高一秋季第13讲.三角恒等变换三大问题.初稿.目标班

1、113.1二角公式灵活运用4.二倍角公式$sin2 ： =2sin -：cos 二.2 2 2 2C2 -.：cos2： =cos、丄 sin 2cos、丄 1 =1-2sin :.T2 .:tan2，2tan 21 ta n :www.speiycnj.cDmX理稠郢学而思三角函数8级 三角恒等变换三大问题三角函数9级 解三角形知识点睛1. 两角和与差的余弦公式C ：. ： cos : - -二 cos 二I cos，sin : sin !：:-2. 两角和与差的正弦公式S_：si n : - - -si n : coscos: si nF；3. 两角和与差的正切公式tant 亠 tan -

2、： tan :me1 -tana 伽 P满分晋级三角函数7级 和差角公式和二倍角公式: cos :- 二cos: cosl sin、sinlS.： sin :- -sin : cost、cos: sinl-tan : - tan -Ttan(卩严玄manB 第13讲三角恒等变换三大问题学B PTST学而电：教师备案 三角变换中常用的数学思想方法技巧有：角的变换：30* 比如：15 =45 -30 =60 _45 =2:=:= 2 2,z - ? - -.2 : 一 ： = : 一 ： =2- 2 IU ij_aI 7ta + -ot2 K+ct f+ I w4-4=CL (P CC )nn1=

3、 ：-|-r - -U 1= - +a + 一0( !=-八4 八4 八3 八6 )2-1 3 n -：7tn1=1 +a3-3常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值,三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦函数名称的变换:是基础，通常化切为弦，变异名为同名;例如：1 =sin2:亠cos2 ： =sin n = tann= 2sin n= .2sin ;2464幕的变换：降幕是三角变换时常用的方法，常用的降幕公式有:21 cos221cos2 .工1 .cos, sin, sin 二 cos sin 2 二2 2 2但降幕并非绝对，有时也需

4、要对某些式子进行升幕处理，比如:2 2 . 21+cos2a=2cos a, 1-cos2a =2sin a ; 1 sin R=(sinacosa);公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用, 例如：tan鳥；.tan ：二tan(、.二 I，) (1 一tan : tanF).考点1 ：给值求角问题教师备案 对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后判断 该角所在的范围，求出角.有时候呢，角度所在范围如果比较大，或者难以求出时，就需 要考虑缩小角的范围再做.【铺垫】已知：是三角形的内角，且 sin，则等于()A .n3 nB.

5、C.n._p- 3 n 或一5 n D .44446已知:-，:均为锐角，且sin :丄=cos P :53_二一j=，则 G + 0 =10已知二，:均为锐角，且tan 二=-,tan ： =7，则=【解析】C3www. speiyou .com上4法一:由已知得 cosa =丄,si n B , sin (a+p)=s in a cos0+cosa si n 0 =空,寸5102n-4cos n34210二 cos 卜, 0 :n,) -k tan(x T )1 -ktan(: - ) tanC -) tan(： ：)tan(：冷Jan(a B) 法二：由已知得k=tan心)，代入右边1伙

6、=tan仪哉)1 kta n(aP)tan(卅亠 I )要求tan (: J ta n(- J，又有两种不同的方法：tan (a +B) ta n(a 0) tan(:：) tan(:- -) _ tan(:-:- - )1 -tan(:：)tan(:-)tan(用、I ) tan(:- -) tanC- - :-)1 tan(:：)tan(:- -)tan 2：= cosC：亠，)cos(: - -) -sin(二亠，)sin(:-)M4 -www.s peiiyoucom【解析】【备选】【解析】ncos -.-,则 s6 5分析：对已知等式左边若用公式 C :，则有cos :，n =6宀（

7、目标班专用）（2012江苏11）若：.是锐角,cos：2-sin ： = 1 -cos :-,若注意已知条件中的角:.-12n ncos sin - sin ,6 6需解一个关于cos的无理方程，所以此法不妥.nn和欲求值的角之间有关系-式C_._：求解.nnn 2 n-0 ，二2663n，就可以运用公1 -1212 ( n1 - cos I61313:-n -n =cos :6 631215.3 122132 一 26二、卩：=n , n ,: 展亠 P Win,12丿cos:-二 cos|ot. nsin6=5132n ,.sin :- -、1 -cos2 :=15T,冗n, n 2:：:

