matlaB程序的有限元法解泊松方程

1、基于matlaB编程的有限元法一、待求问题：泛定方程：边界条件：以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域边界上2、 编程思路及方法1、 给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标画出以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域figure1由于积分区域规则，故采用特殊剖分单元，将区域沿水平竖直方向分等份，此时所有单元都是等腰直角三角形，剖分单元个数由自己输入，但竖直方向份数（用Jmax表示）必须是水平方向份数（Imax）的两倍，所以用户只需输入水平方向的份数Imax。采用上述剖分方法，节点位置也比较规则。然后利用循环从区域内部（非边界）的节点开始编号，格式为NN(i,j

2、)=n1，i，j分别表示节点所在列数与行数，并将节点坐标存入相应矩阵X(n1)，Y(n1)。由于区域上下两部分形状不同因此，分两个循环分别编号赋值，然后再对边界节点编号赋值。然后再每个单元的节点进行局部编号，由于求解区域和剖分单元的特殊性，分别对内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上，下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下，右顶点的左下、左上，右上边界的左上，分别编号以保证覆盖整个区域。2、 求解泊松方程首先一次获得每个单元节点的整体编号，然后根据其坐标求出每个三角形单元的面积。利用有限元方法的原理，分别求出系数矩阵和右端项，并且由于边界条件特殊，边界上，因此做积分时只需对

3、场域单元积分而不必对边界单元积分。求的两个矩阵后很容易得到节点电位向量，即泊松方程的解。3、 画解函数的平面图和曲面图由节点单位向量得到，j行i列节点的电位，然后调用绘图函数imagesc(NNV)与surf(X1,Y1,NNV)分别得到解函数的平面图figure2和曲面图figure3。4、 将结果输出为文本文件输出节点编号，坐标，电位值3、 计算结果1、积分区域：2、f=1，x方向75份，y方向150份时，解函数平面图和曲面图对比：当f=1时，界函数平面图3、输出文本文件由于节点多较大，列在本文最末四、结果简析由于三角形区域分布的是正电荷，因此必定电位最高点在区域中部，且沿x轴对称，三角形

4、边界电位最低等于零。当f=1时，发现电位最高点向x轴负方向移动了，这是由于此时电荷在三角形区域上均匀分布，而f=x时，x越大面电荷密度越大，附近相应电位越高，所得图像与实际情况相符。五、MatlaB源程序1、Finite_element_tri.m文件function Finite_element_tri(Imax)% 用有限元法求解三角形形区域上的Possion方程,其中a为1，f=xJmax=2*Imax;% 其中Imax Jmax分别表示x轴和y轴方向的网格数，其中Jmax等于Imax的两倍% 定义一些全局变量global ndm nel na % ndm 总节点数% nel 基元数%

5、na 表示活动节点数V=0; J=0;X0=1/Imax;Y0=X0;%V=0为边界条件domain_tri % 调用函数画求解区域X,Y,NN,NE=setelm_tri(Imax,Jmax); % 给节点和三角形元素编号，并设定节点坐标% 以下求解有限元方程的求系数矩阵T=zeros(ndm,ndm);for n=1:nel n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n);%整体编号 s=abs(X(n2)-X(n1)*(Y(n3)-Y(n1)-(X(n3)-X(n1)*(Y(n2)-Y(n1)/2;%三角形面积 for k=1:3 if n1=na|n2=na T(

6、n1,n2)=T(n1,n2)+(Y(n2)-Y(n3)*(Y(n3)-Y(n1)+(X(n3)-X(n2)*(X(n1)-X(n3)/(4*s); T(n2,n1)=T(n1,n2); T(n1,n1)=T(n1,n1)+(Y(n2)-Y(n3)2+(X(n3)-X(n2)2)/(4*s);%V=0则边界积分为零，非零时积分编程类似，再加边界积分。 end k=n1;n1=n2;n2=n3;n3=k; % 轮换坐标将值赋入3阶主子矩阵中 endendM=T(1:na,1:na);% 求有限元方程的右端项f=X;%场源函数G=zeros(na,1);for n=1:nel n1=NE(1,n)

