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文档简介
1、第四章 拉普拉斯变换重点:常见信号的拉氏变换对难点:收敛域及定义推导过程第四章的思想:一是将信号分解为 ej t 虚指数信号的叠加傅 氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把 ej t 作为测试信号,系统 频率特性 H(j )响应为ej tH(j )叠加。对分析谐波成分、频率响应、 波形失真、取样、滤波十分有效。本章以 est 为基本信号。把拉氏变换用于系统分析,其功绩首推英国工程师 heaviside 。 1899 年其在解决电气工程中出现的微分方程时,首先发明了“算子 法”。在实际应用中得到欢迎,但许多数学家认为缺乏严密的论证而 极力反对, Heaviside 追随者并未止步,最后在拉普拉斯
2、著作中找到 依据,取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有 广泛的应用, 直到五十年代奇异函数理论的进一步完善, 给时域法带 来生机,形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。( Laplace.pierre-simon , 1749 生于诺曼底的博蒙昴诺日, 1827 年 死于巴黎。法国数学家天文学家。 1785 当于法国科学院院士。研究 天体力学和物理学, 天体力学的奠基人, 分析概率论的创始人是应用 数学的先驱。 认为数学只是一种解决问题的工具, 但在运用数学时创 造和发展了许多新的数学方法。 ) 一、拉普拉斯变换( Laplace Transform )1、从傅氏变换到拉氏
3、变换增加收敛因子 est 作傅氏变换。F1F f(t) e t f(t)e t e j tdtf(t) e ( j )tdt F( j ) 令 : js , 具有频率的量纲 , 称为复频率 。stF s f t e stdtF j f t e j t dt F s f t e st dt对于 f t e t 是Fj 的傅里叶逆变换f t e t 21F j ej td 两边同乘 以 e tf t F j e j td 2其中 :s j; 若 取常数,则d s jd积分限:对j: 对s:j1 j st f t21 j j F s estdsF s L f t f t e stdt正变换拉氏变换对
4、:1 jf t L 1 f t 1 j F s estds2 j j逆变换2、收敛域:使 F(s) 存在的 s 的区域称为收敛域 ltim f(t)e t 0 0因果信号反因果信号 双边信号3、单边拉普拉斯变换( Unilateral Laplace Transform般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围0- :包含(t)及其各阶导数。 因果信号 f(t) 在 atb 内(0ab。称 0 为收敛横坐标。(abscissa of convergence说明: P207。4、常见信号的拉氏变换单边指数信号 L et0etestdt e st1s冲激信号 L t t e stdt 1 L t
5、t00 t t0 e stdt e st0阶跃信号 L u(t) 0 1 e stdt 1 e st0s10s正余弦信号二、拉氏变换的性质:1、若 线性: 则L f1(t) F1(s), L f2(t) F2(s),K1,K2为常数,L K1f1(t) K2 f2(t) K1F1(s) K2F2(s)2、原函数微分:若L f(t) F(s),则L ddf t(t)sF(s) f(0 )3、原函数积分:若L f(t)F (s),则 L t f ()d F(s) f (0 )4、延时: 若 Lf (t) F (s),则L f (t t0)u(t t0) F(s)e st05、S域平移:若L f (
6、t) F (s),则Lf (t)e tF(s )若L f(t) F(s), 则6、尺度变换:L f (at)1Faa07、初值:若f(t)及d f (t)可以进行拉氏变换,且 dtf(t)F(s), 则8、终值;d f (t) 的拉氏变换存在,若设f(t),dtlim f (t) lim sF(s) 。t s 0L f(t) F(s) ,则9、卷积:若L f1(t) F1(s),L f2(t) F2(s),f1(t), f2(t)为有始信号, 则L f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)1L f1(t) f2(t) 21 jF1(s) F2(s)10、S域微分:若L f (t) F (
7、s),则L tnf(t) ( 1)n d Fn(s)n取正整数ds11、S域积分:若L f(t) F ( s),则L f(t) F(s)d s三、拉氏逆变换:t0lim f(t) f(0 ) lim sF(s) s1)部分分式法(2) 利用留数定理围线积分法(3 数值计算方法利用计算机F(s)BA(ss)amsm am 1sm 1a1s a0bnsn bn 1sn 1b1s b0F(s)A(s)B(s)am(s z1)(s z2) (s zm)bn (s p1)(s p2) (s pn)z1,z2,z3 zm是A s 0的根,称为F s 的零点 。p1 , p2, p3 pn是B s 0的根,
8、称为F s 的极点。找出F s 的极点 。将 F s 展成部分分式 。查拉氏变换表求 f t 利用变换对求原函数1. 第一种情况:单阶实数极点 F(s) A(s)(s p1)(s p2) (s pn )p1,p2,p3 pn为不同的实数根 。F(s) k1k2kns p1 s p2s pn2. 第二种情况:极点为共轭复数 3. 第三种情况:有重根存在四、用 拉氏变换分析电路。列 S 域方程可从两方面入手: ?列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换; ?直接按电路的 s 域模型建立代数方程 1、微分方程的 S 域求解。L ddf t(t) sF(s) f(0 )dtL d f 2(t) s sF
9、 s f 0 f (0 )dts2F(s) sf(0 ) f (0 )2、利用元件 S 域模型求解:KCL: i(t) 0 I(s) 0KVL: v(t) 0 V(s) 0步骤:?画 0- 等效电路,求起始状态;?画 s 域等效模型;?列 s 域方程(代数方程) ;?解 s 域方程,求出响应的拉氏变换 V(s)或 I (s);?拉氏反变换求 v(t)或 i(t)电阻:VR(s)I R(s)RR电感:VL(s) I L(s)Ls Li L(0 )IL(s) VL(s) 1iL(0 ) Ls s电容:11VC(s) IC(s)vC (0 )sC sIC(s) sCVC (s) CvC(0 )求响应
10、步骤:?画 0- 等效电路,求起始状态;?画 s 域等效模型;?列 s 域方程(代数方程) ;?解 s 域方程,求出响应的拉氏变换 V(s)或 I (s);?拉氏反变换求 v(t )或 i(t)。五、系统函数1、定义:eth(t)rtEsHsRsr t et ht R s E s H s所以 H(s) ER(ss)2、求系统函数的方法: h t H s微分方程利用定义求解; S 域模型直接求解3、互联系统的系统函数:并联:H(s) H1(s) H2(s)级联:时域: h t h1 t h2 tH(s) H1(s) H2(s)时域 : h(t) h1(t) h2(t)反馈:E1(s) E(s) E2(s)E2(s) R(s) H2(s)R(s) H1(s) E(s) E2(s) H 1(s)E(s) H1(s)E2(s)H1(s)E(s) H1(s)H 2(s) R(s)所以 H(s) R(s)H1(s)E(s) 1 H1(s)H2(s)六、与傅氏变换关系:我们在引出拉氏变换时,是针对 f
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