8、 2 n, sin2 用2二 sin : - -sin |2.z - :- -12-.1 - cos 2 -13上 1_卫2-5诵ta nJ；-2:- -ta n 2: - - - -ta n:-134134tan.-s ：i tan：I；1 tan : tan -l-：,-521217.2 ；50 ； ( cos I 2j.亠2：371sin 12: 上 二sin l2_：-12:是锐角，可得n45,333n n 一 ： 一，所以 sin I 2二32（二 sin 12二2425-n3cos cosl2: 4371.n 17 2 in4503n=_210，x n4求sin x的值； 求 si

9、n 2x nI 3丿解法一：已知cos的值.www, speiyOLj .corri*理iprsr学而滴三订 n 1421 cos I X I 4丿7、222-4=X i X =5n_ f n nx44 2in二 sin x -l4丿因为xn,3n(24丿i .i / nsin x =si n x 吐4丿4丿解法二：由题设得 2 cosx 2 sinx 2，即 cosx sinx 二1 .2 2 10 5，所以是 sin x -=v 4丿q10cos cos x -n4.4sin n410 2102又 sin2 x cos2 x = 1，从而 25sin2x_5sin x _12 = 0 ,解

10、得sinx 上或sinxd55因为xn,3n(24丿因为xn, 3 n124丿，所以皿435,故 cosx = - 1 -sin2x =24 21sin 2x =2sin xcosx, cos2x =2cos x -1 =25 25n 241.33 一 50nnn所以 sin I2xsin 2xcos cos2xsin 二l3.丿7t13.2辅助角公式的应用考点3 :辅助角公式知识点睛不能引入教师备案 在求y =sinx cosx的最大值时，我们遇到很大的困难，因为sinx和cosx相互关联,把两者的最大值简单相加.我们希望能够把它化简成y=Asin（cox+）的形式，因此,辅助角公式.辅助角

11、公式:I L.y =asi n = bcos，a2 b2 si门2亠门1,其中tan二一，所在的象限由a, b的符号确定.a运逅（教师备案 对于求式子y-sin-cos的最大值，我们可以快速简便的化简成y=sin :22I因为这是一个特殊角.但是对于形如y=asin_：:bcos二的式子，a,b本身没有关系，无法直接化简此时，延续之前的思路，我们便构造出:，逆用两角和与差的公式，把 :,两个角变成一个角，就方便处理了.具体方法是：三事暫ST ST會而律_22y = . a ba丄bF= sina += cosal寸a +bVa +b可令cos=一 a : sin二 bJa2 +b2Ja2 +b

12、2如右图所示，点P a,b满足要求，J F_ =2tan二一，所在象限由点 a, b决定.如果a,b都是负数，此时是第是第一象限角，所以对于辅助角【铺垫】【解析】【例4】13r5, (sin、* -cos:-= sin In= sin 1 z22I3I3 .1fnfsin 二cos,z=cos 1、一 fz二sin t 亠22I3Iyyn ；3 ；n.6丿这是最一般的情况，但是我们使用起来并不方便，比如， 三象限角.而我们从三角函数诱导公式开始，就习惯于 公式，在运用时，我们会做小小的变形，尽量让是第一象限角.观察以下两个例子：由此可见，辅助角公式得到的结果并不唯一，只是我们通常选择化为自己熟

13、悉的形式. 如果不是特殊角，如 y =3sin二:，4cos.i，我们也可以得利用辅助角公式得到：J3 i .4y =5 sin cos:55金mJ，其中cos_5sin4，tan3.经典精讲（2010西城一模理2）函数y =cosx亠cos I x n的最小值和最小正周期分别是（I 3丿C.- 3 , nB .3 , 2nD.3 , ny = 3 cosx sin x = 3 cos 2X _6 .臨函数f（x） =sin2x层nxcosx在区间寸,n上的最大值是（臨函数13B.2f n)f x =2cos x cos ,I 4丿ID. 13C.-2I ./3 sin2x的最小值和最小正周期

14、分别是（B .-2 , 2 nf宀（目标班专用）已知 cos-nI 6x4C.- 2 , nsin ： =4-3，贝U sin5).D. -2, n f + 7n I 6的值为【解析】f (x)cos2x + Jsin 2x =sin 2x -lcos2x + 丄=sin 2x一-n22222 I由-n，1 ,1 , sin 2x -, I 6丿2函数f（X）的最大值为2 .2f x =2cos亠 ”3sin2x= sin i 2x 上 .3I 2jnsin 2x =cos2x 3sin 2x =2sin i 2x .I 6丿丿5(n cos 、II 6丿cos ： - nI 6丿.(+“ s

