第01章简单振子的振动.

1、第一章简单振子的振动莫尔斯：整个声学可以说就是振动学 集中参数系统，质点，尺度和波长比简单振子，小振幅，线性理论简单振子是研究复杂系统的基础2018/9/21理论声学(1)第一章7自由振动JA0h X质量加弹性系数K: f = -Kx位移兀从平衡位置算起顺性系数，力顺：.dxX dt惯性和弹性振动方程mx /(x)mx = -Kxx + ax = 0m线性常系数齐次常微分方程 圆频率(角频率)定解问题运动方程无+亦兀=0初始条件兀(0)=兀0x(0) = v0线性X01V01=坷（0X02V02=x2（0i + 卩Xg 处01+0% OCXy （丫） + 0兀2 0x + cx-Qx(0) =

2、 x0 x(0) = v0 x(0) = &jv(O)= 一亦%oin7/1-2a x 2 a x /?/id2nxx沪T72=0(2n)+Voj(-irwn=0g)q(2m +1)!v0% = x0 cosa)0t + sin a)Gt通解x = Acos0r + B sincos(p)Qt + 0)两个任意常数简谐振动，位移振幅(常数)，兀，初相位0振速v-x-Ao sin co + Bco cos co71=-xacoQ sin（x0Z + 0） = vcl cos（ coQt + 0 ）振速振幅固有频率初始条件、兀匕=5益初相位0 + 丁t = 0兀二 Xqv VqA = X B =

3、凡二 Z + B? 02#得到特解，两个初始条件vox = Jr。cosa)Qt + sin 如。02018/9/21理论声学(1)第一章11能量动能尹XJ Kxdxo势能，状态的能量，状态的函数，位移的函数总能量 ”记sin2( + 0) +1心曲(砒+炉)二如记=心理L20 胡 2、弹簧质量的影响弹簧的长度/弹簧的动能:= mv262018/9/21理论声学(1)第一章19总的能量1m +2l1v2+-Kx2=E 丿2三分之一弹簧质量计入总质量对时间求导得到Ifm +2l加、mytJvv + Kxx 03 丿 dt2d2 x+ Kx = O弹簧的串联1 _ 1 1弹簧的并联K = K +

4、笛例：摆mlO mgsin0 = 0小角度 l0-g3 = O2018/9/21理论声学(1)第一章23惯性弹性G船舶横摇重心是G,浮心F相距/向右倾斜0 F右移 ，d = kO浮力力矩FJdmg (d 矽)=mg 彳/ + g (上 _ /) 0 = 0 I振动问题的复数解广泛用于电工分析等领域的简谐波问题 cos69? = Reexp（-伽） exp（- icot - cosm - i sin cotx = X exp （沏 T）兀二 ReX exp （-沏）=ReX cos 创 + Im X sin 创x = X expx icoX exp (-to)- 1xdt =X exp (-沏)

5、-ico 2(q?应)X = 00 = Q exp(-)是微分算子和积分算子的特征 函数，本征函数eigenfunction 胚 =兄兀阻尼运动衰减阻尼力粘滞摩擦辐射阻力 u -R，阻力系数，力阻 Rm运动方程加=-R,x + 2/x = 0衰减因子Rmy = 2m2018/9/21理论声学(1)第一章69v0X =兀0 +2i_exp(2)X 0.5/*0241121* o486 fv = v0 exp(-/0 0.521oX8巧=新X exp (4*)20421od8W -jv - Rmv2 = 2m/Vg exp(-4)阻尼振动方程mx + Rx + Kx = 0mx + 2丫丘 + c

6、DqX 0mrRnt trJKCUnoLoX通解x = X exp(-z0)-m/32 - iRm/3 + K = 0 特征方程0 = 砒-iy 闵=7o复频率|0| = x = X exp(-/?) exp(土闽 t)ji = | X | exp(-/r) cos(& F + 0)x = exp(-/z)x0 cos(此 z) + V +- sin( r)必2Xo振幅以负指数衰减 exp(-X)1幅度衰减到经过时间- = 0.37e2m 1 T =R ym /衰减模量力学品质因素exp( -%) = exp 一eojn JmK_ RTymm0 m 0/、7C tK 712f0有隔振效果 共振

7、频率时振动扩大 消声室ieZmFo主动隔振+Ajc = Fexp（-z）F exp （一沏） F exp （-伽）* = 2 mo icoR + Km2018/9/21理论声学(1)第一章-icoR + KmFn =一 加渝 +kp（-沏）和隔振公式雷同53拾振振动测量，固导传声器振动测量，固导传声器mx + Rmx + Kx = mxl_X、X =5:_mco _ ico R + Km与加速度成正比2018/9/21理论声学(1)第一章79通解和特解血 + R点 + Kx = /(ox(o) = x0 x(o) = v0不考虑初始条件，得到一个解加1+样1 +心1=/C)再求解nvc2 +

8、Rmx2 + Kx2 = 0Xj（0）%）（0）%2（0）= %0-%!（0）丘2（） = %-X（）X = x1 + x2稳态力源 特解，力的作用，满足初始条件稳态解+通解：对应齐次方程的通解(包括任意常数，瞬态解)冲激脉冲力作用的受迫振动冲激脉冲，冲激相应5 =000fl0g5OESot-10S（T-t）dr =00tttt2018/9/2理论声学（1）第章8300打夕（3心-广（厂）-oo冲華定律原本静止,/ = o受脉冲/（/）=厲（/）8冲量 fdt = m初速度1产生位移是格林函数X = V00tVtVexp厂(/一广)sin e； (t_t) g(M) = %0格林函数是冲激响应

9、，满足方程磁（匚广）+心g（匚厂）+憨（匚厂）二加厂）时间平移不变系统,因果性不考虑衰减sin 血（一厂）go（f，厂）=50t/Z)exp(- icoRt)冲击响应方法加?（7 厂）= g（r 广）co-co1 &xo - /（广）g（f广）力（o = g（0/（0otm频域和时域方法f exp (-*) sin (就八r 7、丿 exp(问)力=+ liyco-col0000sin (阳)exp(ia)t)dt =-1co2 -O)Q2018/9/21理论声学(1)第一章83exp （-沏/）2疗J00-co2 +2iya c；）do = 10一 exp（”）sin （础 t） got 0co27T J00exp （-畅）-何-亦）dco0sin coQtt 02018/9/21理论声学（1）第一章85简单振子的电路类比电磁振荡、力学振动、声振动共同的规律性 数学方程相同研究方法的借鉴电路图力学系统的正类比1 rmv + Rinv + -jvdt = f(t)m2018/9/21理论声学(1)第一章95-icomV + R V + V = FmicoCFVmJ乙E1LcRZmZm=Rm1 com叫