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文档简介

1、解直角三角形教学目标1. 使学生理解直角三角形的意义;2. 使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形;3. 通过列方程解直角三角形,培养学生运用代数方法解几何问题的能力;4. 培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决 . 教学重点和难点正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点;选择适当的关系式解直角三角 形是难点 .教学过程设计一、直接运用三个关系解直角三角形1. 定义 . 由直角三角形中已知的边和角,计算出未知的边和角的过程,叫做解直角三角形 .2. 解直角三角形依据 .图 6-32 ,直角三角形 ABC的六个元素 (三条边,三个角 ) ,a,b,c 分别为

2、 A, B,C 所对的边,除直角 C外,其余五个元素之间的关系如下:(1)三边之间的关系:a2b2c2( 勾股定理 )(2)锐角之间的关系:A B 90.(3)边角之间的关系:sinA A 的对边a 斜边ccosAA的邻边b 斜边ctanA A 的对边aA的邻边bcotA A 的邻边b A 的对边a这三个关系式中,每个关系式都包含三个元素,知其中两个元素就可以求出第三个元素.(1) 是已知两边求第一边; (2) 是已知一锐角求另一角; (3) 是已知两边求锐角,已知一边一 角求另一边 .这些关系式是解直角三角形的依据,已知其中两个元素(至少有一个是边 ) 就可以求出其余的三个未知元素 .3.

3、例题分析 .例1 ABC中,C为直角,A,B,C所对的边分别为 a,b,c, 且b3,A30, 解这个直角三角形 .分析:未知元素是 B, a,c ; B最容易求, B90 A; 由 tanA a ,可以求 a; ba 由 cosA ,可以求 c;c解: B 90 - A=90 30 60;a因不 tanA ,b所以 a b tanA 3tan30 3 3 3 ;3a因为 cosA ,c问: (1)用cotA 是否可以求出 a?从而说明要优选关系式 .(2) 求 c 边还可以用什么方法 ?( 答:也可以用勾股定理求得 )练习 1 在 ABC中, C 90, c 2, B 30 , 解这个直角三

4、角形 .( 答: A60, a, b1.)例2 在 ABC中, C90,求 A、 B、 c边.分析:此题解法灵活性很强 . 求 c 边可根据 求得,也可先用正 ( 余)切求出A(或 B) ,再用正余弦求得 c 边。利用“在直角三角形中, 如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半” 求 c 边也很方便 .指出:优选关系式是关键,并让学生讨论每种解法在计算中的优劣例3 在ABC中,C90,b35,c45,(cos390.7778),解直角三角形 . 分析:已知元素是 b、 c,未知元素 A、B和 a,题中已给条件 cos39 0.7778 ,很 自然考虑到 cosA b ,因此可将

5、 A求得.( 可让学生讨论找出解题途径 )c4. 从特殊到一般归纳总结:由以上所述,引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型:选用关系式归纳为:已知斜边求直边,正弦余弦很方便;已知直边求直边,正切余切理当然;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要选好;已知锐角求锐角,互余关系要记好;已知直边求斜边,用除还需正余弦, 计算方法要选择,能用乘法不用除 .练习 2 在 ABC中, C90,a、b、c 分别是 A、 B、 C的对边,根据下列条件 解 直角三角形 .练习 3 填空:在直角三角形 ABC中, C90,a、b、c分别为 A、 B、 C的对 边.(1)c 10, B

6、45, 则 a, b, S(2)a 10,S,则 b , A二、将条件化归为运用三个关系式解直角三角形例4 ABC中,C90,a、b、c分别为 A、 B、 C的对边,(1)a 4, , sinA ,求 b,c,tanB ;5(2)a C12, b8,求 a,c,cosB 分析:我们知道,在直角三角形的三条边和两锐角这五个元素中,若已知关于这些元素的两个独立条件, 其中至少有一个条件是边, 则此直角三角形可解 . 但此题中的两小题均未2a给出一边一角或两边的两个独立条件. 但(1) 中,由 sinA 可设 a2t,c 5t,5c又因不 a4,所以 t2,所以 a4,c 10,将条件转化为一直角边

7、, 一斜边的两个独立条件,2 2 2(2) 中利用勾股定理 c2a282,再由已知 ac12, 构成关于 a,c 的二元二次方程组,得到 a,c. 本题是将条件经过转化,归结不四种类型之一,从而得到所求.a2解 (1) :因为 sinA ,所以设 a2t,c 5t,c5因为 a4, 所以 2t 4,t 2,所以 c10, b c2 a2 2 21所以 tanB b a2 21 2142(2)解方程组a c 1222c a 6410 a326 c3a所以 cosBc51310326练习 4 已知在 ABC中, C90,a、b、c 分别为 A、 B、 C的对边,例5 如图 6-33 , ABC中,

8、 C=90, AC 12, A的平分线 AD8 3,求 ABC的面积1分析:根据三角形面积公式 S AC BC,已知 AC12,只需求 BC.但在直角 ABC中,解:在 Rt ABD中,cos DACAC12 3AD8322 除直角外只有一个条件 AC,还要求出另一个边或角 . 观察已知发现, 直角 ABD可解, 然后再 求 BAC.BDBD是 ABC的平分线,且所以 DAC 30因为 AD平分 A,所以 BAC60, 所以 B 30,所以 AB2AC24,练习 5 如图 6-34 , ABC中, C90, ABC60, 2,求 ABC11解:因为 BD 平分 ABC,所以 CBD ABC 2

9、260 30,11Rt DBC中, CD BD 21,22所以 ABC周长为 3+33例 6 如图 6-35 , ABC中, A30, B45, AC 4,求 AB ( 采取讲练结合方法教学 )分析:通过作高,将解斜三角形的问题化归为解直角略解:作 CD AB于 D,则 CD2,三、小结1?解题过程中运用了哪些数学思想方法2(1)(2) 直接运用直角三角形的边边关系、角角关系、边角关系解四种类型( 已知一锐角一直角边;一锐角一斜边;一直角边一斜边;两直角边 )(3)四、作业.p.45 46题 6.3.A 组.2 ,3.板书设计 (略 ) 课堂教学设计说明这份教案也可按以下思路进行设计: 一、从一般到特殊总结出直角三角形

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