15、in :4.3cos:sint -sin： = ,1cos3sin：2 2 2 27 n)(ni( na= sin :n=-sin :I 6 ，1 I6I 6丿45又sin【例5】 臨已知函数f（x）二as in 2x cos2x的图象关于x= n对称，则a =6：（2013新课标全国）设当x-v时，函数f （x） =sin x _2cosx取得最大值,贝U COST1* （目标班专用） 已知函数f x二a si nx _bcosx （ a , b为常数，a严0,得最小值.，则函数f nx【解析】f = a2 1sin x：；W,图象关于可知n - =6nb二一 k n k Z , tan :

16、2a| n丄二 tan kn13ta贝 U a = 32 .5_ 5；L2 5f x = 5sin x-：?,其中 sin 二、, 5由题意，当X时，函数取得最大值，此时则 co=co+n2kn丁 - ，n 2k n k Z ,2.2.5-sin-2cosxf (x)二asinx -bcosx - a2 b2sin(x) = f(x)mi - a2 b2 ,【例6】【解析】【例7】【解析】www.s peiyou. coma2b2 = -2由题意知：nn.7t .7ta sin b cos=I 33二 f (x) =3sin x - cosx - -2sin ! x 亠2= 一 3b =17t

17、I 6丿小.i 717t ；.i 7t-2sinx2sinx2 6 丿23_X-2cos x.(201 天津理 17)已知函数 f x = 2 3sin xcosx 2cos2x_1 x R求函数f(x)的最小正周期及在区间,上的最大值和最小值；IL 26 n n右f x, x 4,-由 f (x) =2 . 3sin xcosx 亠2cos2 x1，得-H-2，求C0S2x的值.f(x)二 弋：3 (2sin xcosx)+(2cos2 x -1 )=s/3sin 2x + cos2x =2sin | 2x +所以函数f (x)的最小正周期为n因为f(x) =2sin 2x - n在区间I

18、6丿2fn0，上为增函数，在区间；，；上为减函数，又所以函数f(x)在区间 ,n上的最大值为2,最小值为-1IL 2.fn)由可知 f x =2sin 2x - n ,I6丿6f又因为f x ，所以sin 2x - n5、365，由 x n,n ,得 2x -8 7nH-42-2x n2x 6所以 cos2x 二 cos 2x0 n二 cosl2x0 -L 66.67t 7t从而cos6_3 6=1 _sin2 2x n = -4 ,YI 6丿 5fn:cos sin 2x63 4 J 3sin6 6 10(2012 北京理 15)已知函数 f x 二 sinxcosxsin2x sin x求

19、f x的定义域及最小正周期;求f x的单调递增区间.由sin x严得x严k n k Z ,故f x的定义域为fx 二R x = kn, k 二Z二因为(sin x -cosx pin 2xf x2cos x sinx cosxv fsin x所以函数=2 sin 12x - nI 4丿f x的最小正周期T = 3 = n=sin 2x -cos2x -1-1 x n, k 三 Zy =sin x的单调递增区间为nn知一y2kn+0 Z),nnn由 2kn 2x 2kn , x k n k Z ,242n3 n”得 k n x k n ,x = k n k ：= Z ,88所以f x的单调递增区

20、间为 kn-上，kn83 n和 1 kn，kn8k .二 Z教师备案 该模块不是高考要求， 个别公立学校会讲， 我们安排在这里供目标班选讲，学生版不出现.积化和差公式的引入16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学 的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言德国数 学家约翰 维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即1 _sin -sincos ：- -cos ：-,1 一cos.icoscos很亠卩亠cosi： I i .这大大简化了三角函数连乘的计算.比如，计算sin67 34 sin9 3，可以从三角函数表查出sin 67

21、 34 = 0.92432418，sin 9 3二0.15729632 但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错.（请你不用计算器，手算一下0.92432418 0.15729632 =?，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式：sin 67 它4 sin 9 3 - $（67它49它）cos（67 它4乜 它）_ cos（583） cos（7637 ）_ 2 - 2 ，计算就大大简便了 ，只需要查三角函数表得到这两个的值，做个减法就得到答案. 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或减乘以常数的形 式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果.

