13-1-1平行四边形的性质及判定.讲义教师版

1、平行四边形的性质及判定中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质， 会用平行四边形的性质和判定解决简 单问题会运用平行四边形的性 质和判定解决有关问题；L hr知识点睛i 平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形. 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行

2、四边形. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例题精讲1、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形 ABCD为平行四边形，即 AB / CD , AD / BC .通过证明三角形全等来说明: AB =CD , AD =BC .（对边相等）AO =C0 , BO =D0 .（对角线互相平分）【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】 I AB / CD , AD / BC . ABD =. CDB , . ADB =. CBD 在ABD和CDB中,ABD 二.CDBBD 二

3、DBZADB ZCBD . ABD 也. CDB AB =CD , AD =BC .在. ABO和.：CDO中，ABO /CDONAOB = . CODAB 二 CD AO =CO , BO =DO 【巩固】 如图，点E, F是平行四边形 ABCD对角线上的两点， 且BE =DF ,那么AF和CE相等吗？请说 明理由【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】因为ABCD是平行四边形所以 AD =BC , AD / BC所以.1 =. 2，又因为 1 ADF =180 , . 2 EBC =180所以.ADF =/EBC又因为BE=DF ,所以.ADF占CBE，所以

4、 AF二CE【答案】AF =CE【例2】 如图，在平行四边形 ABCD中，EF / BC, GH / AB, EF与GH相交于点O，图中共有个平行四边形G DHC【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】9个【巩固】以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A . 2个B . 3个C. 4个D . 5个【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】B【例3】（2008兰州）如图，平行四边形 ABCD中，AB _ AC .对角线AC , BD相交于点O,将直线AC 绕点O顺时针旋转，分别交 BC , AD于点E

5、, F . 证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF是平行四边形； 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，兰州中考【解析】证明：当.AOF =90时，AB II EF ,又 I AF II BE ,四边形ABEF为平行四边形. 证明：；四边形ABCD为平行四边形 AO =CO , FAO = ECO , AOF = . COE . AOF 也.COE AF =EC【答案】证明：当ZAOF =90时，AB II EF ,又 T AF II BE ,四边形ABEF为平行四边形. 证明：常四边形ABCD为平行四边

6、形 AO =CO，三FAO ZECO , ZAOF ZCOE . AOF 也.COE AF =EC【例4】 在平行四边形ABCD中，点Ai、A、A、A4和Ci、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点，点Bi、 B2和Di、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形 A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形 ABCD 面积为（）35A . 2B . -C. -D . 15【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2008年，山东潍坊【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C.【巩固】 如图，在平行四边 ABCD中，AC、 面积为（）A 3 B 6 C. 12【答案】

7、CBD为对角线，BC =6 , BC边上的高为4，则阴影部分的D . 24【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2009年，桂林市中考，百色市中考【解析】利用平行线的性质及割补法可得C.【答案】C【例引 现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想 用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】1995年，昆明竞赛，2003年宿迁中考【解析】省略【答案】答案不惟一.【巩固】 如图1, Oi , O2, O3 , O4为四个等圆的圆心，A

8、, B , C , D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2,Oi，O2，O3, O4，O5为五个等圆的圆心， A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条 直线，将这五个圆 分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 .C。4O3DIBO2OiAO5【考点】圆的相关概念及性质【题型】填空【难度】4星【关键词】2008年，天津【解析】Oi , O3如图（提示：答案不惟一，过 O1O3与O2O4交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等 的两部分）；O5 , O,如图（提示：答案不惟一，女口AO4, DO3 , EO2 , C

9、Oi等均可）.CO3。5DB。2AOiO4【答案】见解析【例6】 如图，E,F是平行四边形 ABCD的对角线AC上的两点，AE二CF . 求证：（i） ADF:CBE ;（2） EB II DF .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2007年，浙江临安中考【解析】（i） AE二CF , AE EF =CF FE，即 AF =CE . 又 ABCD是平行四边形， AD =CB,AD / BC . . DAF =/BCE . . ADF 也.：CBE(2) / ADF 也.CBE . DFA 二/BEC . DF / EB.【答案】(1) / AE =CF , AE