7、; n2=NE(2,n); n3=NE(3,n); s=abs(X(n2)-X(n1)*(Y(n3)-Y(n1)-(X(n3)-X(n1)*(Y(n2)-Y(n1)/2; for k=1:3 if n1=na G(n1)=G(n1)+(2*f(n1)+f(n2)+f(n3)*s/12;%f在单元上为线性差值时场域单元的积分公式 end n4=n1; n1=n2; n2=n3; n3=n4; % 轮换坐标标 endendF=MG; % 求解方程得结果NNV=zeros(Imax+1,Jmax+1);fi=zeros(ndm,1);fi(1:na)=F(1:na);fi(na+1:ndm)=V;f

8、or j=0:Jmax for i=0:Imax n=NN(i+1,j+1); if n=0 n=na+1; end NNV(i+1,j+1)=fi(n); endendfigure(2)imagesc(NNV);%画解函数的平面图X1=zeros(1,Imax+1);Y1=zeros(1,Jmax+1);for i=1:Imax+1 X1(i)=(i-1)*X0;endfor i=1:Jmax+1 Y1(i)=(i-1)*Y0;endfigure(3)surf(X1,Y1,NNV);% 画解函数的曲面图% 以下是结果的输出fid=fopen(Finite_element_tri.txt,w)

9、;fprintf(fid,n *有限元法求解三角形区域上Possion方程的结果* n n);L=1:ndm;fprintf(fid,nn 节点编号 坐标分量x 坐标分量y u（x,y）的值nn);for i=1:ndm fprintf(fid,%8d%14.5f%14.5f%14.5fn,L(i),X(i),Y(i),fi(i);endfclose(fid);End2、domain_tri.m文件function domain_tri% 画求解区域xy=0 1;0 -1;1 0;A=zeros(3,3);A(1,1)=2; A(1,2)=-1;A(1,3)=-1;A(2,2)=2; A(2,

10、1)=-1;A(2,3)=-1;A(3,3)=2; A(3,2)=-1;A(3,1)=-1;A=sparse(A);figure(1);gplot(A,xy);3、setelm_tri.m文件function X,Y,NN,NE=setelm_tri(Imax,Jmax) % 给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标 % 定义一些全局变量global ndm nel na% I1 I2 J1 J2 Imax Jmax分别描述网线纵向和横向数目的变量% X Y表示节点坐标% NN描述节点编号% NE 描述各单元局部节点编号与总体编号对应的矩阵% ndm 总节点数% nel 单元数% na 表示不含

11、边界的节点数nlm=Imax*Jmax;dx=1/Imax;dy=1/Jmax;X=nlm:1;Y=nlm:1;NN=zeros(Imax+1,Jmax+1);n1=0; for j=3:Jmax/2 for i=2:j-1 n1=n1+1; NN(i,j)=n1; %X=i列，Y=j行处节点 X(n1)=(i-1)*dx; Y(n1)=-1+(j-1)*dy; endendk=Jmax/2+1;for j=Jmax/2+1:Jmax-1 %三角形区域上下两部分节点坐标分别求 k=k-1; for i=2:k n1=n1+1; NN(i,j)=n1; X(n1)=(i-1)*dx; Y(n1)

12、=1+(j-Jmax-1)*dy; endendna=n1;%不含边界节点数for j=Jmax+1:-1:Jmax/2+1 %降序 n1=n1+1; NN(1,j)=n1; X(n1)=0; Y(n1)=1+(j-Jmax-1)*dy;endfor j=Jmax/2:-1:1 n1=n1+1; NN(1,j)=n1; X(n1)=0; Y(n1)=-1+(j-1)*dy;end %for i=2:Imax+1 n1=n1+1; NN(i,i)=n1; X(n1)=(i-1)*dx; Y(n1)=-1+(i-1)*dy;endK=0;for i=Imax:-1:2 K=K+2; n1=n1+1

