椭圆引切线AC,BD，设内层椭圆方程为2y_b2b 0 ，外层椭圆方程为2x2ma2y2mb91 a b 0,m1若AC,BD的斜率之积为 一，167、则椭圆的离心率（2015,新课标II）已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上, VABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）a. 5b.2C.、3d.8、2 2（2016,宜昌第一中学12月考）已知双曲线 令 专a b0,b0的左、右焦点分别为F1,F2，点M在双曲线的左支上，且M

20、F?7MF1，则此双曲线离心率的最大值为（）45A.B. C. 2D.2yb21 a 0,b0的渐近线3 32 x9、（ 2015，山东）平面直角坐标系 xOy中，双曲线 G：2a2与抛物线C2 ：x 2py p 0交于点O,A,B，若VOAB的垂心为C?的焦点，贝U G离心率为F1PF2-，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. 4 3 B. C. 3D. 2 311、2014，浙江）设直线x 3ym 0 m 0与双曲线1 a 0,b 0的两条渐近线分别交于点A,B，若点P m,0满足PA |PB，则该双曲线的离心率是解得:习题答案:1、答案:B.解析：设M(p,q),N(2p,

21、 q), P(s,t)，则-pTa2 q b22 .21 二 L2 . 2a b2b a， 4b2a24c24a2a25a2 4c22 q2 pt22 s2b2选1，则ae22、答案：A解析：由抛物线方程可得:0,B 0,1 ,过P作准线的垂线，垂足为M，所以PBPM，所以mPAPB1，可知m取得最大值时，PAM最小,sin PAM数形结合可知当AP与抛物线相切时，PAM最小。设AP:y kx 1，联立方程x 4y ，即 x 2 两式相减得：异 4kx 4 0 ,贝U0 k 1，此时 P 2,1，贝Uy kx 1PA 2罷,PB 2，所以 2a PA PB 2罷 2 a 1，则3、解析：QVA

22、BF2为钝角三角形，且 AF2 BF?, AF2R 45即 AF, F,F2 , 2c c2 a2 2ac 0a即 e2 2e 10 e 12答案：B4、答案：A思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形MFT2的特点，从LuuiruumrumruuuuruuuuuurF,MOMOF,0入手，可得F,MOMOF,，数形结合可得四边形OMPF,为菱形，所以OMuuuuMF1 : MFOROF2，可判定VMF1F2为直角三角形uuuu2MF1.3k, MF23k，可得F1F2 U MF15、答案：BMF222.3k解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则bt2bt22c2ca对任意tb1,2恒成立，即b 2c b22ca，平方变形后可得:b5c22 a4ac 017c205e24e丄1745,16答