10、EF =CF FE，即 AF =CE . 又 ABCD是平行四边形， AD =CB,AD / BC . . DAF 二.BCE . ADF CBE(2) v ADF 也 CBE . DFA 二/BEC . DF / EB.【巩固】 如图，已知：在平行四边形 ABCD中，.BCD的平分线CE交边AD于E , ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G .求证：AE = DG .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，青海西宁【解析】（答案不惟一）v四边形ABCD是平行四边形（已知） AD / BC , AB =CD （平行四边形的对边平行且相等）乙GBC ZBG

11、A，乙BCE ZCED （两直线平行，内错角相等） 又v BG平分/ABC , CE平分/BCD （已知） ZABG ZGBC，乙BCE ZECD （角平分线定义） . ABG 二.AGB , . ECD 二.CED . AB =AG , CE =DE （在同一个三角形中，等角对等边） AG 二 DE AG - EG 二 DE - EG ,即 AE 二 DG【答案】（答案不惟一）v四边形ABCD是平行四边形（已知） AD / BC , AB二CD （平行四边形的对边平行且相等） . GBC BGA , . BCE CED （两直线平行，内错角相等） 又v BG平分/ABC , CE平分/BCD

12、 （已知） ZABG ZGBC，乙BCE ZECD （角平分线定义） . ABG - . AGB , . ECD 二.CED . AB =AG , CE =DE （在同一个三角形中，等角对等边） AG 二 DE AG -EG 二 DE -EG ,即 AE 二 DG【例7】 已知：如图，平行四边形 ABCD内有一点E满足ED _ AD于点D , EBC ZEDC , ECB =45 ,请找出与BE相等的一条线段，并给予证明.F【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】AB或CD .证明：延长DE交BC于F ,/ ED _ AD 且 AD / BC DF _ BC又

13、ECB =45- . CEF为等腰直角三角形 EF =CF在BEF和.DCF中EBF 二.CDFYBFE = . DFCEF =CF- . BEF 也.DCF BE 二 DC 二 AB【答案】AB或CD【巩固】 如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点，BE / DF，求证：AF =CE .AD【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，湖南长沙中考【解析】省略【答案】证明：平行四边形 ABCD中，AD / BC , AD = BC , . ACB = CAD .又 BE / DF ,乙BEC ZDFA , . BEC 也.DFA , CE =AF【例

14、8】 如图，在平行四边形 ABCD中，连接对角线BD，过A,C两点分别作AE _ BD , CF _ BD , E , F为 垂足，求证：四边形 AECF是平行四边形AD【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】因为 ABCD是平行四边形，所以 AB =CD且AB / CD 所以 /ABE =/CDF因为 AE _ BD , CF _ BD，所以.AEB 二.CFD = 90 所以AABE也.CDF，所以 AE =CF因为.AEO CFO 90，所以 AE / CF所以四边形AECF是平行四边形【巩固】 如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE

15、、AB的延长线交于点 F ,连接AE、CF .求证:S ABE - S EFC .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】易证.BEF也CED ,BF = CD = ABABE和 FBE是以AB、BF为底的等底等高三角形. S.ABE =S.EBE/ FBE和 FCE是以BE、CE为底的等底等高三角形.S.F：be 二S.Ece ,【例9】 如图，已知等边三角形的边长为10 , P是. ：ABC内一点，PD / AC , PE / AB, PF / BC ,点 D , E, F 分别在 AB , BC , AC 上，贝U PD PE PF如图1,在平

16、行四边 ABCD中，NA =120，则/ D =AB图1如图2,在平行四边形 ABCD中，DB =DC , . A =65 , CE _ BD于E，则.BCE =D图2已知四边形的四条边长分别是a ,b, , d，其中a,b为对边，并且满足a2 b2 c2 d2ab 2cd则这个四边形是（）A 任意四边形B.平行四边形C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形AB = 6cm , DE 平分.ADC（2009东营）如图 3,在平行四边 ABCD中，已知 AD=8cm , 交BC边于点E，贝U BE等于cm 图3已知平行四边形 ABCD的周长为60cm ,对角线AC、BD相交于0点，AAOB的