13、; NN(i,i+K)=n1; X(n1)=(i-1)*dx; Y(n1)=1+(i+K-Jmax-1)*dy;end% 以上四个循环为对边界节点进行编号ndm=n1; NE=zeros(3,2*ndm); n1=0;for j=3:Jmax/2 for i=2:j-1 n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,j); NE(2,n1)=NN(i-1,j+1); NE(3,n1)=NN(i-1,j); n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,j); NE(2,n1)=NN(i,j+1); NE(3,n1)=NN(i-1,j+1); endendk=Jmax/2+1;for j=Jma

14、x/2+1:Jmax-1 k=k-1; for i=2:k n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,j); NE(2,n1)=NN(i-1,j+1); NE(3,n1)=NN(i-1,j); n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,j); NE(2,n1)=NN(i,j+1); NE(3,n1)=NN(i-1,j+1); endend %内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上for i=2:Imax n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,i); NE(2,n1)=NN(i-1,i); NE(3,n1)=NN(i-1,i-1); n1=n1+1; NE(1,n1

15、)=NN(i,i); NE(2,n1)=NN(i-1,i+1); NE(3,n1)=NN(i-1,i); n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,i); NE(2,n1)=NN(i,i+1); NE(3,n1)=NN(i-1,i+1);end %下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(Imax+1,Imax+1);NE(2,n1)=NN(Imax,Imax+1);NE(3,n1)=NN(Imax,Imax);%右顶点的左下n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(Imax+1,Imax+1);NE(2,n1)=NN(Imax,Imax+2);NE

16、(3,n1)=NN(Imax,Imax+1);%右顶点的左上K=0;for i=Imax:-1:2 K=K+2; n1=n1+1; NE(1,n1)=NN(i,i+K); NE(2,n1)=NN(i-1,i+K+1); NE(3,n1)=NN(i-1,i+K);end %右上边界的左上nel=n1;%此时n1值为总的单元个数六、输出文本文件 *有限元法求解三角形区域上Possion方程的结果* 节点编号 坐标分量x 坐标分量y u（x,y）的值 1 0.01333 -0.98667 0.00000 2 0.01333 -0.98000 0.00001 3 0.02667 -0.98000 0.

17、00001 4 0.01333 -0.97333 0.00002 5 0.02667 -0.97333 0.00003 6 0.04000 -0.97333 0.00002 7 0.01333 -0.96667 0.00002 8 0.02667 -0.96667 0.00004 9 0.04000 -0.96667 0.00005 10 0.05333 -0.96667 0.00003 11 0.01333 -0.96000 0.00003 12 0.02667 -0.96000 0.00006 13 0.04000 -0.96000 0.00007 14 0.05333 -0.96000

18、0.00007 15 0.06667 -0.96000 0.00005 16 0.01333 -0.95333 0.00004 17 0.02667 -0.95333 0.00008 18 0.04000 -0.95333 0.00010 19 0.05333 -0.95333 0.00011 20 0.06667 -0.95333 0.00010 21 0.08000 -0.95333 0.00007 22 0.01333 -0.94667 0.00005 23 0.02667 -0.94667 0.00010 24 0.04000 -0.94667 0.00014 25 0.05333 -

19、0.94667 0.00016 26 0.06667 -0.94667 0.00016 27 0.08000 -0.94667 0.00013 28 0.09333 -0.94667 0.00008 29 0.01333 -0.94000 0.00006 30 0.02667 -0.94000 0.00012 31 0.04000 -0.94000 0.00017 32 0.05333 -0.94000 0.00020 33 0.06667 -0.94000 0.00022 34 0.08000 -0.94000 0.00021 35 0.09333 -0.94000 0.00017 36 0

20、.10667 -0.94000 0.00010 37 0.01333 -0.93333 0.00007 38 0.02667 -0.93333 0.00015 39 0.04000 -0.93333 0.00021 40 0.05333 -0.93333 0.00025 41 0.06667 -0.93333 0.00028 42 0.08000 -0.93333 0.00028 43 0.09333 -0.93333 0.00026 44 0.10667 -0.93333 0.00021 45 0.12000 -0.93333 0.00012 46 0.01333 -0.92667 0.00