22、www.s peiyou. com知识点睛1 _1. 积化和差公式：COS1COSCOS：亠卩厂COS|；-sin : sin - - -；|cos :- -cosi；-1 _sin : cos sin 以亠卩亠sin :- cos: sin ：=丄！.2 -x+ycosxy22x y . sinx -y22x yx ysinx - sin y =2coscos2 2教师备案 积化和差公式的证明可以直接将右边展开得到左边.cos x cos y2.和差化积公式：sinxsin y =2sincosx-cosy=-2sinUsinx-y2教师备案 和差化积公式推导，可以将左边的x与y分别写成x=

23、T宁r冗，再展开合并即得到右边的式子. 讲完这些公式就可以让学生做铺垫, 然后，老师再给学生讲例题.简单练习一下，可以帮助大家熟悉公式的形式.经典精讲【解析】【铺垫】计算： COS105 -COS15 : sin75 sin15 . 一上2【例题】计算:cos210cos2 50 sin 40 sin80 .已知:-+ P =3 n,求 cos2 a +cos2 P +（2 cosct cos P 的值.4设:-1，又M是sin：亠sin :的最大值，m是sin、；- sin朴的最大值，求 Mm已知atan 2 二一，求 sin2（r ： ；） -sin 2二 sin2 :的值.- 3【解析】

24、原式12原式1*U1 cos20 1 cos100cos40cos120+ 2 2 21=-1 1-刁(cos20 coslOO )-cos40 1 33( 2cos60 cos40 cos40 )-2 24二士 宁 2 1cosJ 8()cos2很亠cos2. 2q. 3 n I cos(: - cos . 丁4/ C0S2： 亠C0S2 ： =2C0S： 亠:i C0Sj：21：-上式 =1 cos(、 I) cosC - -) cosC _ ) _3 nfy v2a 11=1 cos cos(: - ) cos(:-4 222 t . -1门11、- sin :： 亠sin ： =sin

25、:：f 亠sin(1 - ?) =2sincos :221sin: si n ： =si n: si n(1 - : ) cos(2: -1)cos1 12sin M21 - cos1m2（以上两式均当且仅当时等号成立）故Mlm.2 14sin 24(1-cos1)4丄(1-cos1) (1cos1)22 ；25-1-32tan= ,. tan (a 卩)=一 ,sin (ot P )234又 t sin2(* 亠 1-3 sin2二 sin 2 ：cos 2：丄亠,j9251 -1 cos 2 ： _ - sin2 :-925丄2 -cosp -cos|2：=- -；=：= sin 10 c

26、oslO：亠sin10 cos50 + =coslO cos50L 2coslO cos501 (cos60 cos40 )【解析】.3;法一:1cos50 cos101 1 1 cos10 (sin 60 -sin 40) cos10sin40 .32 =24cos10先os50 cos10 *cos50 411_1lcos(40 -30 ) sin40、： J3 cos30 cos40315j cos40cos 402 .法二：cos80 2cos40 ：亠 cos80 cos40 ：亠 2cos60 cos20原式=1-sin 40 sin80 sin80sin80_cos40 cos

27、20 _ 2cos30 cos10 _ .3cos10 _ 3 sin80 -.sin80sin80I： 13.3三角函数与二次函数复合考点 4:形女口 y =sin x亠psinx亠q （ y二cos x亠pcosx亠q ）型的函数知识点睛主要研究两类与二次函数相关的函数形式，第一类如下：形如 y =sin2 x +psinx +q （或 y =cos2x + pcosx+q ） 型的函数;教师备案 这类问题通常是用配方法求最值，但要注意三角函数的取值限制，进行分类讨论.【解析】yf psinxE号【推导】求y =sin2x psinx q的最大值和最小值（其中 p、q为常数）. .4q -

28、p2若-1 p 0 J -a 0一1, 01；由sin x =a可以取到知 _1 w a w 1 ;又y =(t a)2 1的最大值一定在端点处取到，而-1 w sin xw 1,故当且仅当_1 _a i T w (1_a)2 1，所给函数在sin x =1处取到最大值.解得a w 0 .综上知a 丨_1, 0 .【备选】已知函数f(x)=sin2x 2cosx ,.若f(x)在区间|n, a上的最大值为1，则a若f(x)在区间一2IL 3n, a上的最小值为1 一一，贝y a的取值范围为4【解析】f (x) =1cos2 x 亠2cosx = -(cosx -1)2 亠 2 ,2y - -(

29、t -1)2在(-:：，1上单调递增；又当t= cosx单调递增，且t w 1 ,3x三n, 0，有f (x)单调递增.;2n时，cosx =0，此时 f (x) =1 ；2由函数f(x)在fn0上单调递增知,a只能等于-；2一2.32_ n3x - 2冗时,3n,n,-IL 33cosx ： -1 时,2121f (x) ;当 x n时，f (x):434时，cosx 1, 1，此时 f (x)7t1f (x)的最小值将小于 -1，不符合题意,4冗,考点5:形如y =psin xcosx q sinx二cosx型的函数知识点睛 形女口 y =psinxcosx q sin x 二cosx 型