17、周长比.BOC 的周长多8cm，则AB的长度为 cm 【考点】平行四边形的性质和判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】省略；省略；/四边形ABCD是平行四边形A EDCB =65又/ DB =DC DBC = DCB =65 , CDB =50又/ CE _BD , . ECD =40 . BCE =65 -40 =25 省略 I BC = AD =8cm , CE =CD =AB =6cm , BE = 2cm .如图，UAOB的周长为 AB AO BO , ：BOC的周长为BC BO CO 由平行四边形的对角线互相平分可得AB AO B0 BC BO CO 二AB _BC =84【

18、答案】10 ;60 ;25 ;B；2cm ;19【巩固】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7,则它的一条边长 a的取值范围是 AC【考点】平行四边形的性质和判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】如图，不妨设 AB =a， AC =5， BD =7，在AABO中,AO =5 ， BO = 7，由二角形二边关系可得AO BO| ；： AB : AO BO ，即 1 ： a ：: 6 .【答案】1 ：a .6【例10】如图，是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF , AB / DC , BC / DF ,从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B -D -A-E，路

19、线2是B C -F E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明.EG【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】两条路线一样长延长FD交AB于点G , / CE垂直平分 AF , AB / DC , DF =DA , FED EAB =90 , DAF DFA .乙 DGA ZDFA ZDAG ZDAF =90 . DAG - . DGA AD =DG又/ AB / DC , BC / FG四边形DCBG为平行四边形， BC =DG =AD =FD四边形BCFD亦为平行四边形， CF =DB路线 1 =BD DA AE，路线 2 二 BC CF FE路线1与路线2相等

20、.【答案】路线1与路线2相等【巩固】 如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE_AC, DF _ AC , E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG , GF，FH . HE为公园中小路，问小明从B地 经E地，H地到F地，与小强从 D地经F地，G地到E地，谁的路程远.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】两人一样远四边形ABCD为平行四边形， AB =CD ,AD =BC , BAC 二.DCA ,/ BE _ AC , DF _ AC , BE II DF . ABE =/CDF . ABE 也 CDF , BE =DF1又

21、 G、H 分别是 BC、AD 中点， EG 二GC 二BC GEC=. G C,E2同理 FH =AH，乙DAF ZAFH2- EG II HF 且 EG =HF -四边形 EGFH 为平行四边形， BE EH HF =DF FG EG 两人路程一样远.【答案】两人路程一样远【例11】在平行四边形ABCD中，过A任作一直线 AM，过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG , 垂足分别是 E、F、G，求证：BE=DG -CF .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】 解法一：如图，过C作CH _ DG于H，则GFCH为矩形. GH 二CF , CH

22、II AM .又 AB II CD , . BAE = . DCH .又 AB 二 CD , Rt . ：ABE 也 Rt CDH . BE 二 DH 二 DG -GH , BE 二 DG -CF .解法二：如图，延长CF到H，使HF =BE，连接BH，显然BHFE为矩形. . BHC =90 =. AGD . DG / CF , AD / BC , . ADG =/BCH .又 AD =BC , . ADG 也.：BCH , DG =CH =CF HF =CF BE . BE =DG -CF .【巩固】AC是平行四边形OF _AD 于点 F，ABCD较长的一条对角线，点CO是ABCD内部一点

23、，0E _ AB于点E，【考点】相似三角形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】 【解析】省略【答案】如图所示，分别过点B、C、D作直线A0的垂线，EG / CP / DL、Q、N为垂足；分别过B、D作AC的垂线，L、K为垂足.显然，A、E、0、G、F五点共圆， AO是直径.由 DN _ AO , CQ _ AO , BM _ AO , DC / AB 且 DC = AB 可知 NQ 二 AM .已知 AF AD =AN AO , AE AB = AM AO ,贝V AF AD AE AB=AN AO AM AO =AO AN AM二 AO AN NQ=AO AQAG AC故 AE A