21、009 47 0.02667 -0.92667 0.00017 48 0.04000 -0.92667 0.00024 49 0.05333 -0.92667 0.00030 50 0.06667 -0.92667 0.00034 51 0.08000 -0.92667 0.00036 52 0.09333 -0.92667 0.00036 53 0.10667 -0.92667 0.00032 54 0.12000 -0.92667 0.00025 55 0.13333 -0.92667 0.00015 56 0.01333 -0.92000 0.00010 57 0.02667 -0.92

22、000 0.00020 58 0.04000 -0.92000 0.00028 59 0.05333 -0.92000 0.00036 60 0.06667 -0.92000 0.00041 61 0.08000 -0.92000 0.00045 62 0.09333 -0.92000 0.00046 63 0.10667 -0.92000 0.00044 64 0.12000 -0.92000 0.00038 65 0.13333 -0.92000 0.00030 66 0.14667 -0.92000 0.00017 67 0.01333 -0.91333 0.00011 68 0.026

23、67 -0.91333 0.00022 69 0.04000 -0.91333 0.00032 70 0.05333 -0.91333 0.00041 71 0.06667 -0.91333 0.00048 72 0.08000 -0.91333 0.00053 73 0.09333 -0.91333 0.00056 74 0.10667 -0.91333 0.00056 75 0.12000 -0.91333 0.00052 76 0.13333 -0.91333 0.00045 77 0.14667 -0.91333 0.00034 78 0.16000 -0.91333 0.00019

24、79 0.01333 -0.90667 0.00013 80 0.02667 -0.90667 0.00025 81 0.04000 -0.90667 0.00037 82 0.05333 -0.90667 0.00047 83 0.06667 -0.90667 0.00055 84 0.08000 -0.90667 0.00062 85 0.09333 -0.90667 0.00066 86 0.10667 -0.90667 0.00068 87 0.12000 -0.90667 0.00066 88 0.13333 -0.90667 0.00061 89 0.14667 -0.90667

25、0.00052 90 0.16000 -0.90667 0.00039 91 0.17333 -0.90667 0.00022 92 0.01333 -0.90000 0.00014 93 0.02667 -0.90000 0.00028 94 0.04000 -0.90000 0.00041 95 0.05333 -0.90000 0.00053 96 0.06667 -0.90000 0.00063 97 0.08000 -0.90000 0.00071 98 0.09333 -0.90000 0.00077 99 0.10667 -0.90000 0.00080 100 0.12000

26、-0.90000 0.00080 101 0.13333 -0.90000 0.00077 102 0.14667 -0.90000 0.00070 103 0.16000 -0.90000 0.00059 104 0.17333 -0.90000 0.00044 105 0.18667 -0.90000 0.00024 106 0.01333 -0.89333 0.00016 107 0.02667 -0.89333 0.00031 108 0.04000 -0.89333 0.00045 109 0.05333 -0.89333 0.00059 110 0.06667 -0.89333 0

27、.00071 111 0.08000 -0.89333 0.00080 112 0.09333 -0.89333 0.00088 113 0.10667 -0.89333 0.00093 114 0.12000 -0.89333 0.00095 115 0.13333 -0.89333 0.00093 116 0.14667 -0.89333 0.00089 117 0.16000 -0.89333 0.00080 118 0.17333 -0.89333 0.00067 119 0.18667 -0.89333 0.00049 120 0.20000 -0.89333 0.00027 121

28、 0.01333 -0.88667 0.00017 122 0.02667 -0.88667 0.00034 123 0.04000 -0.88667 0.00050 124 0.05333 -0.88667 0.00065 125 0.06667 -0.88667 0.00078 126 0.08000 -0.88667 0.00090 127 0.09333 -0.88667 0.00099 128 0.10667 -0.88667 0.00106 129 0.12000 -0.88667 0.00110 130 0.13333 -0.88667 0.00110 131 0.14667 -

29、0.88667 0.00107 132 0.16000 -0.88667 0.00101 133 0.17333 -0.88667 0.00090 134 0.18667 -0.88667 0.00074 135 0.20000 -0.88667 0.00055 136 0.21333 -0.88667 0.00030 137 0.01333 -0.88000 0.00019 138 0.02667 -0.88000 0.00037 139 0.04000 -0.88000 0.00055 140 0.05333 -0.88000 0.00071 141 0.06667 -0.88000 0.