30、的函数.www.speiyou.cDm:倉理利ST事吊雇t 2 解决此类问题主要是利用公式sinx二cosx 1二2sin xcosx进行换元.【推导】 求 y =psinxcosx q sinx cosx2，【解析】令t =sin x cosx .二的最大值和最小值（其中 p、q为常数）. 2 1 .2 ，贝V t2 =1 2sin xcosx，从而 sin xcosx2 2p q2p从而y =p七1qt卫t2222 I p与-2的大小关系.P要求这个函数的最值，需要讨论【铺垫】经典精讲函数y =sinxcosx sinx cosx的最大值为多少?【解析】求函数 f(x) =sin x co

31、sx 亠3sin xcosx 的值域. 设 sin x cosx =t，贝U 1 2sin xcosx =t2 ,t2 _1_即 sinxcosx, |t |w . 2 .2 y1 t =丄住 1)2 -1 .2 2当t = 2时，有ymax21 _t贝U t =1 -2sin x cosx，得至U sinxcosx =1 -t23 2 3312 ,5f (x) =sin x -cosx 亠3sin xcosx =t 亠3t2ttI一+_2222332t =sinx -cosx = 2令 t =sinx -cosx，2sin x - , t -.2,2.415当 t 时，有 f(X)max ：

32、33 f (x)的值域为 -3 - 2 IL 2当 t - - 2 时，有 f (x)mimin【例9】齐已知x. o, n，求函数y =sin x cosx 2sin xcosx 1的最大值和最小值，并求出此时x的值.【解析】令 sin x cosx =t, 2sin xcosx =t2 T , 代入得 y 二t t21 =t2 t = t 丄I 2丿t訂，逅www.s peiyou. com于是当t =1时，有ymin =2，此时sin ! x - n 2 ,I 4丿2/ , .4，解得x=0或上;2当t = .2时,有 ymax =2 2，此时 sin !x -18【备选】若于n，则函数

33、y =cos r n - sin2r的最小值是(D .上2124-c. 98【解析】D ；y 2 cos v - sin v2sin vcos v，令 t =cos j - sin v，贝2sin vcos v -1 t2 ,代入得：y7t近 2(应)= t+1-t=- t2I 4丿 t =2cos 二 n - , -6I 4丿2263 -14 一 29+87t12 12于是当t -时，有ymin2 12 2 2华山论剑2 2亠sin x - cos x .n厂3丿 求函数f x的最小正周期及图象的对称轴方程； 设函数gx = fxj亠fx，求g x的值域.f x =cos2x3 sin 2x

34、 sin2 x - cos2 x2 2(2010宣武一模理15)已知函数f x二cos2x-二【解析】1 3ncos2x sin2x-cos2x=sin 2x2 2周期T = n,2由 2x -n = kn k Z ,6 2函数图象的对称轴方程为kn , n i得xk Z23kn丄冗八-_xx(k Z).23- 彳fg xx ：l f x =sin2 :当 sin 2x nI 6丿i(2n(2讣订I 6丿I -时，g x取得最小值-1 ；当sin 12xn2462x n2x 6624 -=1时，g x取得最大值2.所以g x的值域为-；，2 .www.speiyoki.cciTi实战演练【演练

35、1】已知，：均为锐角，且tan :-3 .1=一,tan ：=，贝卩二讦：=4 73 111一3 147，又 0 ya n, 0 P2:二故 o ：-：冗，从而:-=-. 22【演练2】已知,tan_n =1 ，贝U tan + ：144.4【解析】22- n，二 tan ：亠nI 4.丿42 1 22 1 225 41 - 311cos2x sin2xcos2x2 2 2 2【演练3】设函数f x = cos 2x -Jsin2 x .求函数f x的最大值和最小正周期.【解析】f x =cos2xcos - sin 2xs in n 1_C0Sx1sin2x2 2所以当2x七2kn,nxkn

36、 k Z时，f (x)取得最大值，4f (x)最13:大值2 nf(x)的最小正周期T = n,2故函数f(x)的最大值为，最小正周期为n.213【演练4】(2010崇文二模理15)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角:, 它们的终边分别与单位圆交于A , B两点.已知A , B的横坐标分别为 .510求tan亠L八|的值；求2*亠；1的值.【解析】由已知得：cos 5 ,cos ：=乙2 .510/ :-,：为锐角-www.s pejyou. com.tan(jU?匚旦_1 -tana tan P12 乙=3 .12 17 tan2：.二 2tan；1 -tan a431