24、B - AF AD =AG AC .点评：ab cd =ef类型的问题一般要转化为 ab =mn型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、 余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途.二、平行四边形性质和判定的综合应用【例12】点A、B、C、D在同一平面内，从 AB / CD，AB =CD，BC / AD，BC =AD .这 四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）种A. 3B . 4C. 5D. 6【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】2星【关键词】【解析】选B .和对，和对，和错，和错，和对，和对.等腰梯形是错的特例

25、.【答案】B【巩固】 如图，已知： AD是, :ABC的角平分线， DE / AB,在AB上截取BF二AE，连接DE , EF，求 证：四边形BDEF是平行四边形【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】因为 AD平分.BAC所以 NBAD =NCAD因为 DE / AB，所以.BAD = ADE 所以 EEAD .乙ADE , DE =AE 因为BF =AE，所以DE =：BF因为DE / BF，所以BDEF是平行四边形【例13】已知：如图，在平行四边形 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点 求证：.AFD：CEB ;四边形AECF是平行四边形.

26、【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2006年，南京中考【解析】省略【答案】（1） 四边形ABCD平行四边形， AB =CD,AD =BC,ZB =ND .又 E,F分别是AB,CD的中点，11BE AB,DF CD .22 BE =DF ,AE =CF . AFD 也 CEB .（2 ）由（1 ）知 AE =CF , AFD 也 CEB . AF 二CE .四边形AECF是平行四边形.【巩固】 如图，四边形 ABCD中，AB / CD ,. B = D , BC =6 , AB =3，求四边形 ABCD的周长.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星

27、【关键词】2009年，柳州中考【解析】省略【答案】解法一：/ AB / CD N B +NC =180又 . B = . D . C . D =180 AD / BC，即得ABCD是平行四边形AB 二CD 二 3 , BC 二 AD 二6四边形ABCD的周长二2 62 3二18解法二：连接AC/ AB / CD . BAC =. DCA又 . B = . D , AC 二 CA . ABC 也.CDA AB 二CD 二 3 , BC = AD 二6四边形 ABCD的周长 =2 62 3 =18解法三：连接BD/ AB / CD . ABD CDB又： ABC = . CDA . CBD ADB

28、 AD / BC，即ABCD是平行四边形 AB =CD =3, BC = AD =6四边形 ABCD的周长 =2 62 3 =18【例14】如图所示，P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC .ADCCQ【考点】平行四边形的性质和判定【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】如图所示，将.PAB平移至.QDC的位置，易证DQ =AP，CQ =BP，则四边形DPCQ恰好是 个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边.【例15】如图所示，在平行四边

29、形 ABCD中，、F是对角线AC上两点，且AF =CE，求证：四边形BEDF 是平行四边形.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连接BD，交AC于0/四边形ABCD是平行四边形， BO =D0、AO =C0/ AF CE、 AF -AO =CE -CO OF =OE、四边形BFDE是平行四边形【巩固】已知：如图,AD / BC、ED / BF，且 AF =CE .求证：四边形ABCD是平行四边形.A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】/ ED / BF、乙DEF ZBFE、 ZAED ZBFC 又/

30、 AF =CE、 AE =CF/ AD / BC乙EAD ZFCB、 AED 也 CFB AD二BC、 ABCD是平行四边形【例16】如图、在平行四边形 ABCD的各边AB , BC , CD , DA上，分别取E、F , G, H、使AE =CG、BF二DH、求证：四边形 EFGH为平行四边形G【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】利用.AEH也 CGF ,. AEH也CDFE，证明HE二 FG , HG 二 EF【例17】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P ,过点P作直线交AD于点E ,交BC于点F 若 圧序 ，且APAE=CP C

