定积分应用题附答案

1、定积分的应用复习题一 填空：1 曲线y = In x, y = In a, y = In b （0 ：日b）及y轴所围成的平面图形的 面积Inb y为 A = eydy=b-aJlna J2曲线y二X?和y = J C所围成的平面图形的面积是一1二计算题：1 .求由抛物线y2 = 2x与直线2x + y解：-2 = 0所围成的图形的面积（1）确定积分变量为y,解方程组；y ,，2X得为伍x2_2 ly = -2x + 2丨小2=_21 一即抛物线与直线的交点为（，1）和（2,2）.故所求图形在直线y=1和2y = 之间，即积分区间为2, 1 o（2）在区间2, 1上，任取一小区间为y,y +

2、dy，对应的窄条面积11 2近似于高为（1 - y）一y2,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素22dA = （l y卜y2 dy2 24,-右 31 =46-2 =(3) 所求图形面积A二打(1 丄y) -ly2dy = y -222求抛物线y = x2 + 4x3及其在点（0,3）和（3, 0）处的切线所围成的图形 的面积。解：由 y = x? + 4x3 得 y = -2x 4, y（0） = 4, y* （3） = -2。抛物线在点（0,3）处的切线方程为y = 4x3;在点（3, 0）处的切线方程为3y =2x + 6 ;两切线的交点坐标为,3 ) o定积分的应用复习题2故面积A =

3、冰一 3)n 4x 3)dx孙 2x 6) 用 4x 3)dx,024的一拱(0乞t乞2二)，5.计算由摆线x = a直线y = 0所围成的图形芬亦纯X轴、丫轴旋转而成的旋转祥的体积。2 一2 * 2 2Jl y (x)dx = ro a (1 - cost) a(1-cost)dt(t sint) , y = a ( 1 cost)解：Vx3求由摆线 x = a (t sint) ,y = a( 1-cost)的一拱(0 乞t 乞 2 二)横轴所围成的图形的面积2na解：A y(x)dxa(1 - cost) a(1 - cost)dt0二a22 (1 - 2costAAdt 3 a224.

4、求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos八及r ：I 0 r = 3cos兀3解:两曲线的交点由日，解得r32一 -17l故A = 2|(3 (1+ cosA)2dT + J： (3cosA )2d日I 23(1 2cos _+2+ 9 j?(1 + cos2o )d J23-32a3 (1 - 3cost 3cos21 - cos3t)dt = 5 2a3Vy2篦o x*)dy o2a 2二 x(y)dy屯 222 22/(Sint) asintdt_a (t-sint) asln32 2ra o (t-sint) sintdt 七6求由x2 + y 2 = 2和y =

5、x ?所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积22解：(1取积分变量为x,为求积分区间，解方程组： x2 y2 = 2得圆与抛物线的两个交点为所以积分区间为卜1, 1(2)在区间卜1,1任取一小区间x,x+dx,与它对应的薄片体积近似于(2-x 2)二x4dx,从而得到体积元素2424dV = -： ( 2 x ) x dx =二(2 - x - x) dx.144故 Vx 二二1 (2 - x 2- x 4) dx =157求圆盘(x-2) 2 y2乞1绕丫轴旋转而成的旋转体的体积解 设旋转体积为V,贝 U V = 2*2 二：x 1 - (x - 2) 2dx 令x_2 二 sint 贝

6、V匹V=4 二 2 (2 sin t)cos21 dt-2=4 兀 J； (1 + cos2t)dt + f 算 sintcos2tdt I飞w丿(t jsi n2圳248设有抛物线C： y = a -bx2 ( a 0 , b 0 )，试确定常数a , b的值，使得C与 直线y二x+ 1相切，且C与X轴所围图形绕丫轴旋转所得旋转体的体积达到最大。 解：设切点坐标为(x,y )，由于抛物线与y = x + 1相切，故有K =2bx= 12b121解得a2b 丿 2b4b4(1-a)2 j a a - v . : a2 c 9/-lV (a) = x dv =- ou dy = 二 a (1-

7、a) d2b 0),求:V(a)二 2 a(2 -3a) = 0 得9.设星形线方程为丿(1) 由星形线所围图形的面积(2) 星形线的长度 解：(1)由对称性得aA = 4。y(x)dx 二 4 : asirt 3acos21 (-sint)dt=12a2 2sin41cos2tdtLo31_(2)L = 4 02 x，2(t) y，2(t) dt31=4 FJ(-3acos2tsint)2 +(3asin2tcost)2 dt_12a g2sintcostdt=6atCOSA c10计算曲线xdA , y1 B 1 H最近点的弧长。dv sint解：鱼二申ttantdx dx costdt

8、ttsinA i小自原点到与具有铅直的切线曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为t,原点对应的2参数t = 1n2+ y* (t) dt3,，2311 设Si为曲线y = x、直线y = t （t为参数）及丫轴所围图形的面积；S2为曲线y = x2直线y二疋及x = 1所围图形的面积。问t为何值时，S = S1+S2取得最大值、最 小值。t1解：S(t) = j (t2 - x2)dx 飞(x2 -t2)dx1 1 2V4, s(i令 S(t) =4t2 _2t = 0 ,解得 ti=o ,t2于是S(0)=-3故 Smax=S(1)= 3金滲A】三证明题:1证明：曲线y = sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+ y2 = 2的周长。证明：y = sinx的一个周期的弧长ji ji Li = 4 2 1 y，2 dx = 4 2 1 cos2 x dx、。丿Lo2椭圆 2x2+ y2 = 2： X2十