30、00086 142 0.08000 -0.88000 0.00100 143 0.09333 -0.88000 0.00111 144 0.10667 -0.88000 0.00119 145 0.12000 -0.88000 0.00125 146 0.13333 -0.88000 0.00127 147 0.14667 -0.88000 0.00126 148 0.16000 -0.88000 0.00122 149 0.17333 -0.88000 0.00113 150 0.18667 -0.88000 0.00100 151 0.20000 -0.88000 0.00082 152

31、0.21333 -0.88000 0.00060 153 0.22667 -0.88000 0.00033 154 0.01333 -0.87333 0.00020 155 0.02667 -0.87333 0.00040 156 0.04000 -0.87333 0.00060 157 0.05333 -0.87333 0.00078 158 0.06667 -0.87333 0.00095 159 0.08000 -0.87333 0.00109 160 0.09333 -0.87333 0.00122 161 0.10667 -0.87333 0.00133 162 0.12000 -0

32、.87333 0.00140 163 0.13333 -0.87333 0.00145 164 0.14667 -0.87333 0.00146 165 0.16000 -0.87333 0.00143 166 0.17333 -0.87333 0.00137 167 0.18667 -0.87333 0.00126 168 0.20000 -0.87333 0.00111 169 0.21333 -0.87333 0.00091 170 0.22667 -0.87333 0.00066 171 0.24000 -0.87333 0.00036 172 0.01333 -0.86667 0.0

33、0022 173 0.02667 -0.86667 0.00044 174 0.04000 -0.86667 0.00065 175 0.05333 -0.86667 0.00084 176 0.06667 -0.86667 0.00103 177 0.08000 -0.86667 0.00120 178 0.09333 -0.86667 0.00134 179 0.10667 -0.86667 0.00146 180 0.12000 -0.86667 0.00156 181 0.13333 -0.86667 0.00162 182 0.14667 -0.86667 0.00165 183 0

34、.16000 -0.86667 0.00165 184 0.17333 -0.86667 0.00161 185 0.18667 -0.86667 0.00152 186 0.20000 -0.86667 0.00139 187 0.21333 -0.86667 0.00122 188 0.22667 -0.86667 0.00099 189 0.24000 -0.86667 0.00071 190 0.25333 -0.86667 0.00038 191 0.01333 -0.86000 0.00024 192 0.02667 -0.86000 0.00047 193 0.04000 -0.

35、86000 0.00070 194 0.05333 -0.86000 0.00091 195 0.06667 -0.86000 0.00111 196 0.08000 -0.86000 0.00130 197 0.09333 -0.86000 0.00146 198 0.10667 -0.86000 0.00160 199 0.12000 -0.86000 0.00172 200 0.13333 -0.86000 0.00180 201 0.14667 -0.86000 0.00185 202 0.16000 -0.86000 0.00187 203 0.17333 -0.86000 0.00

36、185 204 0.18667 -0.86000 0.00179 205 0.20000 -0.86000 0.00168 206 0.21333 -0.86000 0.00153 207 0.22667 -0.86000 0.00133 208 0.24000 -0.86000 0.00108 209 0.25333 -0.86000 0.00077 210 0.26667 -0.86000 0.00041 211 0.01333 -0.85333 0.00025 212 0.02667 -0.85333 0.00050 213 0.04000 -0.85333 0.00075 214 0.

37、05333 -0.85333 0.00098 215 0.06667 -0.85333 0.00120 216 0.08000 -0.85333 0.00140 217 0.09333 -0.85333 0.00158 218 0.10667 -0.85333 0.00174 219 0.12000 -0.85333 0.00188 220 0.13333 -0.85333 0.00198 221 0.14667 -0.85333 0.00205 222 0.16000 -0.85333 0.00209 223 0.17333 -0.85333 0.00209 224 0.18667 -0.85333 0.00205 225 0.20000 -0.85333 0.00197 226 0.21333 -0.85333 0.00184 227 0.22667 -0.85333 0.