31、F .求证：四边形 ABCD是平行四边形.【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2008年，西城模拟改编【解析】省略【答案】延长 PA、PC，使AM二AE、CF二CN .连结MF、EN .AP AE =CP CFPM =PN四边形MFNE是平行四边形.ME=NF,M ZNAE 二 AM , CN =CF.AME 也. CNFAM =CNAP 二CP, . PAD =. PCB.APD 也 NCPBPD =PB四边形ABCD是平行四边形.N是对角线AC上的点，且AM =CN ,DE =BF，求证:【巩固】 如图，在平行四边形 ABCD中，点M、 四边形MFNE是平行

32、四边形.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】/四边形ABCD是平行四边形 AB / CD , AB =CD . MAF =/NCE又 DE =BF AF =CE又 AM =CN显然.AFM也.CEN FM =EN且.AMF =. CNE . FMN =. ENM四边形MFNE是平行四边形.【巩固】 如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的AD、BC边上的点，且 AE =CF .求证：ABE = . ：CDF ;若M ,N、分别是BE、DF的中点，连接 MF、EN，试判断四边形 MFNE是怎样的四边形, 并证明你的结论.【考点】平行四边形的性质和判

33、定【题型】解答【难度】3星【关键词】2005年，四川中考【解析】省略【答案】 由ABCD是平行四边形可知， AB二CD，也BAE ZDCF 又 AE =CF，故.：ABE 也.CDF由（1）可知，.AEB =/CFD , BE=DF又 FN =DN , BM 二ME , ME 二 NF而 AD / BC , 有.AEB = . CBE /CBE ZCFD , BE / DF四边形MFNE为平行四边形【例18】如图，过四边形 ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F,又G、H分别为 OB、OD的中点，求证：四边形 EHFG为平行四边形.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【

34、难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】易证 EO =F0 , HO =G0四边形EHFG为平行四边形【巩固】 如图，厶ACD、八ABE、厶BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB = AC时，证明四边形 ADFE 为平行四边形.D【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】2008年，佛山中考【解析】省略【答案】/ ABE、. BCF为等边三角形， AB =BE = AE , BC =CF =FB , ABE =. CBF =60 . . FBE = CBA . . ：FBE 也 CBA . EF =AC .又/ ADC为等边三角形， CD = AD = AC . EF

35、 =AD .同理可得AE =DF .四边形AEFD是平行四边形.【例19】如图，点E, F , G , H , M , N 分别在 ABC 的 BC, AC, AB 边上，且NH / MG / BC , ME / NF / AC , GF / EH / AB，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从 F点 出发，黑蚂蚁沿路线 FNHEMGF爬行，白蚂蚁沿路线 F B)A C)F 爬行，那么( )A. 黑蚂蚁先回到F点B. 白蚂蚁先回到F点C. 两只蚂蚁同时回到 F点D. 哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】5星【关键词】2006年，第17届，希望杯试题【

36、解析】可知四边形 CFNH , AHEM , BMGF均为平行四边形，可知选 C【答案】CABE、等边.：CDF .求证:四边形AECF是【巩固】 以ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边 平行四边形.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】/ AB =CD , ABE和.：CDF都是等边三角形 AE =CF , EB =DF/ BC =AD , ABC =/ADC , ABE =/CDF . CBE ADF , . ：CBE 也.：ADF CE =AF , 四边形AECF是平行四边形【巩固】 等边ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD =

37、 BE，所以AD为边作等边 ADF .求证: 四边形CDFE是平行四边形.【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连结FB .v /1 =60 ZBAD Z2 , AF 二 AD , AB 二 AC . AFB 也 ADC , MABF MACD =60 , FB =DC / CD 二 BE , FB =BE BEF 是等边三角形， EF =BE =DC , . BEF =60v . ABC =60 , . BEF =/ABC EF / BC ,四边形CDFE是平行四边形【例20】如图，已知AC是平行四边形 ABCD的对角线，厶ACP和厶ACQ都是等

38、边三角形，求证：四边形 BPDQ是平行四边形.O【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】方法一：（利用全等得两组对边相等）/ AC是平行四边形ABCD的对角线 . DAC 二/BCAv /ACP /CAQ =60 . DAQ 二/BCP又 v AD =CB , AQ =CP , ：ADQ 也.：CBP DQ =BP类似可证.ABQ也.CDP BQ =DP四边形BPDQ是平行四边形.方法二：（利用对角线互相平分证明结论）连结BD交AC于0，连结PO、QO .利用.ACP和.ACQ是全等等边三角形可得P、0、Q三点共线，且 PO =Q0又 v BO =D

39、O四边形BPDQ是平行四边形.【巩固】如图，UABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF AE互相平分./AB ,DF / BE .求证：DF 与平行四边形的性质和判定 解答3星【考点】【题型】【难度】【关键词】【解析】省略【答案】连结AF、DE .v EF / AB , DF / BE , 四边形BDFE是平行四边形 EF =BD AD =BD , AD =EFT AD / EF , 四边形ADEF是平行四边形 DF与AE互相平分【例21】如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A,B,C,D处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，

40、并要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】济南中考【解析】连接AC , BD，交于0 ,过A, C分别作BD的平行线，过B, D分别作AC的平行线，他们分别交 于E，F，G，H，则平行四边形 EFGH合乎题设要求【答案】见解析【巩固】 如图，在 ABC中，ACB =90，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED _ BC于点D，在DE 的延长线上取一点 F，使AF =CE .求证：四边形 ACEF是平行四边形.BCA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】

41、3星【关键词】2009年，湖北黄冈【解析】省略【答案】 . ACB =90 , AE =BECE =AE =BE又 AF 二CE AF =CE =AE =BE又 ED _BC , BE =CE乙BED ZCED又 BED AEF由 AE 二 AF 得 F =. CED CE / AF四边形ACEF是平行四边形.【例22】如图，在平行四边形 ABCD中，DE_AB于E , BM二MC二DC，那么乙EMC与乙BEM的大小 关系怎样？【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】延长EM交DC的延长线于F ,连结DM , . 5 =/6,. F =/4 , MB =MC ,

42、 FCM 也 EBM , M 是 EF 的中点. AB / CD , DE_AB , DE _ FD . 在 Rt EFD 中，v /F =. 1 , . 3 =2. F，又 v CM =DM , . 2 =/1 =/F，又 . EMC =3. F ,而.F = . 4, . EMC =3 BEM .【答案】 /EMC =3BEM【巩固】 已知平行四边形 ABCD , BC =2AB , M为AD的中点，CE _ AB .求证：EMD =3AEM .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】解法一：如图，取BC的中点N，连接MN、MC .v AM /

43、BN , AM =BN , MN =AB =DC , . AEM - . EMN . 又 CE _ AB, CE _MN，且平分 CE . . EMN CMN .又 MDCN 为菱形， CMN = . CMD EMN , . EMD =3 AEM .解法二：如图，延长 EM、CD交于F .FAM/ AB / CF , . AEM DFM , . EAM = FDM . 又AM 二DM ,- . AEM DFM , . AEM 二.F , EM =FM .又 AB / CD , CE _ AB , CE _CD , MC 二MF ,故/MCF ZF . . EMC =2 F =2 AEM .又

44、DM =CD , . DMC 二/MCF 二/F 二/AEM . . EMD =3. AEM .解法三：如图，过M作MH _CE于H ./ AE / CD , AE _CE , MH / AE / CD .又 AM 二DM , EH =CH , . EMH 二/CMH , / EMD =3AEM解法四：如图，连接CM并延长交BA的延长线于F ,贝AMF ZDMC .又 AM =DM , BF / CD ,乙FAM ZCDM ,AMF 也.：DMC , MF =MC .v ZCEF =90 , MF =ME , F ZAEM . . EMC = F AEM =2 AEM .1v AD 二 BC

45、=2AB =2CD , DMAD =CD ,2【例23】已知：如图，平行四边形ABCDBE、DF的延长线分别交 AD、B . DMC =. DCM =. F =. AEM , . EMD =/EMC . DMC =3. AEM .中，AE、BE、CF、DF 分别平分.BAD、. ABC、. BCD、. CDA , BC于点M、N .连接EF，若AD =7, AB =4 .求EF的长.平行四边形的性质和判定 解答4星【考点】【题型】【难度】【关键词】2008年，顺义二模 【解析】省略【答案】/四边形ABCD是平行四边形， AD / BC , AD二BC , AB二CD ,. CBM =/AMB,

46、 BE 平分 ZABC , AM =AB =4 .ABM =/CBM , . ABM =/AMB , AE 平分.BAD , 1 EMBM .2同理，CN 二CD , DF= -DN ,2 AM 二CN , AD -AM 二 BC CN，即 DM 二 BN ,四边形BNDM是平行四边形， BM =DN , BM / DN , EM =DF , EM / DF ,四边形MEFD是平行四边形，EF 二 MD , EF 二 MD 二 AD - AM 二 AD - AB 二 7 - 4 二 3 .【例24】如图，P为平行四边形 ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于 E、F、G

47、、H 四点，若 Sahpe =3 , SpfCG 二 5 , 求 SPBD .【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】设AH a , HB =b，在平行四边形 AHPE中，AH边上的高为m , 平行四边形PFCG中PF边上的高为n ,由EF / AB , GH / AD知 四边形EPGD、HBFP也是平行四边形，故 SaaBD :2g1Saabdan ,211AB m n a b m n am an bm bn ,221Sabhpbm , S平行四形ahpe = am =3 , S平行四形pecg =bn =5 ,2由 SAABD 二 SabdPSA EPDSa

48、 BHP S四形AHPE，Sabdp =(3 +an +bm +5 )丄 an 丄 bm 3 =1.2 2 2【答案】1【例25】如图，在.ABC中，AB二AC , AD _ BC于D，点P在BC上，PE _ BC交BA的延长线于 E, 交 AC 于 F。 求证：2AD=PE+PF ;ED PED P11/KI iI fH ”【考点】轴对称类全等问题【题型】解答【难度】5星【关键词】第十二届，希望杯邀请赛试题【解析】省略【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。 证明：延长 AD，使得AD=DH，连接CH,延长FP交CH于点K。/ AB 二 AC, AD _BC 二

49、 BD 二CD AD =DH ABCH为平行四边形 AB / CH , /BCH /ABC EACB FP _ BC, CP为公共边. ：FCPKCP FP 二 PK/ AD _BC, PF _BC 二 AH / EKAB CH AHKE为平行四边形 AH =EK 2AD =AH =EK =PE PK =PE PF说明：倍长中线构造平行四边形是竞赛中常用的技巧之一，竞赛班的学生一定要掌握。 而运用其性质的一个典型例题。【巩固】如图，四边形EFGH中，若 在平行四边形ABCD中取一点.1=/2，则.3必然等于 4 请运用结论证明下述问题：如图, P，使得.5 = 6，求证：.7=8.【考点】平行

50、四边形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】2007年，101中学期中考试【解析】省略【答案】分别过点 B、P 作 BK /AP，PK /AB，交于点 K，连接 CK ./ BK / /AP , PK /AB二 BK =AP , PK =AB, . 5= . BKP , . 7 = . BPK / AB 二CD , AB/CD , /. PK / /CD , PK 二CD PKCD为平行四边形， PD =CK/ AD =BC , . ：ADP 也.BCK ,二匕8 ZBCK在四边形 BKCP中，NBKP =N5 =N6 EBPK ZBCK7 Z8【巩固】 如图所示，在平行四边形 ABCD中，求证AC2 - BD2二AB2 - BC2 CD2 DA2 .【考点】平行四边形的性质和判定，勾股定理【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】省略【答案】本题实质是证明 AC2 BD2 =2 AB2 AD2 .如图所示，过点C作CE / DB交AB的延长线于点E ,因为 CE / DB , DC / BE ,故BECD是平行四边形，从而 CE = DB , BE = DC .作CH _AE , H是垂足，则：2 2 2 2 2 2 2 2AC = AH CH =AB BH CH = AB 2AB BH BH CH ,22222 J.22